MODELLI DINAMICI DI FENOMENI FISICI

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1 MODELLI DINAMICI DI FENOMENI FISICI Dott. Lotti Nevio Nello sforzo che facciao di rappresentare il ondo che ci circonda siao coe quel babino che curioso vuol capire coe funziona l orologio appeso alla parete (Einstein) Abstract: Proponiao tre odelli dinaici, costruiti con Cabri Pus, di fenoeni fisici che riteniao particolarente significativi. Nel prio ci occupiao di attrito su piano inclinato. L attrito ha aspetti particolarente iportanti e sfuggenti che cerchiao di rendere evidenti. Un corpo che striscia su un piano inclinato è soggetto ad una forza di attrito che in salita ha un verso e in discesa un altro. E se in salita l attrito può essere più forte della coponente del peso parallela al piano, non può esserlo in discesa. Nel secondo riproponiao gli orologi di zio Albert. Nel nostro odello vediao due orologi: uno fero e l altro in oto rispetto al prio con velocità confrontabili con la velocità della luce. Sul secondo si riproducono gli effetti relativistici della dilatazione del tepo e della contrazione dello spazio. Nel terzo proponiao un confronto tra il oto di un proiettile nel capo gravitazionale ed il oto dello stesso proiettile quando al capo gravitazionale si sovrappone una forza viscosa

2 Il piano inclinato e l attrito Il oto di un oggetto, A, lungo un piano inclinato, Q, è deterinato dalla coponente P x del peso, P, di A parallela a Q e dalla forza di attrito tra Q ed A. Nel caso in cui il piano sia liscio la risultante delle forze agenti su A è P x, Figura 1. Px è la risultante se il piano è liscio Il oto di A è regolato, sia in salita che in discesa, dall accelerazione costante a = g sen(α), dove g è l accelerazione di gravità ed α è l angolo che Q fora con l orizzonte. Nel odello che proponiao, costruito con Cabri Plus, è possibile fissare i valori di: α, g, l, v o ed e partendo da questi è possibile calcolare il peso, le sue coponenti P x e P y, rispettivaente parallela e perpendicolare a Q, l accelerazione e la posizione, x, di A su Q in funzione del tepo. Supponendo di lanciare A su Q verso l alto, calcoliao la velocità iniziale assia v omax conferibile ad A perché non fuoriesca dal piano. In tal odo siao sicuri del ritorno di A. Associato il valore del tepo con la posizione di un punto t su un vettore T definito ad hoc, servendoci della legge 1 del oto x = v t + a t, leghiao la posizione di A a quella di t, in odo che aniando t vedreo scorrere A su Q, sia in salita che in discesa Figura. Aniando t su T vedreo scorrere A su Q Questo oto di A è un perfetto oto uniforeente accelerato. Se lo rappresentassio in un piano XOT vedreo una parabola caratterizzata copletaente dai paraetri del oto. È possibile variare questi e vedere coe cabia la parabola rappresentativa del oto. Ma soprattutto è possibile, rianiando t, vedere coe cabiano il tepo di salita, che counque è uguale al tepo di discesa, la distanza percorsa lungo il piano. È possibile notare la

3 dipendenza dei tepi e delle distanze dai valori di α, di v o e di g. È anche possibile scoprire l indipendenza del oto dalla assa di A. Figura 3. Il oto lungo un piano inclinato liscio è uniforeente accelerato Se il piano è scabro ed indichiao con µ il coefficiente di attrito tra A e Q allora la situazione diventa alquanto più interessante. Detta F a la forza di attrito, risulta Fa = µ Py = µ g cos(α) e la risultante delle forze agenti su A è: Rs = Px Fa se A sale, Figura 4. In salita l'attrito è concorde con Px Se A scende lungo il piano R = P + F d x a Figura 5. In discesa Fa e Px sono discordi Avendo due risultanti diverse, avreo due accelerazioni diverse, quindi due oti non sietrici uno dell altro rispetto al tepo di arresto di A. Infatti, entre = g sin α + µ cos α, in in salita il oto è regolato dall accelerazione a s ( ( ) ( )) discesa risulta = g( sin( α ) µ cos( α )) a d

4 Figura 6. Il grafico del oto di A si copone di due archi di parabole diverse Variando i paraetri che caratterizzano il oto, cioè l angolo, il coefficiente di attrito, la velocità iniziale, la lunghezza del piano, la assa di A e perfino il valore del capo gravitazionale, è possibile osservare coe ciascuno di essi influenzi il fenoeno oggetto di osservazione. In particolare, agendo su α o su µ è possibile fare in odo che A, arrestatosi dopo la salita, non ritorni giù. Questo capita quando il odulo di F a in salita è aggiore o uguale al odulo di P x. In tal caso, in discesa sarà Fa = Px con conseguente risultante nulla ed il corpo fero resterà fero, dovunque esso si trovi Figura 7. In particolari condizioni A si fera e non torna giù Gli orologi L orologio Cabri Sebra facile (a non è difficile) costruire un odello che riproduca il oviento delle lancette di un orologio. Così sarebbe se l orologio avesse una sola lancetta: costruita una circonferenza ed un vettore applicato nel centro e con l estreo libero sulla circonferenza, l aniazione dell estreo libero risolverebbe il problea La cosa si coplica se le lancette sono due. Perché per ogni giro della pria, la seconda deve ruotare di sei gradi intorno al centro, in odo tale che quando la pria lancetta avrà fatto sessanta giri, la piccola ne avrà fatto uno. Ho pensato di risolvere così il problea:

5 1) rettifico sessanta giri: oltiplicando per sessanta la lunghezza della circonferenza, riportando il valore su una seiretta e disegnando il vettore V con origine nell origine della seiretta e fine nel valore riportato ) fissando un punto obile, P, sul vettore V, la distanza di P da O, origine del vettore, rappresenta, opportunaente proporzionata, il tepo che scorre, a partire da zero. La proporzione che consente questo passaggio è la seguente: γ : 6 = d :t, dove γ è la lunghezza di un giro, d la distanza percorsa da P su V e t il tepo in secondi (ovviaente qui il secondo non ha niente a che vedere con la corrispondente unità di isura del S.I.). 3) oltiplico t per 6 e col risultato ruoto l apice dell orologio (il punto più alto) intorno al centro in senso orario. Ottengo così il punto Q sulla circonferenza che la percorre all unisono col oto del punto P su V 4) il vettore che lega il centro C di γ a Q è la pria lancetta C 4 3 Q ) per la seconda lancetta fisso un punto al di sotto del 1 e lo ruoto in senso orario con una rotazione pari ad un sessantesio della precedente. Ottengo così il punto M. Un secondo vettore applicato in C e diretto in M si uoverà coe la seconda lancetta C M ) a questo punto l orologio è pronto: l aniazione di P lo ette in funzione. Se questo orologio riane solo non è granché utile. Possiao però accopagnarlo con il suo geello, che decide di volarsene via inseguendo avventure astronoiche a velocità confrontabili con quella della luce. L orologio di zio Albert.

6 A partire da C tracciao una seiretta, s, parallela a V. Questa sarà la guida lungo la quale si uoverà l avventuriero. Su s fissiao un punto C e col vettore CC trasliao tutto, tranne i punti Q, M e le lancette. Costruiao l espressione t v 1 c, che ci consentirà di deterinare il tepo, t, visto da C su C. Per costruire il rapporto c v possiao fare così: internaente al vettore c costruiao il vettore v; il rapporto tra la lunghezza di v e quella di c ci fornirà il rapporto cercato. Pertanto il calcolo di t potrà essere fatto applicando l espressione suddetta al valore di t per t, alla lunghezza di c per c ed alla lunghezza di v per v. Ora non resta altro da fare che ripetere i passi copiuti, a partire dal terzo, sul nuovo orologio. Vien fuori il seguente: Aniando il punto P, coe per agia, i due orologi segneranno tepi diversi: in C si svolgerà il tepo proprio, entre in C si svolgerà il tepo che l osservatore in C vede su C. È possibile, uovendo l estreo libero del vettore v, odificare il rapporto c v e vedere all istante coe cabia il tepo segnato su C. Interessanti sono i casi liite: v = v = c

7 Ma la storia non finisce qui! Perché una attina, di buon ora, entre e n andavo a spigolare, si presenta zio Albert e i fa : E la contrazione dello spazio non ce la etti? Hai ragione, zio gli rispondo : Mo te la faccio, se ci riesco! Però o non chiederi coe ho fatto. Forse te lo dirò la prossia volta, se ci rivedreo. Moto di un proiettile in un ezzo viscoso Descriviao, ora, il odello relativo al oto di un corpo sottoposto ad una forza ds viscosa unidiensionale F vis. =, dove è il coefficiente di viscosità che dt dipende dal ezzo considerato e dalla fora del corpo in esae. La legge oraria del oto di tale corpo si ottiene a partire dalla seconda legge della dinaica d s ds + =. (4) dt dt Fissate le condizioni iniziali (al tepo t = ) ( ) s ds dt = s t= = v, (5) la soluzione dell Eq.(4) assue la seguente fora t + v ve s(t) = s. (6)

8 Il valore s ( t) della posizione del corpo all istante t dipende dai valori di,, s e v. Si noti che al tendere di t all infinito, la funzione data dall Eq.(6) tende s = s +. In Fig.8 rappresentiao il grafico asintoticaente al valore ( ) v spazio-tepo relativo all Eq. (6), fissati i valori di s,,, e v. Figura 8. grafico spazio-tepo di un oto viscoso unidiensionale Vediao quale sia l evoluzione teporale della cineatica di un corpo, sottoposto a forza viscosa in un capo gravitazionale, che viene lanciato verso l alto con velocità iniziale v a partire dalla posizione iniziale s. Rispetto al caso precedente, nella seconda legge della dinaica, ora, copare anche la forza peso d s ds + + g =. (7) dt dt Fissate le condizioni iniziali coe in (5), soluzione dell Eq.(7) è s ( t) t + v + g g t v + g e = s. (8) In Fig.9 rappresentiao i grafici spazio-tepo e velocità-tepo del oto in esae, per fissati valori di s, v e del rapporto /. Cabiando i valori di queste grandezze è possibile vedere all istante coe cabiano i grafici e così rendersi conto dell influenza che ciascuno di essi ha sul oto.

9 Figura 9. grafici: spazio-tepo e velocità-tepo di un corpo in oto in un capo gravitazionale e sottoposto all'azione di una forza viscosa unidiensionale Ora siao pronti per un confronto tra due oti bidiensionali: il oto parabolico, dato dalla coposizione di un oto rettilineo unifore e di un oto uniforeente accelerato, ed il oto di un corpo sottoposto ad una forza r r viscosa F v = v in presenza del capo gravitazionale. La legge oraria di un oto parabolico è dato dalle equazioni ( t) x = x + v xt 1 y(t) = gt + v y t + y. (9) Eliinando il tepo t dalle equazioni (9), si ottiene la traiettoria che è, ovviaente, una parabola. r La legge oraria del oto di un corpo sottoposto ad forza viscosa F rvis. = v in presenza del capo gravitazionale è data dalle equazioni x y ( t) ( t) = x = y + v x + v y v x e t + g g t v y + g e t. (1) Assegnate le espressioni per x e per y e fissato t ad un punto di un vettore T costruito ad hoc, si trasportano i valori calcolati di x e di y in funzione di t sui rispettivi assi. Si individua così un punto P nel piano rappresentativo della posizione del corpo. L aniazione di t ette in oto P che così descrive la traiettoria nel piano XOY soluzione delle (1).

10 Figura 1. confronto tra oti di un corpo sottoposto solo al capo gravitazionale e sottoposto anche ad una forza viscosa Tale traiettoria, evidenteente, non è una parabola. La parabola è invece ottenibile coe traiettoria liite quando il rapporto / tende all infinito.