Incertezza sperimentale e cifre significative

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1 Incertezza sperimentale e cifre significative q La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l incertezza con cui vengono effettuate sono il fulcro di ogni esperimento. q Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante un numero seguito dall errore e dall unità di misura 1 Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli dell unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello tarato Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla misura diretta dei suoi lati q Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro => (che può essere sistematico o casuale q Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene, alla misura stessa sarà associato un incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo strumento stesso riesce a definire Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due tacche consecutive sullo strumento c è la distanza di 1 cm la misura effettuata non potrà avere una precisione maggiore del centimetro => L tavolo = 1,50 m ±0.01m q L errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono garantire come esatte

2 Incertezza sperimentale e cifre significative q Il numero di cifre significative di una misura può essere usato per definire la precisione della misura ( o analogamente l incertezza su di essa q Es: una lunghezza viene misurata con un incertezza di 0.1cm. La misura dà come risutato 6.0cm a causa dell incertezza possiamo affermare solo che quella lunghezza è compresa tra 5.9 cm e 6.1 cm => (6.0 ±0.1cm Le cifre significative sono ( se avessi scritto 6.00 cm, cioè tre cifre significative, avremmo supposto che la misura sia stata effettuata con una precisione di 0.01 cm q Gli zeri possono essere cifre significative oppure no. 0.03, => in questo caso gli zeri non sono cifre significative ( posso infatti riscrivere i due numeri in notazione scientifica: e e si avranno rispettivamente una e due cifre significative 500 g => in questo caso in numero di cifre significative non è definito (i due zeri potrebbero rappresentare solo il fatto che stiamo parlando di centinaia di grammi o 500 potrebbe essere un numero ben preciso. Per rimuovere l ambiguità sì utilizza la notazione scientifica: 5 10 g => 1 cifra significativa g => 3 cifre significative Moltiplicazione: quando si moltiplicano due misure il numero di cifre significative del risultato è pari al numero di cifre significative della grandezza con numero di cifre significative inferiore 6.14 cm *3.0 cm= (la calcolatrice dice 18.4= 18 cm Addizione: Quando le misure vengono sommate o sottratte il numero di posti decimali dopo la virgola nel risultato è uguale al numero più piccolo dei posti decimali di ciascun termine della somma =30.5 (la calcolatrice darebbe ma poiché 7.3 ha un unico numero decimale 489 viene approssimato a 5

3 Propagazione dell errore Errore assoluto: Errore espresso nella stessa unità di misura della grandezza misurata. x = x Es: meas ±δx lunghezza del tavolo misurata con un righello che ha la precisione del centimetro Errore relativo (o percentuale: valore pari al rapporto tra l errore assoluto ed il valore a cui esso è associato L = ± 0.01 x = x m = 1.80( meas 1± δx 1± 0.006m = 1.80m ± 0.6% 1.80 NB: l errore relativo è adimensionale Propagazione dell errore: L = 1.80m ± 0.01m x meas Addizione (sottrazione: Quando vengono sommate (o sottratte più misure l errore sul valore risultante è dato dalla somma degli errori assoluti sulle singole misure Moltiplicazione( o divisione: Quando vengono moltiplicate o divise più misure l errore relativo sul risultato dell operazione si ottiene sommando gli errori relativi sulle singole misure

4 Es: Moltiplicazione: Determinare l area di un tavolo di cui sono state misurate larghezza H (80cm e lunghezza L( 00cm con una precisione di cm : L =.00m ± 0.0m =.00m 1± H = 0.80m ± 0.0m = 0.80m 1± A = L H =.00m 1± m 1± = 1.60m 1± 0.01 Addizione: Propagazione dell errore ( =.00m( 1± 0.01 = 0.80m( 1± 0.05 ( ( 1± 0.05 = ( 1± 0.05 ± 0.01± = 1.60m ( 1± = 1.60m ± 0.06m Determinare la variazione di temperatura tra la temperatura misurata, con un termometro digitale sensibile al decimo di grado centigrado, alle 8 di questa mattina (T 1 =8.6 C e quella misurata a mezzogiorno (T=19. C T 1 = 8.6 C ± 0.1 C ( ΔT = T T 1 = 19. ± 0.1 T = 19. C ± 0.1 C ( C 8.6 ± 0.1 ( C C = 10.6 ± 0.

5 Analisi Dimensionale(1 Ø L analisi dimensionale è uno strumento teorico di controllo della correttezza dimensionale delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto nell individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che compaiono in una formula. Ø L analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni: q Ogni grandezza fisica ha una sua dimensione, cioè può essere espressa come una ben precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M][L][I] q Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa abbia una propria coerenza. q È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni, che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa dimensione. Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero puro Es: Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la forza di attrito dinamico F a subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in direzione perpendicolare al corpo stesso: [ G] = M [ ] a [ L] b [ T ] c [ I] d µ d = F a N [ µ ] [ M ][ L][ T ] [ M ][ L][ T ] d = = [ M ] 0 [ L] 0 [ T ] 0 Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è adimensionale

6 Dimensioni delle grandezze derivate Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza (L, tempo (T, massa (M ed intensità di corrente elettrica A

7 Analisi dimensionale ( Regole formali dell analisi dimensionale : Ø Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L analogo vale anche per le dimensioni del rapporto; v = s t Ø Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono avere le stesse dimensioni; s + t Ø Il primo membro di un uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del secondo membro; s = t v = L T L + T = L T Ø L argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp deve essere un numero puro; e t τ t τ L = T = 1 Ø Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro. 1 τ = T

8 Analisi Dimensionale (4 Es: Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell equazione: ( + v 1 v = a x x 1 e si stabilisca se l equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità, a = accelerazione, x = spostamento L T Soluzione: [ x ] [ x ] = [ L] = 1 = L T v = a( x x + v 1 1 ( L L!# "# $ + L T L v = L T = L T 1 = L T ( + v 1 v = a x x 1 + L T a = Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l equazione è, almeno dal punto di vista dimensionale, corretta. L T = L T

9 Branca della fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze responsabili dei moti stessi Studia i moti dei corpi senza tener conto delle cause Studia i moti tenendo in considerazione le forze responsabili del moto stesso Studia le condizioni in cui i corpi si trovano in equilibrio

10 Che cos è la cinematica È una branca della Meccanica che descrive il moto di un corpo usando i concetti di spazio e tempo, senza andare a studiare le cause del moto stesso ( compito assegnato alla dinamica Assunzioni: Ø Il corpo in movimento viene assimilato ad una particella puntiforme (punto materiale Ø Il moto è lo spostamento del punto materiale che avviene nello spazio tridimensionale e nel tempo lungo una certa traiettoria Ø Il moto di un corpo è completamente determinato se è nota!! la sua posizione in ogni istante t => se quindi è nota l equazione r = r (t che descrive il moto in funzione del tempo Ø Le forze non vengono prese in considerazione

11 ! r Posizione e spostamento Ø Sia un vettore posizione che individua la posizione del punto materiale P rispetto ad un sistema di assi cartesiani xyz:! Ø Il moto del punto materiale è descritto dalla dipendenza dal tempo del vettore posizione r! (t Ø L insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.! =! Ø La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione in funzione del tempo r r (t è detta equazione oraria del moto.! r(t 4 Ø In generale l equazione oraria del moto è un sistema di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:! x(t = f! x (t equazione oraria # x r(t = x(tî + y(tĵ + z(t ˆk dove: del moto " y(t = f y (t # x $ # z(t = f z (t NB: sono funzioni del tempo tra loro indipendenti. f x (t,f y (t,f z (t P = (x, y,z r = xî Ø Il vettore che individua la variazione di posizione della particella viene detto Vettore spostamento ed è pari alla differenza tra i vettori posizioni negli istanti finali ed iniziali: # x(t!!" Δr = r(t " f r(t! f x(t i % i = $ y(t f y(t i % &% z(t f z(t i NB: Lo spostamento nel SI si misura in metri (m 4 z z + yĵ + z ˆk 3 r! ( t 3 r! ( t Δr 1! r(t 1 y Traiettoria P(x,y,z! r(t 0 y

12 Esempio di utilizzo dell equazione del moto (provare a fare a casa Tramite le equazioni del moto è possibile determinare la posizione occupata dal corpo in movimento in ogni stante t. Supponiamo che una slitta stia scivolando su un pendio nevoso dritto; la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un istante e comincia a scivolare all indietro giù per il pendio. Un analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo t: x(t = 18m + (1m st (1.m s t x è misurata lungo il percorso della slitta con il semiasse positivo verso la salita. a Costruire un grafico della coordinata della slitta in funzione del tempo t da t=0.0 a t=8.0 s (riportando intervalli di 1.0 s b Determinare lo spostamento della slitta tra t i =1.0 s e t f =7.s c Determinare lo spazio percorso tra gli istanti t i =1.0 s e t f =7.s (modulo del vettore spostamento tra gli istanti t=1.0s e t=7.0s