Risultati esame scritto Fisica 1-01/09/2015 orali: alle ore presso aula M

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1 Risultati esae scritto Fisica - /9/ orali: 7-9- alle ore 9. resso aula M gli studenti interessati a isionare lo scritto sono regati di resentarsi il giorno dell'orale Nuoo ordinaento atricola oto 98 nc 97 9 aesso 89 nc nc 87 nc 9 9 aesso 87 7 aesso 8 nc 897 nc ncnon classificato

2 Esae di Fisica Corso Interateneo di Ing. Inforatica e Bioedica /9/ Problea Un'auto ercorre una cura di raggio R con elocità di odulo costante. Deterinare il coefficiente di attrito statico inio, µ, affinché l'auto non sbandi. All'interno dell'auto si troa un endolo, costituito da una allina e da una fune inestensibile di assa trascurabile, aeso al tettuccio dell'auto. Mentre l'auto ercorre la cura a elocità costante, il endolo si sosta dalla direzione erticale. Deterinare l'angolo θ che il endolo fora con la direzione erticale (edi figura. [Si esriano i risultati in funzione dei araetri R e, e dell'accelerazione di graità g] Problea Sia dato un coro untifore di assa.g incolato a uoersi senza attrito lungo un'asta erticale aesa al soffitto (edi figura. Due olle, entrabe di assa trascurabile e lunghezza a rioso nulla, sono legate er un'estreità al soffitto e er l'altra estreità al coro di assa. La ria olla si troa a sinistra della assa, ha costante elastica. N/ ed è legata al soffitto ad una distanza. a sinistra dell'asta; la seconda olla si troa a destra della assa, ha costante elastica. N/ ed è legata al soffitto ad una distanza. a destra dell'asta (edi figura. Calcolare la osizione di uilibrio della assa e la reazione incolare, F N, esercitata dall'asta sulla assa. Al coro, che si troa in quiete nella osizione deterinata al unto, iene aggiunta un'altra assa ari a, e la assa totale è ora ari a ; calcolare la nuoa osizione di uilibrio e diostrare che il coro si uoerà con un oto aronico. Calcolare il teo che il coro di assa iiega a raggiungere la nuoa osizione di uilibrio e con quale elocità arria in tale osizione. Problea Un gas ideale onoatoico coie il ciclo di trasforazioni reersibili (edi figura costituito da un triangolo isoscele nel iano, (ressione-olue. La base del triangolo isoscele è costituito dalla trasforazione finale del ciclo, che a dallo stato allo stato ediante una trasforazione isocora (olue costante; la ria trasforazione dallo stato allo stato costituisce uno dei lati obliqui del triangolo, e la successia dallo stato allo stato costituisce l'altro lato obliquo. Lo stato e lo stato hanno la stessa teeratura,, anche se la trasforazione che a dallo stato allo stato NON è una isotera; la teeratura dello stato è inece inferiore, <. Deterinare il rendiento η del ciclo, saendo che (/, doe è il olue dello stato e quello dello stato. [Poiché il ciclo è costituito dal triangolo isoscele in figura, si ha che ( /]

3 Soluzione roblea Affinché l'auto ossa ercorrere la cura coiendo un arco di oto circolare unifore senza sbandare, è necessario che la forza di attrito, F A, fra le ruote e la strada sia sufficiente a garantire la forza centrieta, F CP : F F CP Ma µ Mg CP M R A doe M è la assa dell'auto e a CP è l'accelerazione centrieta. Il coefficiente di attrito inio affiché l'auto non sbandi si ha er F A F CP : µ Mg M R µ Rg Durante la cura, all'interno dell'auto il endolo si scosta dalla direzione erticale ed è in uilibrio con un certo angolo θ. Nel sistea di riferiento dell'auto, che non è un sistea inerziale dato che è sottoosto ad accelerazione centrieta, esiste la forza aarente data dalla forza centrifuga, F CF, caratterizzata da accelerazione uguale in odulo e oosta in erso a quella centrieta. Si ha allora che: R F CF quest'ultia diretta orizzontalente erso l'esterno della cura ( è la assa del endolo. Nel sistea di riferiento solidale con l'auto, il endolo è sottoosto alla forza centrifuga F CF (forza aarente, alla forza eso Pg diretta erticalente erso il basso, e alla tensione della fune del endolo (diretta lungo l'angolo θ. La forza centrieta agente sul endolo è data dalla coonente orizzontale della tensione. Durante la cura il endolo è in uilibrio nel sistea di riferiento solidale con l'auto, e di conseguenza la risultante di F CF, P e dee essere nulla. Scoonendo il II rinciio della dinaica lungo gli assi orizzontale e erticale, si ha allora che: sinθ F cosθ P CF sinθ cosθ g R Facendo il raorto ebro a ebro si ha che: tan θ Rg Soluzione roblea Punto : Prendiao coe sistea di riferiento gli assi, raresentati nella figura (asse diretto erso destra e asse diretto erso il basso, aente coe origine il unto "" coincidente con l'estreità dell'asta sul soffitto (edi figura. Le forze agenti sulla assa sono la forza eso g (erticale erso il basso, le forze elastiche delle olle e dirette risettiaente lungo la direzione della olla e della olla, la reazione incolare F N (orizzontale dell'asta sul coro (la reazione incolare non ha coonente lungo l'asse erticale erché il coro si uoe senza attrito lungo l'asta. Per quanto riguarda la forza elastica F el, la legge di Hooe in fora ettoriale si scrie coe:

4 F el r doe r è il ettore deforazione della olla (ed è diretto lungo l'asse della olla. Scoonendo la forza elastica lungo gli assi e si ottiene che: ( Fel,, Fel, (, F F el, el, uesta scoosizione lungo gli assi ale er entrabe le olle del roblea, sostituendo alla costante elastica le costanti e del roblea e le risettie coordinate. Scoonendo tutte le forze lungo gli assi, il II rinciio della dinaica si scrie coe segue: a a g F N Nella recedente esressione ha segno ositio erché la olla tira il coro erso destra (asse ositio delle, entre ha segno negatio erchè tira il coro nel erso oosto. Per troare la osizione di uilibrio e la reazione incolare F N ioniao che a a : F N N g.6 La coordinata della osizione di uilibrio è, dato che il coro si uò uoere solo lungo l'asta. Punto : Aggiungendo un'altra assa ari a, la forza eso auenta e il coro non è iù in uilibrio nella osizione deterinata al unto. Lungo l'asse riane tutto inariato (e la reazione incolare F N è la stessa deterinata recedenteente; lungo l'asse il II rinciio della dinaica è dato da: a g Nell'ultia uazione è stato considerato che la assa è ora. Ionendo che la risultante delle forze sia nulla, oero che a, si troa la nuoa osizione di uilibrio : ( g g. Per diostrare che si tratta di un oto aronico, riconsideriao l'uazione del II rinciio della dinaica scritta recedenteente: a g d g ( dt d g dt d dt

5 doe nell'ultio assaggio si è tenuto conto della nuoa osizione di uilibrio, g/( aena deterinata. Riarrangiando si ottiene che: dt d uesta uazione differenziale del II ordine è la tiica uazione di un oto aronico lungo l'asse che descrie l'oscillazione del coro di assa intorno alla osizione di uilibrio. Il oto aiene con ulsazione ω data da:.8hz ω Punto : Data la ulsazione ω calcolata al unto, ne segue che il eriodo del oto aronico è dato da:.sec π ω π In un oto aronico, il teo t iiegato ad arriare nella osizione di uilibrio a artire da un estreo del oto è ari a / del eriodo ; ne consegue che il teo t richiesto dal roblea è dato da:.9sec t π Per calcolare la elocità con cui il coro di assa arria nel nuoo unto di uilibrio,, alichiao la conserazione dell'energia in assenza di forze dissiatie. Nel unto iniziale, data dalla coordinata, l'energia totale è costituita solo dall'energia otenziale elastica delle due olle e dall'energia otenziale legata all'altezza del coro ; non c'è energia cinetica erché il coro arte dallo stato di quiete: g E Il coro arria nel nuoo unto di uilibrio,, con elocità diersa da zero; oltre all'energia otenziale si ha ora anche energia cinetica: fin g E Uguagliando l'energia iniziale e finale si ottiene un'uazione er la elocità : fin g g E E g g

6 g g g /s.9 g g g ω ω Soluzione roblea Calcoliao il rendiento η del ciclo con la seguente esressione: ASS O η doe O e ASS sono risettiaente il laoro solto e il calore assorbito durante il ciclo. Il laoro O è ari all'area racchiusa dal ciclo nel iano,; dato che si tratta di un triangolo isoscele l'area è data da: O O doe nell'ultio assaggio si è usata la relazione (/ ; considerando inoltre che si ha che: nr nr nr O O Nei recedenti assaggi è stata usata l'uazione di stato dei gas erfetti, nr. Per calcolare il calore scabiato con l'esterno nella ria trasforazone dallo stato allo stato, alichiao il I rinciio della terodinaica; detto il laoro solto durante la trasforazione da a si ha che: U U doe U erché. Il laoro solto durante la trasforazione da a è data dall'area sottesa dal segento - nel iano (,, oero del traezio rettangolo aente coe basi e :

7 doe nell'ultio assaggio si è usata la relazione (/. Usando l'uazione dei gas erfetti si ha che: nr nr 6 nr nr 6 Nei recedenti assaggi è stata usata la relazione. uindi si ha er il calore : nr Poiché >, questa quantità di calore è assorbita dall'esterno. Il calore scabiato durante la seconda trasforazione da a è calore ceduto; infatti alicando alla trasforazione - il I rinciio della terodinaica si ha che: U U < U è < erché < ; inoltre è < erché l'area sottesa dal segento - è ercorsa da destra erso sinistra nel iano, durante la trasforazione -, e a quindi considerata col segno "-". Ne consegue quindi che < e si tratta di calore ceduto. Infine il calore scabiato durante l'ultia trasforazione del ciclo è dato da (trasf. isocora: C ( nr ( Dato che >, il calore scabiato con l'esterno è > ed è quindi calore assorbito. Riassuendo i risultati finora troati e sostituendo nella forula er il rendiento, si ottiene che: η η η 6 O ASS nr O ( nr ( 6 nr 6 ( ( ( Dato che gli stati e sono legati da una trasforazione isocora, ale la seguente relazione fra ressione e teeratura :

8 er cui il rendiento in funzione della ressione è dato da: 6 η Per troare il raorto / abbiao le seguenti esressioni: La ria esressione è una conseguenza del fatto che il ciclo costituisce un triangolo isoscele nel iano, entre la seconda esressione raresenta la legge di Bole alida er stati che hanno la stessa teeratura. Usando la relazione (/ si ha che: Sostituendo nell'ultia esressione troata er il rendiento η, si ottiene che:. 7 6 η