34 Tonzig La fisica del calore

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1 34 Tonzig La fisica del calore molecola): ad ogni grado di libertà corrisponde, in media, un energia cinetica pari a kt/. Le molecole monoatomiche, schematizzate come punti materiali, hanno tre gradi libertà (tre modi indipendenti di accumulazione dell energia cinetica: moimento in direzione x, moimento in direzione y, moimento in direzione z, doe x, y e z sono gli assi di una qualsiasi terna trirettangola), e quindi in totale una energia cinetica media 3 kt/ (è l energia cinetica data dalla [D]). Le molecole biatomiche (schematizzate come due atomi puntiformi a distanza fissa, il che può alere solo per temperature alquanto basse, altrimenti non è più trascurabile la ibrazione degli atomi rispetto al centro di massa della molecola) hanno 5 gradi di libertà, e quindi un energia cinetica media 5kT/ (all energia cinetica di traslazione, in media 3 kt/, si aggiunge l energia cinetica douta alla rotazione attorno a due assi passanti per il centro di massa della molecola, ortogonali tra loro e ortogonali al segmento che connette i due atomi). Le molecole triatomiche o con più di tre atomi non allineati (schematizzate come una struttura rigida, il che è accettabile solo per temperature non troppo alte) hanno 6 gradi di libertà, e quindi un energia cinetica media 6kT/ (all energia cinetica di traslazione si aggiunge l energia cinetica douta alla rotazione attorno a tre assi reciprocamente ortogonali passanti dal centro di massa della molecola). 8. Conoscere il alore quadratico medio di un insieme di alori non dice di per sé molto circa il alore medio. Ad esempio, nel caso della tensione elettrica di alimentazione degli apparecchi domestici, funzione sinusoidale del tempo, il alore quadratico medio in un periodo, o in un interallo di tempo grande rispetto al periodo, è 0 V, il alore medio è zero. Nel caso delle elocità molecolari, il alore medio delle componenti dei ettori elocità nell ambito di un gas macroscopicamente in quiete è chiaramente zero rispetto a qualsioglia direzione, dato che, in media, le molecole si spostano con la stessa rapidità in una qualsiasi direzione e nella direzione opposta. È chiaro peraltro che quando, in questo capitolo, parliamo di «elocità media» delle molecole di un gas ci interessa riferirci al modulo dei ettori elocità. Precisamente, il alore medio è, in un determinato istante, la somma del modulo di tutte le elocità diiso il numero di molecole. 9. Il rapporto tra alore quadratico medio e alore medio delle elocità delle molecole di un gas dipende oiamente dalla particolare «distribuzione» delle elocità, cioè da come i diersi alori di elocità sono distribuiti tra le molecole. Per esempio, le molecole potrebbero aere tutte la stessa elocità : in tal caso alore medio e alore quadratico medio sarebbero oiamente entrambi uguali a. Altro esempio: se i alori di elocità fossero equamente distribuiti fra zero e il alore massimo max (se quindi la probabilità di troare, scegliendo a caso, una molecola con elocità compresa in un interallo, piccolo rispetto a max, fosse la stessa in tutto il campo di alori tra 0 e max ) il alore medio sarebbe m = max /, mentre per il alore quadratico medio il calcolo darebbe qm = max / 3 = 1,15 m. Il numero n di molecole aenti elocità compresa tra 0 e un dato alore sarebbe in questo caso

2 Capitolo 4 Teoria cinetica dei gas 35 direttamente proporzionale a (il numero di molecole aenti elocità comprese tra 0 e 10 sarebbe infatti uguale al numero di molecole aenti elocità comprese tra 10 e 0 o tra 0 e 30 o tra 30 e 40, perciò il numero di molecole aenti elocità tra 0 e 0 sarebbe doppio rispetto al numero di molecole aenti elocità tra 0 e 10, il numero di molecole aenti elocità tra 0 e 30 sarebbe triplo, e così ia). La pendenza del grafico che riporta n in funzione di f N p n f * n m qm Fig.3 Fig. max N sarebbe costante (il alore di n crescerebbe con in modo uniforme) proprio perché ogni alore di arebbe la stessa probabilità. In fig. si suppone che il numero di alori di elocità compresi tra 0 e max sia molto grande, cosicché il grafico sia costituito da punti così icini da apparire allo sguardo come una linea continua. 10. Ipotetiche distribuzioni come quelle sopra considerate sarebbero caratterizzate da un eleatissimo grado di ordine, perciò la probabilità che qualcosa del genere possa casualmente erificarsi è, a tutti gli effetti pratici, uguale a zero: in realtà, una qualsiasi distribuzione di elocità diersa dalla cosiddetta distribuzione di Maxwell sarebbe altamente instabile ed eolerebbe rapidamente, per effetto delle collisioni tra molecole e dei relatii scambi di energia cinetica, erso la distribuzione di Maxwell, che è la distribuzione più «naturale», la più casuale, quella di più completo disordine e perciò stesso la più probabile, e in definitia la sola distribuzione di equilibrio. 11. L esperienza mostra che in un gas costituito da N molecole (con N molto grande) il numero n di molecole aenti elocità compresa tra 0 e dipende da in un modo ben preciso, come suggerito dalla cura n del grafico di fig.3. Si ede che n cresce dapprima, per alori di elocità prossimi allo zero, molto lentamente: è chiaro che tali alori di elocità sono poco frequenti, riguardano cioè solo poche molecole. Poi, man mano che si aicina alle elocità più probabili, e quindi più frequenti, n cresce sempre più rapidamente: la pendenza del grafico, e cioè la rapidità di ariazione di n, è massima in corrispondenza del alore di elocità più probabile ( p ), poi comincia a decrescere, e tende a zero per elo

3 36 Tonzig La fisica del calore cità molto più grandi della elocità più probabile. In fig. 3, la cura f della densità di presenza mostra, in funzione di, la pendenza della cura n, corrisponde cioè alla deriata dn/d della funzione n = n() (la cui espressione matematica è a priori incognita): è chiaro che a numeratore del rapporto dn/d figura il numero dn di molecole aenti elocità compresa tra e +d. Ne consegue che l area posta tra la cura f e l asse delle elocità entro un dato interallo di alori della elocità, diciamo l interallo tra la elocità 1 e la elocità, corrisponde al numero n 1- di molecole aenti elocità comprese in tale interallo: [E] n 1- = d 1 dn d 1 dn. Oiamente, l area complessiamente sottesa dalla cura della densità di presenza corrisponde al numero totale N delle molecole del gas. Tale circostanza rappresenta la condizione di normalizzazione per la densità di presenza. 1. La cura f *, infine, mostra l andamento della funzione [F] f * () = (1/N) dn/d denominata funzione di distribuzione [4]. Dato che, per ogni alore di, i alori della cura f * si ottengono da quelli delle cura f diidendo per il numero complessio di molecole, è chiaro che l area posta sotto la cura f * tra = 0 e = ha alore N/N = 1 (condizione di normalizzazione per la funzione di distribuzione). La funzione di distribuzione f * rappresenta la densità di probabilità (o di frequenza ) delle dierse elocità: l area sottesa dal grafico nell interallo di elocità tra 1 e esprime il rapporto tra il numero di molecole aenti elocità entro tale interallo e il numero complessio di molecole, indica quindi la probabilità che la elocità di una molecola presa a caso sia compresa tra 1 e (ad esempio, se l area è 0, la probabilità che una molecola abbia elocità compresa tra 1 e è 0, = 1/5, il che significa che una molecola su cinque ha elocità compresa tra 1 e ). In particolare, la probabilità che una molecola aia elocità compresa tra e + d ha il alore infinitesimo f *d, corrispondente per la [F] al numero dn/n (rapporto tra il numero di molecole aenti elocità tra e + d e il numero complessio di molecole). La probabilità che la elocità di una molecola sia compresa tra = 0 e = (rapporto tra il numero di molecole aenti una qualsiasi elocità e il numero complessio delle molecole) ha alore 1 (in effetti, 1 è il alore dell area posta sotto la cura della funzione di distribuzione). Il calcolo mostra che nella distribuzione di Maxwell il alore di elocità più probabile (quello a cui corrisponde il massimo sulle cure f ed f * ) è p = k T / m 4 Per un gas perfetto, l espressione matematica di tale funzione, determinata da Maxwell, è f *() = Ae B m, con A 4π( ) 3/ π kt e m B. kt

4 Capitolo 4 Teoria cinetica dei gas 37 (conseguentemente è qm = p 3 / = 1, p ). Per la elocità media si ottiene inece m = 1,13 p. Chiaramente, il alore della elocità media è superiore a quella della elocità più probabile per effetto della particolare asimmetria della distribuzione: f *( p + ) > f *( p ). 13. La fig. 4 mostra come f () cambia la distribuzione di Maxwell al ariare della temperatura oppure al ariare T 1 (m 1 ) della massa delle molecole. T L area sottesa esprime in > T 1 (oppure m < m 1 ) ogni caso il numero complessio delle molecole. La T 3 > T (oppure m 3 < m ) elocità quadratica media, la elocità media e la elocità più probabile sono tutte proporzionali alla radice qua- Fig.4 drata della temperatura assoluta, e inersamente proporzionali alla radice quadrata della massa delle molecole. 14. Come si può ottenere, una olta nota la funzione di distribuzione f *, il alore medio della elocità e del quadrato della elocità delle molecole? Se aessimo un insieme macroscopico di N palline la elocità media sarebbe la somma della elocità di tutte le palline diiso il numero di palline: m = n i i i ni N i i, doe N n i è il numero di palline aenti la particolare elocità i. Il numero n i /N è la frequenza relatia delle palline aenti elocità i, cioè il rapporto tra il numero di palline aenti elocità i e il numero totale delle palline: in altre parole, n i /N è la probabilità che una pallina abbia elocità i. La media delle elocità è pertanto la somma di tutte le elocità, ognuna moltiplicata per la corrispondente probabilità. Analogamente, la media delle elocità in un insieme di elocità distribuite in modo continuo tra 0 e si ottiene facendo la somma di tutte le infinite possibili elocità, ognuna moltiplicata per la probabilità f * ()d che la elocità di una molecola sia compresa tra la elocità considerata e + d: [F] m = f*( ) d. 0 La media dei quadrati delle elocità (e cioè il quadrato della elocità quadratica media) sarà inece ( ) m = 0 f* ( )d.

5 38 Tonzig La fisica del calore QUESITI E PROBLEMI 1 Se sappiamo che il gas perfetto A è più caldo del gas perfetto B, possiamo dedurne che le molecole di A hanno, in media, un energia cinetica superiore a quella delle molecole di B (ero/falso). In un sistema di 5 molecole, le elocità, espresse in m/s, sono a un dato istante rispettiamente 19, , Si erifichi che il quadrato del alore medio della elocità è minore del alore medio dei quadrati. 3 Si calcolino: (a) Il alore quadratico medio dei primi cinque numeri interi, (b)* il alore quadratico medio nell insieme di tutti i numeri compresi nell interallo tra 1 e 5. 4 Le molecole del sistema A hanno una elocità media superiore a quella delle molecole del sistema B, ma una elocità quadratica media inferiore. È possibile? 5 La elocità quadratica media delle molecole di un gas perfetto dipende unicamente dalla temperatura (ero/falso). 6 Che relazione c è, nella distribuzione di Maxwell delle elocità molecolari, tra elocità quadratica media, elocità media e elocità più probabile? 7 Si determini la elocità quadratica media delle molecole di ossigeno, di azoto, di anidride carbonica e di apore d acqua in una massa d aria a 0 C e a pressione atmosferica. 8 Supponiamo che l energia cinetica di traslazione del moto di agitazione termica delle molecole di un certo quantitatio di azoto a 0 C possa enire conertita integralmente nell energia cinetica di un moto macroscopico di traslazione del gas. Quale sarebbe la elocità di tale moto di traslazione? 9 L energia cinetica media delle molecole di un gas perfetto biatomico a temperatura 7 C è uguale all energia cinetica media delle molecole di un gas perfetto tetratomico a temperatura incognita. Si determini tale temperatura. 10 (a) Quanta energia cinetica spetta, in media, all energia cinetica rotazionale di una molecola di ossigeno a temperatura ambiente (300 K)? (b) * Qual è l ordine di grandezza della elocità di rotazione della molecola, schematizzata come costituita da due punti materiali distanti d = 1, m l uno dall altro? 11 Ponendo due corpi a contatto, l energia cinetica di traslazione del moto termico si sposta sempre dal corpo in cui ce n è mediamente di più al corpo in cui ce n è mediamente di meno (ero/falso). 1 * Le elocità di un insieme di molte molecole identiche, di massa m, sono uniformemente distribuite tra 0 e max, e sono quindi tutte ugualmente probabili. Calcolare la elocità media e l energia cinetica media delle molecole.

6 Capitolo 4 Teoria cinetica dei gas Il grafico sottostante (fig. 5) rappresenta tre distribuzioni di Maxwell delle elocità molecolari di un gas perfetto. È possibile che le tre cure si riferiscano tutte a un unico tipo di gas? È possibile che si riferiscano a tre gas diersi alla stessa temperatura? f *() Fig.5 14 Una mole di elio (massa M = 4 g/mol, monoatomico) iene iniettata in un recipiente adiabatico di olume V = 15. Le molecole, selezionate in base alla elocità, entrano nel recipiente con elocità ariabili tra 0 e max = 1000 m/s, con densità di probabilità che cresce linearmente in funzione di a partire da zero. (a) * Esprimere in funzione di il numero di molecole che entrano nel recipiente con elocità compresa tra zero e. (b) Spiegare se dobbiamo aspettarci che, nel recipiente, la distribuzione delle elocità resti quella iniziale. (c) * Calcolare la temperatura e la pressione del gas all equilibrio. RISPOSTE 1 Falso: in A le molecole hanno sicuramente in media una maggiore energia cinetica di traslazione, ma se A è un gas monoatomico le sue molecole hanno solo energia cinetica di traslazione, mentre quelle di B potrebbero aere anche energia cinetica di rotazione (e, per temperature eleate, di ibrazione), e complessiamente potrebbero quindi aere un energia cinetica superiore. Il quadrato del alore medio è 3030, il alore medio dei quadrati è (a) N qm = ( )/ 5 = 3,317. (b) Dobbiamo integrare la funzione y = x tra x = 1 e x = 5, diidere poi per l ampiezza dell interallo di integrazione (5 1 = 4) ed estrarre infine la radice quadrata: d N qm = ( 1/ 4) 5 x 1 3 / 3 ( 1/ 4) x = 3,15. x = 5 1