INCERTEZZA NELLE MISURE ED ERRORI SPERIMENTALI 1. NON E POSSIBILE FARE MISURE INFINITAMENTE PRECISE : PRECISIONE ERRORE 0!

Transcript

1 Llab.1 INCERTEZZA NELLE MISURE ED ERRORI SPERIMENTALI 1. NON E POSSIBILE FARE MISURE INFINITAMENTE PRECISE : PRECISIONE ERRORE 0! FATTORI LIMITANTI LA PRECISIONE QUALITA DELLO STRUMENTO SENSIBILITA PORTATA METODO DI MISURA QUANTITA DA MISURARE

2 Llab. PRECISIONE E SENSIBILITA SONO CARATTERISTICHE DIERSE DI UNO STESSO STRUMENTO. ESEMPIO: MISURA DI UNA LUNGHEZZA CON DUE RIGHELLI DI UGUALE PRECISIONE HANNO LA STESSA SENSIBILITA? NO INFATTI UN RIGHELLO PUO AERE LE SOLE DIISIONI DEI CM E L ALTRO ANCHE QUELLE DEI MILLIMETRI. TUTTAIA CONFRONTANDO I DUE RIGHELLI POSSIAMO ERIFICARE CHE LA DISTANZA TRA LE DIISIONI DEI CENTIMETRI DEL PRIMO E UGUALE A 10 DIISIONI DEL SECONDO RIGHELLO. CONCLUSIONE I DUE STRUMENTI SONO UGUALMENTE PRECISI MA HANNO DIFFERENTI SENSIBILITA CERCHIAMO ORA DI CAPIRE BENE IL SIGNIFICATO DI SENSIBILITA DI UNO STRUMENTO CON UN ALTRO ESEMPIO.

3 Llab.3 CONSIDERIAMO UNA MISURA DI MASSA SE PESIAMO UN FINOCCHIO CON UNA BILANCIA DA CUCINA O CON QUELLA DI UN NEGOZIO TROEREMMO CHE LA SUA MASSA E DI CIRCA 150 g. SE PROIAMO AD ESEGUIRE LA MISURA SU UNA BILANCIA PESA-PERSONE ERIFICHIAMO CHE L INDICE DELLA BILANCIA NEPPURE SI SPOSTA: LA BILANCIA PESA-PERSONE NON E DUNQUE SUFFICIENTEMENTE SENSIBILE PER MISURARE UNA MASSA DI 150 g. OSSERIAMO PERO CHE TALE BILANCIA PUO MISURARE MASSE DI DECINE DI CHILOGRAMMI MENTRE LA BILANCIA DA CUCINA NON E IN GRADO DI FARLO. CONCLUSIONE LA BILANCIA PESA-PERSONE E MENO SENSIBILE E PRECISA DI QUELLA DA CUCINA MA HA UNA PORTATA MAGGIORE STRUMENTI BEN COSTRUITI HANNO PRECISIONE E SENSIBILITA SIMILI

4 Llab.4 ESEGUIAMO UNA MISURA DI LUNGHEZZA CON UN RIGHELLO CHE HA LA PRECISIONE AL. SUPPONIAMO DI AER TROATO CHE L1.5 c 15. L OGGETTO IN QUESTIONE E ESATTAMENTE LUNGO 15? NO PERCHE SE RIPETIAMO LA MISURA UN CERTO NUMERO n DI OLTE TROEREMMO CHE LA LUNGHEZZA L MISURATA NON SARA SEMPRE UGUALE A 15 MA FLUTTUERA AD ESEMPIO COME E MOSTRATO NELLA TABELLA

5 Llab.5 PER n 8 MISURAZIONI DI LUNGHEZZA DELLO STESSO OGGETTO n L() SI POTRA DIRE CHE LA LUNGHEZZA L HA UN INCERTEZZA DI 1 O AL MEGLIO DI 0.5. MA QUAL E IL ERO ALORE DI L? DOBBIAMO STABILIRE DELLE REGOLE CHE CI PERMETTONO DI ESEGUIRE STIME DEL ERO ALORE DELLE MISURE CHE EFFETTUIAMO: ALTRIMENTI DETTO PER OGNI SERIE DI MISURAZIONI ESEGUITE SI EFFETTUA LA ESTRAZIONE DI UN CAMPIONE DALLA POPOLAZIONE DI INFINITE MISURE POSSIBILI DELLA STESSA GRANDEZZA E DOBBIAMO TROARE I CRITERI PER STIMARE IL

6 Llab.6 PARAMETRO DELLA POPOLAZIONE A PARTIRE DAL CAMPIONE. QUINDI SE EFFETTUIAMO UNA SOLA MISURAZIONE DI LUNGHEZZA, NEL NOSTRO ESEMPIO L15 IN BASE A QUANTO SI E DETTO NON POSSIAMO AFFERMARE CHE L E ESATTAMENTE LUNGA 15 E QUESTO PERCHE LA AFFERMAZIONE SIGNIFICHEREBBE CHE L NON E PIU LUNGA NE PIU CORTA DEL ALORE MISURATO a esepio NEMMENO DI UN MILIARDESIMO DI! QUESTA AFFERMAZIONE SAREBBE ASSURDA PERCHE LA SENSIBILITA DELLO STRUMENTO ADOPERATO PERMETTE DI STIMARE LA LUNGHEZZA ENTRO 0.5 : L INTERALLO ENTRO CUI PUO STARE LA ERA LUNGHEZZA E LA INCERTEZZA DELLA MISURA O ERRORE SPERIMENTALE DELLA MISURA ATTENZIONE: ERRORE E SBAGLIO NON SONO LA STESSA COSA! ERRORE SPERIMENTALE ED INCERTEZZA SPERIMENTALE SONO SINONIMI.

7 Llab.7 CONSIDERAZIONE GENERALE SU ERRORI MASSIMI E SEMIDISPERSIONE MASSIMA SI POSSONO PRESENTARE DUE CASI: a) ESEGUENDO UNA MISURA PIU OLTE CON UNO STRUMENTO DI ASSEGNATA SENSIBILITA SI OTTIENE SEMPRE LA STESSA MISURA. AD ESEMPIO RIPETENDO PIU OLTE CON UN DOPPIO DECIMETRO LA MISURA DI UNA LUNGHEZZA SI OTTIENE SEMPRE L13.4 c ESSENDO LA SENSIBILITA DEL REGOLO PARI AD 1 L INCERTEZZA SULLA MISURA SARA PROPRIO DI 1. QUESTA INCERTEZZA PUO ESSERE CONSIDERATA COME L ERRORE MASSIMO DA ATTRIBUIRE ALLA NOSTRA MISURA. IN ALTRE PAROLE 1 RAPPRESENTA L INTERALLO DI INCERTEZZA DELLA NOSTRA MISURA : IL ALORE CHE OTTENIAMO LO POSSIAMO ESPRIMERE COME: ( ) c E

8 Llab.8 SIGNIFICA CHE LA NOSTRA MISURA PUO ESSERE COMPRESA TRA E c IN QESTO MODO INDICHIAMO COME INTERALLO DI INCERTEZZA 1 E L ERRORE MASSIMO E LA META DI QUESTO INTERALLO CIOE 0.5 REGOLA INCERTEZZA SENSIBILITA ERRORE MASSIMO SENSIBILITA / b) ESEGUENDO PIU OLTE UNA MISURA CON UNO STRUMENTO DI ASSEGNATA SENSIBILITA SI OTTIENE UNA SERIE DI MISURE TRA LORO PIU O MENO DIFFERENTI. ESEMPIO: MISURA CON UN DOPPIO DECIMETRO DEL DIAMETRO DI UN CILINDRO. DATA LA TIPOLOGIA DELLA MISURA E DEL MODO IN CUI PUO EFFETTUARSI SI POTREBBERO OTTENERE I SEGUENTI RISULTATI ESPRESSI IN c: 13.1;13.4;13.5;13.1;13.0;13.6;13.;13.;13.4;13.5; 13.3 ETC. SI PUO EDERE CHE I RISULTATI SI DISCOSTANO QUESTA OLTA L UNO

9 Llab.9 DALL ALTRO PIU DI QUANTO SIA LA SENSIBILITA DELLO STRUMENTO E CIOE 0.1c 1. C E QUINDI IL PROBLEMA DI COME ESPRIMERE LA MISURA CON UN UNICO ALORE E CON LA INCERTEZZA CHE IN QUESTO CASO RISULTA MAGGIORE DELLA SENSIBILITA DELLO STRUMENTO USATO. IL PROBLEMA SI RISOLE COSI : INDICHIAMO CON Dax E Din I ALORI MASSIMO E MINIMO TROATI PER LE MISURE. IL ALORE INTERMEDIO SARA DATO DA : Dint(DaxDin)/ E LA INCERTEZZA SARA DATA DA : D(Dax-Din)/ CHE SI DEFINISCE ANCHE COME SEMIDISPERSIONE MASSIMA IN QUESTO CASO LA SEMIDISPERSIONE MASSIMA RAPPRESENTA L ERRORE MASSIMO DELLA MISURA. NEL CASO ANALIZZATO SI HA DUNQUE CHE :

10 Llab.10 DDint D E CIOE Dint( )/13.3 c E D( )/0.3c DDint D( )c Eax0.3c > 0.01c (SENSIBILITA DEL DOPPIO DECIMETRO USATO) N.B. QUESTO METODO SI APPLICA SE D > SENSIBILITA DELLO STRUMENTO USATO. IL PROBLEMA DELLA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA SUPPONIAMO DI OLER MISURARE UN AREA. CONSIDERIAMO UN RETTANGOLO DI LATI a E b E NE OGLIAMO MISURARE L AREA. POSSIAMO PROCEDERE IN DUE MODI: a) MISURA INDIRETTA DEL AREA OTTENUTA ALUTANDO LE LUNGHEZZE DEI LATI a E b E POI CALCOLARE L AREA Aa b

11 Llab.11 b) MISURA DIRETTA DELL AREA MEDIANTE UN CAMPIONE DI AREA USATO COME UNITA DI MISURA E CHE COME STRUMENTO ARA UNA ASSEGNATA PRECISIONE E SENSIBILITA. a) MISURA DIRETTA STRUMENTI ADOPERATI: 1) CARTA QUADRETTATA CON QUADRETTI DI 1 c DI LATO ) CARTA QUADRETTATA CON QUADRETTI DI 1 DI LATO IL SECONDO STRUMENTO HA EIDENTEMENTE UNA SENSIBILITA CHE E 10 OLTE MAGGIORE DI QUELLA DEL PRIMO. b

12 Llab.1 b CASO A: b 9c<b<10 c b( )c 4c<<5 c ( )c CASO B: b( ) ( ) CASO A: AREAb ( ) c AREA4.75 c 475

13 Llab.13 CASO B: AREAb ( ) AREA4459 LE DUE MISURE DELLA STESSA AREA SONO DIFFERENTI GIA DALLA SECONDA CIFRA DECIMALE! NEL CASO A (9 b 10)c; (4 5)c; QUINDI (36 A 50) c DA CUI SI HA : A int (3650)/43 c A (50-36)/ 7 c A A int A (43 7)c CONTROLLANDO SI EDE CHE AA 50 c ; A-A 36 c 7 c RAPPRESENTA SIA L INCERTEZZA CHE L ERRORE MASSIMO DELLA MISURAPER LA MISURA A MAGGIORE SENSIBILITA FACENDO I CONTI ALLO STESSO MODO TROIAMO: A( ) DA QUI LA REGOLA: MISURANDO UNA STESSA GRANDEZZA PIU OLTE, SIA CON LO STESSO STRUMENTO CHE CON STRUMENTI DI DIERSA PRECISIONE E SENSIBILITA I RISULTATI DELLE MISURE DEONO ESSERE UGUALI ENTRO LE INCERTEZZE SPERIMENTALI DATE DAGLI ERRORI MASSIMI

14 Llab.14 EDIAMO ORA CHE ANCHE NEL CASO DI MISURA DIRETTA DI A ERRA RISPETTATA QUESTA REGOLA. NEL PRIMO CASO A PIU BASSA SENSIBILITA SI OTTERRA (36<A<50)c A(43 7)c OIAMENTE E SOLO UN CASO CHE IL ALORE DI A OTTENUTO DIRETTAMENTE RISULTA COINCIDENTE CON QUELLO OTTENUTO PER IA INDIRETTA IN GENERALE CI DOBBIAMO ASPETTARE CHE LE MISURE FATTE CON METODI DIERSI CADANO NELL INTERALLO DI INCERTEZZA DETERMINATO DAL METODO A SENSIBILITA PEGGIORE A in A in A int A ax A ax FORMALIZZEREMO ORA IL DISCORSO SULLA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA APPLICANDOLO AGLI ERRORI MASSIMI NELLE MISURE INDIRETTE. PRENDIAMO IN CONSIDERAZIONE L ESEMPIO DELL AREA MISURATA TRAMITE LE LUNGHEZZE DELLA BASE b E DELL ALTEZZA

15 Llab.15 Hp. << ; b << b int ± int ( ax in )/ ( ax - in )/ bb int ± b b int (b ax b in )/ b (b ax - b in )/ A int (A ax A in )/ A (A ax - A in )/ A ax ax b ax ( ax )( b ax b) A in in b in ( in - )( b in - b) AALENDOCI DELL IPOTESI FATTA QUANDO ESEGUIAMO I PRODOTTI TRASCUREREMO TUTTI I PRODOTTI DEL TIPO b PERCHE b<< O b ( SONO INFINITESIMI DI ORDINE SUERIORE AL 1 ) QUINDI A ax ax b ax b ax ax b E A in in b in b in - in b A int (A ax A in )/ int b int A (A ax - A in )/ b int int b

16 Llab.16 A f(,b) b A ( A/ ) ( A/ b) b A b b ( A/ )b ; ( A/ b) DA QUI SI DEDUCE LA REGOLA CHE SE yf(x 1,x,x 3,x 4,..x n ) E UNA GRANDEZZA MISURATA INDIRETTAMENYE ATTRAERSO LA MISURA DIRETTA DELLE x i L ERRORE MASSIMO SU y SI DETERMINA DA: y y x 1 x 1 y x x y x 3 x 3... y x n x n APPLICHIAMO LA REGOLA AD UN ALTRO ESEMPIO CHE CI TORNERA UTILE: SUPPONIAMO DI OLER DETERMINARE LA DENSITA r DI UN SOLIDO DA MISURE DI MASSA M E DI OLUME rm/ rf(m,)m/ ρ ρ M M ρ

17 Llab.17 ρ M M PRENDIAMO I ALORI ASSOLUTI PER CONSIDERARE GLI ERRORI MASSIMI E SI HA: ρ M M DA CUI LA REGOLA: L ERRORE MASSIMO DELLA GRANDEZZA OTTENUTA PER IA INDIRETTA SI OTTIENE FACENDO IL DIFFERENZIALE TOTALE DELLA GRANDEZZA STESSA E CONSIDERANDO PER IL CALCOLO I ALORI ASSOLUTI DELLA DERIATE PARZIALI ERRORI RELATII GLI ERRORI RELATII SI OTTENGONO DAL RAPPORTO TRA L ERRORE O INCERTEZZA DI UNA GRANDEZZA E IL

18 Llab.18 ALORE MEDIO DELLA GRANDEZZA STESSA: x GRANDEZZA X DI ERRORE ASSOLUTO ERRORE RELATIO e r /x ERRORE RELATIO PERCENTUALE e rp (/x) 100 ESEMPIO L( ) 0.05 ERRORE ASSOLUTO (MASSIMO) e r /L (0.05/4.87) e rp (/L) 100 1% L INFORMAZIONE DESUMIBILE E ABBASTANZA EIDENTE E CI PERMETTE DI

19 Llab.19 CONFRONTARE SERIE DI MISURE DIFFERENTI IN QUANTO ABBIAMO EFFETTUATO UNA PROCEDURA DI NORMALIZZAZIONE DELLE MISURE STESSE DI PARTICOLARE UTILITA E L USO DEGLI ERRORI RELATII NEL CASO DELLA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI. ESEMPI: A b A b b ERRORE RELATIO fl A b b A b b

20 Llab.0 A b A b QUINDI SI PUO CONCLUDERE CHE: e e ra rb e r L ERRORE RELATIO MASSIMO SU A SI OTTIENE DALLA SOMMA DEGLI

21 Llab.1 ERRORI RELATII SU E b FACCIAMO ORE UN ESEMPIO UTILE PER LE ESPERIENZE DI LABORATORIO: CALCOLO DELL ERRORE PER UNA ρ MISURA INDIRETTA DI DENSITA ρ ρ ρ

22 Llab. RICORDIAMO CHE 1 ρ QUINDI SI HA : ρ ρ e ρ e e

23 Llab.3 SUPPONIAMO CHE L OGGETTO CONSIDERATO SIA UN CILINDRO DI CUI SI E MISURATO IL DIAMETRO, L ALTEZZA E LA MASSA CON I RISPETTII ERRORI. OGLIAMO DETERMINARE L ERRORE RELATIO E L ERRORE ASSOLUTO SULLA DENSITA DETERMINATA INDIRETTAMENTE DAL RAPPORTO TRA MASSA E OLUME DEL CILINDRO. π 4 π π 4 DIIDENDO ENTRAMBI I MEMBRI PER SI HA:

24 Llab.4 E IN DEFINITIA ρ ρ

25 Llab.5 PER UN CILINDRO CAO DI DIAMETRO ESTERNO E E DIAMETRO INTERNO I ED ALTEZZA LA PROCEDURA E ANALOGA: OCCORRE TROARE IL DIFFERENZIALE TOTALE DEL OLUME CHE QUESTA OLTA E : QUINDI SI HA: I E 4 ) ( π I E I I E E π π π 4 ) (

26 Llab.6 CON PASSAGGI ANALOGHI AL CASO PRECEDENTE SI ARA : I I E E I I E E ρ ρ