Il moto casuale. posizione espressa in passi passi a destra passi a sinistra

Transcript

1 Schede commentate MIF FEI Scheda commentata - N. 1 Il moto casuale Un omino può spostarsi con uguale probabilità, di un passo alla volta, verso destra e verso sinistra. E come se il verso del passo fosse deciso dal lancio di una moneta: il moto che ne risulta è quindi casuale. Il paracarro, che segna la posizione di partenza dell omino, è preso come origine del sistema di coordinate, crescenti verso destra, rispetto al quale si valuta la posizione (in passi). 1) Dopo aver compiuto un dato numero di passi l uomo si troverà ancora nella posizione iniziale o si sarà allontanato (addirittura riuscendo a entrare in casa come vorrebbe)? Spiega la tua risposta. A priori non può essere data una risposta: c è, come si vedrà in seguito, una probabilità diversa da zero che l omino si allontani. 2) Immaginando di ripetere molte volte la camminata, quale ti aspetti sia il valore medio della posizione raggiunta? Spiega la tua risposta. Il valore medio della posizione raggiunta in un gran numero di prove, tutte di N passi, è zero perché la probabilità di compiere un passo a destra è uguale a quella di compiere un passo a sinistra. AVVIA LA SIMULAZIONE 3) Con i 9 passi consentiti dalla simulazione, si possono raggiungere posizioni che distino un numero pari di passi dal punto di partenza? Spiega la tua risposta. NO perché una data posizione si ottiene come differenza tra un numero dispari e un numero pari oppure tra un numero pari e un dispari. 4) Quali sono le posizioni raggiungibili? 9, 7, 5, 3, 1,-1,-3,-5,-7,-9 5) Indica, per ogni posizione raggiungibile, con quanti passi a destra e con quanti passi a sinistra si può raggiungere. posizione espressa in passi passi a destra passi a sinistra ) Una data posizione può essere raggiunta in un solo modo? Spiega la tua risposta. NO: le varie posizioni sono caratterizzate da un diverso numero di modi con cui si possono realizzare. Ad esempio la posizione 9 si può raggiungere in un solo modo: tutti i passi a destra,

2 mentre la posizione 7 si può raggiungere in 9 modi: il passo a sinistra (vedi tabella) può essere il primo, il secondo,, il nono (analogamente per le posizioni 9 e -7). In generale il numero di modi m p per raggiungere la posizione p (o la posizione p) diminuisce al crescere del valore p. Esso si può ricavare utilizzando la relazione binomiale. m p = N! /( n! n!) dove N è il numero totale di passi, n il numero di passi a destra e n il numero di passi a sinistra. Il numero di passi a destra e a sinistra sono legati al numero totale di passi e alla posizione dalle due relazioni: N = n + n p = n n Ad esempio per p = 5, m 5 = 9! /( 7! 2!) = 36 ( e ovviamente per p = -5, m- 5 = 9! /( 2! 7!) = 36) 7) Le varie posizioni hanno la stessa probabilità di essere raggiunte? Spiega la tua risposta. L allievo può rispondere correttamente se ha riconosciuto che posizioni diverse sono raggiungibili con un diverso numero di modi: infatti la probabilità che in un grande numero di prove una posizione venga raggiunta è proporzionale al numero di modi con i quali è raggiungibile. In generale questa probabilità si può ricavare dividendo il numero di modi m d relativo alla posizione d per il numero totale di possibili percorsi effettuabili con N passi. Tale numero è 2 N perché ci sono due possibilità, ugualmente probabili, ad ogni passo. P p = N! /((n! n! 2 N ) Le considerazioni precedenti vanno esplicitate agli studenti al termine del loro lavoro con la scheda.

3 MIF FEI Scheda commentata - N. 2 Il moto casuale 2 1) Fissato il numero N di passi, in quanti modi una data posizione può essere raggiunta dall omino? Per rispondere a queste domande l allievo deve utilizzare la formula binomiale che è stata presentata al termine della scheda Il moto casuale 1 m p = N! /( n! n!) con n+n = N p=n-n 2) Qual è la probabilità di raggiungere una data posizione? P p = N! /((n! n! 2 N ) AVVIA LA SIMULAZIONE 3) Eseguendo qualche decina di prove, costruisci un istogramma del numero di volte con le quali si raggiungono le diverse posizioni, per un prefissato valore di N. 4) Confronta i risultati ottenuti con quelli previsti in base al calcolo. L istogramma dovrebbe essere compatibile, sia pure con deviazioni, con i valori teorici ricavabili dalla binomiale. 5) Che cosa cambia nell istogramma aumentando il valore di N? Spiega la tua risposta. Aumentando il valore di N l istogramma dovrebbe allargarsi mostrando che aumenta l ampiezza della zona raggiungibile con una probabilità non trascurabile. Questo aspetto viene ripreso nella simulazione Diffusione in una dimensione.

4 MIF FEI Scheda commentata - N. 3 Diffusione in una dimensione Le simulazioni Il moto casuale 1 e 2 richiedono di ripetere molte prove per costruire l istogramma del numero di volte con cui l omino raggiunge le diverse posizioni, per un prefissato valore di N. In questa simulazione, invece, la presenza di molte particelle identiche sostituisce le molte prove con una sola particella. Può così essere visualizzato in tempo reale un istogramma che rappresenta quante particelle hanno raggiunto una certa posizione dopo un dato numero di passi; l istogramma è continuamente aggiornato al crescere del numero di passi. 1) Prima di avviare la simulazione fai una previsione di come evolve la forma dell istogramma al crescere del numero dei passi e cioè al passare del tempo. L istogramma si allarga e tende ad appiattirsi 2) Come pensi si distribuiscano le particelle nella scatola dopo tempi molto lunghi? La distribuzione tende a diventare uniforme AVVIA LA SIMULAZIONE 3) Le tue previsioni sono in accordo con gli esiti della simulazione? Poiché il valore medio della posizione (uguale a zero) non descrive lo sparpagliamento delle particelle, occorre trovare un altra grandezza che rappresenti questa caratteristica del moto. 2 2 Tale grandezza è la media dei quadrati delle posizioni p. Si può dimostrare che è p = N. La radice quadrata di questa grandezza è, per definizione, la distanza quadratica media d qm ed è: d qm = N 1/2 La distanza quadratica media è il parametro che indica l ampiezza della zona nella quale, a un certo istante, si trova la maggior parte delle particelle. Dentro la fascia di larghezza 2 d qm sta circa il 70% delle particelle, per qualunque valore di N. Ovviamente i risultati sperimentali si avvicinano tanto più a questo valore quanto maggiore è il numero di particelle coinvolte. La relazione tra d e il numero di passi è studiata nella simulazione La relazione tra lo spostamento e il tempo.

5 MIF FEI Scheda commentata - N. 4 La relazione tra lo spostamento e il tempo In un sistema come quello descritto nella simulazione Diffusione in una dimensione la posizione p 2 viene indicata con x. Mentre le particelle diffondono si costruisce il grafico di x, che rappresenta la media dei quadrati delle distanze x di ogni particella al crescere del numero dei passi, cioè al crescere del tempo. 1) Prima di avviare la simulazione fai una previsione dell andamento del grafico di del tempo. 2 x in funzione Le indicazioni date al termine della scheda Diffusione in una dimensione dovrebbero consentire di prevedere che il grafico ha un andamento lineare. 2) La radice quadrata di Tale grandezza è proporzionale a t ½. 2 x ( distanza quadratica media), come cambia nel tempo? AVVIA LA SIMULAZIONE 3) Le tue previsioni sono in accordo con gli esiti della simulazione? 4) Che cosa cambia nel grafico al cambiare del numero di particelle? Descrivi e spiega i cambiamenti osservati. Aumentando il numero di particelle è osservabile una diminuzione dell ammpiezza delle fluttuazioni. 5) Quale evoluzione avrà il grafico dopo che le particelle avranno incominciato a rimbalzare sulle pareti della scatola? La distanza quadratica media rimarrà costante. Si può far osservare che si crea una condizione di stazionarietà. 6) Verifica le tue previsioni dopo aver ridotto le dimensioni della scatola e commenta il risultato trovato. Conviene ridurre le dimensioni della scatola per rendere più veloce il raggiungimento delle condizioni di stazionarietà.

6 MIF FEI Scheda commentata - N. 5 Diffusione in due dimensioni Lavora con la simulazione variando il numero di particelle e il passo. 1) Quali aspetti del fenomeno della diffusione sono descritti dal modello? Il modello rappresenta bene la tendenza di ogni particella a raggiungere qualunque punto della scatola qualunque sia la sua posizione iniziale, purché passi un tempo sufficiente. Nella simulazione si vede infatti come la separazione iniziale tra particelle di diverso colore si perda così che dopo un certo tempo è possibile trovare particelle di entrambi i colori in ogni punto della scatola. Nella simulazione sono indicati i valori di velocità istantanea e di velocità media. La prima esprime la media dei moduli delle velocità di tutte le particelle calcolata per l ultimo movimento, mentre la seconda è la media di tutte le velocità istantanee da quando la simulazione è partita. A sua volta il modulo della velocità istantanea di ogni particella è calcolata dividendo la distanza tra la posizione di partenza e quella di arrivo dopo un numero di passi fissato dall implementatore per il tempo fittizio corrispondente a tale numero di passi.

7 MIF FEI Scheda commentata - N. 6 Moto browniano Lavora con la simulazione variando dapprima la massa M della particella ospite e poi anche il numero di particelle nella scatola. 1) Come spieghi il fatto che la particella ospite si muova malgrado le particelle del sistema abbiano movimenti in media isotropi (così che il centro di massa sia fermo)? Il moto delle particelle è in media isotropo, ma è caratterizzato dalla presenza di fluttuazioni, cioè da mancanza locale di isotropia. Ciò causa urti, di particelle singole o piccoli sciami, non simmetrici sulla massa ospite. 2) Come spieghi il fatto che i movimenti della particella ospite siano sempre meno vistosi al crescere della sua massa? Che ruolo hanno le dimensioni dell ospite? Al crescere della massa dell ospite cresce anche l area della sua superficie (nella simulazione bidimensionale la lunghezza della circonferenza) e ciò diminuisce l effetto sugli urti delle fluttuazioni (che tendono esse stesse a mediarsi). Questo è il ruolo delle dimensioni. Al crescere della massa diminuisce anche la variazione di velocità dell ospite dopo ogni urto. 3) Perché con una particella visibile ad occhio nudo non si nota il moto browniano? Se la particela è visibile ad occhio nudo, le sue dimensioni sono tali da assicurare una mediazione completa degli effetti delle fluttuazioni.

8 MIF FEI Scheda commentata - N. 7 Urti sulla parete 1) Avvia la simulazione e prendi nota degli aspetti che ti sembrano significativi circa il moto della pallina nella scatola e gli urti sulle pareti. Che cosa cambia al cambiare della velocità della pallina? Un aspetto significativo è la relazione tra intensità delle forze attive durante l urto e la componente della velocità nella direzione perpendicolare alla parete considerata. Un altro aspetto interessante è la simmetria tra incidenza e rimbalzo. Variando la velocità della pallina cambia la frequenza degli urti e l intensità delle forze. 2) Rappresenta nel grafico riportato sotto l andamento qualitativo della forza F esercitata dalla pallina sulla parete di destra in funzione del tempo. L andamento della forza esercitata dalla pallina sulla parete è schematizzabile come nel grafico seguente, dove τ è la durata dell urto. Da notare che τ è molto minore dell intervallo tra un urto e l altro. Al variare della velocità varia sia τ, sia l intervallo tra un urto e il successivo. Queste osservazioni sono preliminari all analisi del comportamento dei gas e sono riprese in Prima formalizzazione di Le Forme dell Energia Interna.

9 MIF FEI Scheda commentata - N. 8 Urti obliqui elastici 1) Avvia la simulazione e osserva ciò che accade prima e dopo l urto. Sperimenta vari urti cambiando soltanto la coordinata iniziale y i del disco rosso, facendola variare da 0 fino ad un valore superiore al raggio del disco. Disegna nel grafico sotto riportato l andamento qualitativo della porzione di energia cinetica associata, dopo l urto, alla direzione y al variare di y i. L andamento del grafico potrebbe essere il seguente: 2) Come devono essere tra loro le velocità iniziali dei due dischi per ottenere un trasferimento totale di energia cinetica dalla direzione x alla direzione y? Le velocità devono avere lo stesso valore e verso opposto. In questo caso la quantità di moto totale in direzione x è nulla e quindi tutta l energia cinetica passa dalla direzione x a alla direzione y (dopo l urto i dischi si muovono lungo la direzione y). Variando il parametro d urto, si varia dunque la porzione di energia che viene trasferita dalla direzione x a quella y. In generale, anche se le particelle prima dell urto non si muovono su rette parallele, l urto produce un cambiamento dell energia cinetica totale nella direzione x e nella direzione y (ovviamente la somma delle energie associate a x e a y rimane invariata). Si può verificare questo fatto nell urto di due dischetti, aventi la stessa massa, posizionati come mostrato nella figura seguente e con le velocità indicate:

10 La sequenza di posizioni dei due dischetti prima e dopo l urto è mostrata nella figura seguente; sono riportati anche i valori delle energie cinetiche associate all asse x e all asse y. Si può osservare che l urto produce travasi di energia cinetica da una direzione all altra.

11 MIF FEI Scheda commentata - N. 9 Rotazioni e vibrazioni Manubrio rigido 1) Esplora con la simulazione alcune condizioni di urto del manubrio contro la parete e descrivi cosa osservi Alcune osservazioni potrebbero essere le seguenti: - l urto contro la parete attiva una rotazione del manubrio che comporta una partizione di energia cinetica tra rotazione e traslazione; - gli angoli che la velocità del centro di massa(cm) forma con la normale alla parete prima e dopo l urto sono diversi. 2) Quanti sono i gradi di libertà del manubrio rigido nello spazio bidimensionale della simulazione? E nello spazio tridimensionale? Nello spazio bidimensionale sono 3 (2 per definire la posizione per esempio del CM e 1 per definire l orientazione del manubrio), mentre nello spazio tridimensionale sono 5 (3 per definire la posizione del CM e 2 per definire l orientazione del manubrio). 3) Per quali orientazioni iniziali del manubrio l urto contro la parete non provoca rotazioni? Orientazione parallela alla parete per qualunque direzione della velocità di traslazione, oppure orientazione perpendicolare con velocità perpendicolare alla parete. La probabilità che un urto avvenga senza attivare rotazioni è quindi molto piccola. Urti di manubri 4) Esplora con la simulazione alcune condizioni di urto tra i manubri e descrivi cosa osservi Si osserva che cambiando le modalità dell urto cambiano le porzioni di energia che si trasferiscono dalla direzione iniziale alla direzione y e alla rotazione. Utilizzando i manubri come modelli di molecole biatomiche rigide, si può immaginare che in un gas costituito da un gran numero di molecole avvengano urti caratterizzati da tutti i valori dei parametri d urto: di conseguenza l energia cinetica si ripartisce in media per ogni molecola tra le tre direzioni x,y,z associate alla traslazione e i due angoli associati alla rotazione attorno al centro di massa. Questo tipo di considerazioni prelude all introduzione di un principio di equipartizione dell energia media delle particelle su tutti i gradi di libertà. Vibrazioni 5) Esplora con la simulazione alcune condizioni di urto tra il manubrio e la parete; descrivi cosa osservi Si possono ripetere le considerazioni relative al manubrio rigido con l aggiunta degli effetti dovuti alla molla. Nella partizione dell energia una porzione deve essere attribuita anche alla molla. 6) Quanti sono i gradi di libertà del manubrio nello spazio bidimensionale della simulazione? E nello spazio tridimensionale? Nello spazio bidimensionale sono 4 (2 per definire la posizione per esempio del CM, 1 per definire l orientazione del manubrio e 1 per definire la distanza tra le masse), mentre nello spazio tridimensionale sono 6 (3 per definire la posizione del CM, 2 per definire l orientazione del manubrio e 1 per definire la distanza tra le masse).

12 MIF FEI Scheda commentata - N. 10 Relazione tra Energia Interna e Temperatura 1) Utilizzando una mappa concettuale o un altra forma espressiva, rappresenta il percorso che va dal modello di gas perfetto monoatomico alla relazione tra energia interna e temperatura assoluta. Dall analisi del modello microscopico di un gas monoatomico si ricava una relazione tra energia cinetica media di ogni molecola e le due grandezze macroscopiche pressione e volume del gas. Il confronto con l equazione di stato del gas perfetto consente di correlare la temperatura assoluta con l energia cinetica media. 2) Quanto prevedi sia il valore del calore molare di un gas perfetto le cui molecole sono costituite da tre atomi rigidamente collegati? Spiega la tua risposta. Una molecola di questo tipo ha 6 gradi di libertà e la sua energia è tutta cinetica, perciò l energia media associata ad ogni molecola è 6kT/2. Il calore molare del gas vale quindi 3R (J/mol K). 3) Una mole di neon (peso molecolare 20) e una mole di argo (peso molecolare 40) si trovano alla stessa temperatura di 300 K (entrambi gas monoatomici). Valuta il rapporto tra le velocità quadratiche medie delle molecole dei due gas. Poiché i gas sono entrambi monoatomici, l energia cinetica media di ogni molecola è data da E cm = mv 2 qm/2 = 3kT/2 ed è la stessa per i due gas. Si ha quindi m 1 v 2 qm1 = m 2 v 2 qm dove l indice 1 si riferisce al neon e l indice 2 all argo. Da qui si ricava v 2 qm1 / v 2 qm= (m 2 /m 1 ) 1/2 = 2 1/2 4) Esprimi l ordine di grandezza delle due velocità sopra indicate ricordando che la costante R dei gas vale circa 8,3 J/ gmol K. Risulta per il neon circa 600 m/s e per l argo circa 400 m/s. 5) Una mole di idrogeno alla temperatura di 300 K viene mescolata in un recipiente isolato con una mole di elio a 500 K. Valuta l energia cinetica media delle molecole della miscela all equilibrio. La miscelazione dei due gas nel recipiente isolato non altera l energia interna totale. L energia media di ogni molecola alla temperatura di equilibrio deve valere E cmmix = (5kT 1 /2 + 3kT 2 /2)/2 dove k è la costante di Boltzmann, T 1 =300 e T 2 = 500 sono le temperature assolute rispettivamente dell idrogeno e dell elio. Numericamente, risulta E cmmix = 750 k. D altra parte, alla temperatura di equilibrio T, l espressione dell energia cinetica media di una qualunque molecola ( elio o idrogeno) è E cmmix = (5kT/ 2 + 3kT/ 2)/ 2 = 4kT/2 = 2kT Da qui risulta che la temperatura di equilibrio è T =375 kelvin MIF FEI Pavia Maggio 2003