1 - Dimostrare che i vettori. formano un triangolo rettangolo. 2 - Dimostrare che se a+ b+ c = 0 (cioè se i tre vettori formano un triangolo) allora:

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1 CALCOLO VETTORIALE Moti degi esercizi proposti possono essere risoti considerando e proprietà dee figure geometriche formate dai vettori. Si richiede invece di risoveri utiizzando i cacoo vettoriae. - Dimostrare che i vettori 3ˆx ŷ +ẑ ˆx 3ŷ +5ẑ ˆx+ŷ 4ẑ formano un triangoo rettangoo. - Dimostrare che se a+ b+ c = 0 (cioè se i tre vettori formano un triangoo aora: a c = c b = b a da queste tre reazioni dedurre i teorema dei seni. 3 - Dato un generico quadriatero ABCD, dimostrare che i quadriatero che ha per vertici i punti di mezzo dei suoi ati è un paraeogramma. Suggerimento : AB + BC + CD+ DA = Utiizzando e proprietà de prodotto scaare, dimostrare a reazione trigonometrica: cos(α β = cosαcosβ +sinαsinβ 4 - Dimostrare che se a somma di due vettori è perpendicoare aa oro differenza, i due vettori hanno moduo uguae. 5 - Determinare i due vettori a e b che sodisfano e reazioni: a+ b = ˆx ŷ a b = ˆx+ŷ e angoo da essi formato. 6 - Utiizzando e proprietà de prodotto scaare, dimostrare i teorema di Carnot. y 7 - Date due particee di massa m e m che si trovano nei punti P e P ed i oro vettori posizione r ed r, i oro centro di massa è definito come i punto C che ha per vettore posizione: r C = m r +m r m +m Dimostrare che C appartiene a segmento P P. Per competare a formuazione matematica de probema bisogna specificare, cosa ovvia in fisica, che m ed m sono positive. r r C P C P r x

2 CINEMATICA E DINAMICA DEL PUNTO. g è acceerazione di gravità. 0 - Durante un sorpasso, due automobii A e B stanno procedendo paraeamente su una strada rettiinea con veocità v A e v B. Quando A si trova ad una distanza d, misurata ungo asse dea strada, dietro B, i conducente rinuncia a sorpasso ed inizia a raentare con acceerazione a. Dimostrare che i sorpasso non avviene se v A v B < ad e verificare dimensionamente questa espressione. Ne caso contrario, cacoare i tempo a cui avviene, misurato a partire da istante in cui A inizia a raentare. y y 0 - Una coina è incinata di un angoo ϕ rispetto aa direzione orizzontae. Una paa viene anciata daa sua sommità con una veocità iniziae che forma un angoo α con orizzontae. Dimostrare che, a parità di moduo dea veocità iniziae, angoo di gittata massima, misurata ungo a coina, è dato da α max = π 4 ϕ. α ϕ v x ϕ g ϕ x Scegiamo i sistema di riferimento x y : con questa sceta potremo rivovere i probema cercando intersezione con asse y = 0, come ne caso dea gittata su un piano orizzontae; a differenza sta ne fatto che in questo sistema g ha entrambe e componenti non nue. v = vcos(α+ϕˆx +vsin(α+ϕŷ ; g = gsin(ϕˆx gcos(ϕŷ Le eggi orarie de moto de paone (t = 0 a momento de ancio: x (t = vcos(α+ϕt+ gsin(ϕt ; y (t = vsin(α+ϕt gcos(ϕt Ora non conviente scrivere espicitamente equazione dea traiettoria, che è una paraboa con asse obiquo rispetto agi assi coordinati. Procediamo in questo modo: imponendo y (t = 0 e risovendo per t ricaviamo i tempo t o a cui i paone cade sua coina; a souzione t = 0 corrisponde a momento de ancio, atra souzione è data da: t o = vsin(α+ϕ sostituendo questa espressione in x gcos(ϕ (t otteniamo a coordinata x de punto d impatto, cioè a gittata, che indichiamo con d: [ ] d = vcos(α+ϕ vsin(α+ϕ + sin (α+ϕ gcos(ϕ gsin(ϕ4v g cos = v sin(α+ϕ sin(ϕsin(α+ϕ v (ϕ gcos(ϕ cos(α+ϕ+ cos(ϕ = sin(α+ϕcos(α gcos (ϕ L epressione dea gittata è dunque abbastanza sempice e potete verificare che per ϕ = 0 si riduce a quea che abbiamo ricavato ne caso di gittata su un piano orizziontae. Dobbiamo ora cercare i vaore di α per cui si ha i massimo di d; deriviamo quindi rispetto ad α: d = v gcos (ϕ [cos(α+ϕcos(α sin(α+ϕsin(α] = v gcos (ϕ cos(α+ϕ d si annua per α+ϕ = π, otteniamo dunque α max dato ne testo. Dovremmo ancora verificare che si tratta effettivamente di un massimo, ma questo possiamo faro ragionando su cosa succede quando α aumenta o diminuisce rispetto ad α max, oppure considerare anaogia co caso di gittata in un piano. Se in aternativa vogiamo avorare ne sistema xy dovremo scrivere equazione dea traiettoria dea paa che già conosciamo (a paa parte da origine: y = sinα cosα x g v cos α x e studiarne intersezione con a retta incinata come a coina. Conviene scrivere equazione di tae retta in forma parametrica (*: x = dcosϕ ; y = dsinϕ In queste equazioni i parametro d è a distanza da origine per i punti dea retta ne secondo quadrante, mentre per i punti ne quarto quadrante tae distanza è d; ricavando d otterremo dunque direttamente a gittata. Sostituendo queste due equazioni nea prima otteniamo: dsinϕ = d sinα cosα cosϕ g v cos α d cos ϕ Che risota per d ci darà i punti di intersezione. Eiminando a souzione d = 0 che corrisponde a punto di partenza e motipicando ambo i membri per cos α otteniamo: sinϕcos α+sinαcosϕcosα = g v dcos ϕ e con pochi atri passaggi riotteniamo a gittata cacoata prima, cambiata di segno perchè intersezione si trova ne quarto quadrante. (* x = f(d e y = g(d costituiscono e equazioni parametriche di una curva ne piano ne senso che, per d che varia in un certo intervao ( da a + ne nostro caso, i punto di coordinate f(d e g(d descrive tutta a curva. Ad ogni vaore di d corrisponde un punto dea curva e viceversa Un aereo A deve sganciare su un naufrago N un kit di soccorso. Utiizzando e quantità indicate in figura dimostrare che a momento deo sgancio i piota deve vedere i naufrago sotto un angoo dato da tan = hg. v A h v N

3 04 - Sia ρ i raggio di curvatura dea curva di una strada orizzontae. Se µ s è i coefficiente di attrito statico tra e ruote di un automobie e a strada, dimostrare che a veocità massima (in moduo aa quae automobie può viaggiare senza sbandare è data da µ s gρ. Considerare poi i caso in cui a strada sia incinata di un angoo ϕ trasversamente aa direzione di marcia. Dimostrare che se automobie percorre a strada ad una veocità(inmoduodatadatanϕ = v ρg, aoraeruotenonsubisconosoecitazioni trasversai aa direzione di marcia. Sua base di queste considerazioni si costruiscono piste circoari ed incinate trasversamente per gare o per prove sui prototipi di automobie. y g N π ϕ ϕ f s Se automobie percorre a strada a veocità di moduo costante v (moto circoare unifirme, acceerazione ha soo componente normae, diretta orizzontamente verso interno dea traiettoria e di moduo v. Tae acceerazione deve essere fornita daa forza di attrito statico, che quindi agisce trasversamente ae ruote, è ρ diretta verso interno ed ha moduo (m è a massa de automobie: f s = m v µsn = µsmg da cui segue a diseguaginza data ne testo. ρ Più interessante è i caso in cui a strada è incinata. Se auto si mantiene aa stessa quota ungo a strada, a traiettoria è ancora una circonferenza orizzontae e quindi acceerazione normae dovrà essere ancora orizzontae e rivota verso interno. In figura è rappresentata a sezione trasversae dea strada e e forze che agiscono su automobie. L acceerazione normae dovrà essere diretta ungo asse x. fs è radente aa strada, ma i verso indicato in figura è a nostra ipotesi iniziae,ma potrebbe, come vedremo, essere anche queo opposto. In questo caso sia f s che N hanno componenti ungo x e contribuiscono aa acceerazione normae. In definitiva a seconda egge di Newton F = m a si scrive: N + fs +m g = m a = m a N = m v ρ ûn = m v ρ ˆx (Se i moto è circoare uniforme acceerazione ha soo componente normae e data a sceta de sistema di riferimento, û N e ˆx coincidono. Le componenti x e y di questa equazione vettoriae si scrivono: x : N sinϕ+f scosϕ = m v ρ y : N cosϕ f ssinϕ mg = 0 Lungo z e componenti dee forze, e quindi anche quea de acceerazione, sono nue. Questo sistema di equazioni in N ed f s ci permette di ricavare a reazione normae e a forza d attrito: N = mgcosϕ+m v ρ sinϕ ; fs = mv cosϕ mgsinϕ (* ρ Notate che i determinante dei coefficienti è o a seconda di come si dispongono e righe. Questo è dovuto a fatto che N e f s sono perpendicoari tra oro. f s si annua per tanϕ = v ; cioè, a ϕ fissato, esiste un vaore di v, o chiamiamo vo, per cui a forza d attrito statico trasversae è nua, ossia automobie ρg procede come se fosse su una pista rettiinea, e di fatto non c è bisogno di sterzare. Quea ongitudinae, o vedremo più avanti, non è comunque nua. In questo caso acceerazione normae è fornita daa soa componente di N ungo x. L aneo di prova di Nardò ha quattro piste con incinazioni diverse, corrispondenti a quattro veocità da 00 a 40 kmh e viene usato per provare e automobii in condizioni moto simii a quee di un percorso rettieneo. Per veocità maggiori di v o f s in (* è positivo, quindi per mantenere auto sua traiettoria è necessaria una forza d attrito ne verso rappresentato in figura. Mentre, per veocità minori di v o, f s è negativo ed i verso è opposto a queo rappresentato in figura. Si può ottenere o stesso risutato (* anche imponendo che a risutante dee forze ungo i piano incinato sia nua. Fateo per esercizio Un ragazzo vuo far cadere dei bei frutti da un abero anciando un sasso con una fionda. Punta i ancio mirando esattamente sui frutti, ma questi sono ben maturi ed i caso vuoe che si stacchino da abero proprio a momento de ancio. Dimostrare che i sasso copisce i frutti Trovare i raggio di curvatura de punto più ato dea traiettoria di un paone anciato da terra con una veocità iniziae che forma una angoo α con orizzontae ed ha moduo v La pioggia sta cadendo verticamente rispetto aa terra con veocità costante V p. Da un automobie che si muove con veocità costante V a a osserviamo cadere con un incinazione α rispetto aa verticae. Dimostrare che, conoscendo a veocità de automobie, possiamo cacoare quea dea pioggia: V p = V a cotα Una moa ( unghezza di riposo 0, costante eastica k è fissata ad un estremo e sospesa verticamente. A atro estremo è attaccato un corpo puntiforme di massa m. Cacoare a posizione di equiibrio de corpo, scrivere equazione de moto e cacoare i periodo dee osciazioni Un proiettie viene anciato da suoo con veocità iniziae v o e deve copire un punto su suoo distante d da punto di ancio. a Cacoare angoo che v o deve formare con i piano orizzontae. b Cacoare i vaore minimo di v o necessario affinchè i proiettie raggiunga i bersagio. a Scegiamo asse x ungo a congiungente tra i punto di ancio ed i bersagio, con origine ne punto di ancio e diretto verso i bersagio; e asse y diretto verticamente rispetto a suoo, verso ato. Poichè i moto ne campo dea forza di gravità è un moto piano, i proiettie può raggiungere i bersagio soo se v o giace ne piano xy. Ne sistema di riferimento sceto acceerazione di gravità è data da gŷ; indicando con angoo che v o forma con asse x, e coordinate x e y de proiettie in funzione de tempo t (scegiendo t = 0 a istante de ancio sono date da: x = v ocost ; y = v osint gt vo sin y si annua per t = 0 (istante de ancio e t = (istante in cui i proiettie copisce i suoo; sostituendo quest utima espressione in quea di x otterremo g a coordinata x de punto d impatto, x i ; x i è dunque a gittata de proiettie: x ϕ

4 x i = vo sincos = vo sin ( g g imponendo che x i sia uguae a d otteniamo: sin = dg v da cui si ricava espressione di. o b daa (* osserviamo che, per un dato vaore di v o, i vaore massimo possibie dea gittata si ha per = π 4 : x imax = vo g perchè i proiettie raggiunga i bersagio tae vaore deve essere maggiore o uguae a d, quindi a condizione richiesta si scrive: v o gd. 0 - Una paa viene anciata e rimbaza easticamente sua sommità di una parete. Date e quantità v o,,h indicate in figura, cacoare a distanza d daa parete aa quae a paa ricade. Trascurare a resistenza de aria. d = v o cos g [ ] [ ] tan + tan gh vo = v o sincos + gh cos g vo sin Notate a condizione per a quae argomento dea radice è positivo. v o h - Una paa viene anciata contro una parete e rimbaza easticamente. Date e quantità v o,,d o indicate in figura, cacoare a distanza d daa parete aa quae a paa ricade. Trascurare a resistenza de aria. d+d o = gittata dea caduta ibera = v o g sin( v o d e d o sono distanze, quindi sono quantità positive. d - Due paoni, che assimiiamo a due punti materiai, venngono anciati da suoo ao stesso instante, da due punti distanti d e con e veocità iniziai indicate in figura. Dati v, v e, determinare v v d affinchè i paoni si incontrino e istante di tempo a cui avviene incontro. Trascurare a resistenza de aria. Utiizziamo un sistema di riferimento con origine nea posizione iniziae de primo paone, asse x orizzontae e rivoto verso destra, asse y verticae e rivoto verso ato e fissiamo t = 0 a istante dei anci simutanei. Le coordinate dei due paoni in funzione de tempo (eggi orarie de moto si scrivono: x (t = v cos t ; y (t = v sin t gt x (t = d v cos t ; y (t = v sin t gt affinchè i due paoni si incontrino, e oro coordinate x ed y devono essere uguai in un istante da determinare. Abbiamo dunque due equazioni nee incognite t e. La souzione è particoarmente sempice perchè acceerazione è a stessa per entrambi, e perchè partono neo stesso istante: uguagianza dee coodinate y e y si riduce, eiminando i caso banae t = 0, ad una equazione in che ha per souzione: sin = v sin v d uguagianza dee x si scrive invece : v cos t = d v cos t t o = v cos +v cos dove t o è istante in cui si incontrano, e dove bisogna sostituire espressione di scritta in precedenza. Notate che e condizioni ricavate riguardano intersezione dee traiettorie, che potrebbero incontrarsi anche a disotto de iveo de suoo; per richiedere che si incontrino a disopra, dovremmo imporre quache uteriore condizione sui modui dee veocità. 3 - Un aereo sta voando orizzontamente ad una quota h con veocità costante v a ; un proiettie viene anciato da suoo con a veocità iniziae indicata in figura, ne istante in cui aereo passa daa verticae. Cacoare, in funzione di v o e v a, angoo con cui bisogna anciare i proiettie affinchè esso copisca aereo ed i vaore minimo di v o in funzione di h, v a e de acceerazione di gravità. Trascurare a resistenza de aria. Utiizziamo un sistema di riferimento con origine nea posizione iniziae de proiettie, asse x orizzontae e rivoto verso destra, asse y verticae e rivoto verso ato e fissiamo t = 0 a istante de ancio. Le coordinate de aereo e de proiettie in funzione de tempo (eggi orarie de moto si scrivono: x a(t = v at ; y a(t = h x p(t = v ocos(t ; y p(t = v osin(t gt affinchè i due paoni si incontrino, e oro coordinate x ed y devono essere uguai in un istante da determinare. Abbiamo dunque due equazioni nee incognite t e : v at = v ocost ; h = v osint gt La prima equazione (escudendo i caso banae t = 0 e dividendo per t permette di ricavare i vaore di : cos = va (* v o è evidente che v o deve essere maggiore di v a, ma non basta : a seconda equazione permette di ricavare i tempo de impatto; è un equazione di secondo grado in t che ha souzioni reai per: vo sin gh 0 (ricavando sin daa (* vo va +gh Se questa condizione è verificata equazione ha due souzioni che corrispondono ai due istanti in cui a traiettoria paraboica de proiettie incontra quea de aereo oppure una (due souzioni coincidenti che corrisponde a caso in cui impatto avviene aa sommità dea traiettoria de proiettie. Si ottiene, ovviamente, o stesso risutato scrivendo espressione dea quota massima de proiettie ed imponendo che essa sia maggiore o uguae ad h: h v o d o v a

5 vo sin h g 4 - I due sistemi di riferimento rappresentati in figura giacciono in un piano orizzontae; S S è inerziae, mentre S è soidae con un vagone ferroviario, in figura visto da ato, che si y S y sta muovendo con acceerazione costante A rispetto ad S. Un bocchetto, assimiabie ad un punto materiae che scivoa senza attrito su pavimento de vagone, viene anciato daa posizione indicata in figura con a veocità iniziae v o orizzontae e perpendicoare a asse x. a Scrivere e eggi orarie de moto, x (t ed y (t, e equazione cartesiana dea traiettoria b y (x de bocchetto; b cacoare a coordinata x de punto in cui i bocchetto urta contro a parete opposta e i A tempo a cui avviene impatto; v o c un osservatore ne sistema S che tipo di moto osserva? x o x,x Ne sistema S, i bocchetto è soggetto soo aa forza peso ed aa reazione de pavimento de vagone; in assenza di attrito, tae reazione è normae ed equiibra a forza peso. L acceerazione de bocchetto è dunque nua. La reazione tra e acceerazioni nei due sistemi (trasformazioni di Gaieo è a seguente: a = a + A a = A in S i moto de bocchetto è dunque uniformemente acceerato con posizione iniziae r o = x oˆx, veocità iniziae v o = v oŷ ed acceerazione A = Aˆx. a Ponendo t = 0 a momento de ancio e coordinate de punto in funzione de tempo sono date da: x (t = x o At ; y (t = v o t Queste due equazioni costituiscono equazione parametrica, con parametro t, dea traiettoria; ricavando i parametro da una dee due e sostituendoo ne atra otteniamo equazione cartesiana: ( x = x o A y v o oppure y = v o (x o x A ( b x = x o A b v o ; t = b v o c Ne sistema S acceerazione è nua; i moto è dunque uniforme con veocità data da (trasformazioni di Gaieo: v = v T + v o Dove v T è a veocità de treno a momento de ancio. La posizione iniziae è a posizione de bocchetto a momento de ancio. 5 - Due paoni, che assimiiamo a due punti materiai, venngono anciati da suoo ao stesso instante, da due punti distanti d e con e veocità iniziai indicate in figura (i secondo v v d viene anciato verticamente. Determinare affinchè i paoni si incontrino e istante di tempo a cui avviene incontro in funzione di v, v e d. Trascurare a resistenza de aria. Utiizziamo un sistema di riferimento con origine nea posizione iniziae de primo paone, asse x orizzontae e rivoto verso destra, asse y verticae e rivoto verso ato e fissiamo t = 0 a istante dei anci simutanei. Le coordinate dei due paoni in funzione de tempo (eggi orarie de moto si scrivono: x (t = v cost ; y (t = v sint gt x (t = d ; y (t = v t gt affinchè i due paoni si incontrino, e oro coordinate x ed y devono essere uguai in un istante da determinare. Abbiamo dunque due equazioni nee incognite t e. La souzione è particoarmente sempice perchè acceerazione è a stessa per entrambi, e perchè partono neo stesso istante: uguagianza dee coodinate y e y si riduce, eiminando i caso banae t = 0, ad una equazione in che ha per souzione: sin = v v d uguagianza dee x si scrive invece : v cost = d t o = v cos = d ( v = d v v v v dove t o è istante in cui si incontrano. Notate che sia da espressione di sin che da quea di t o si deduce che si incontrano soo se v > v. 6 - Considerare una pista circoare orizzontae di raggio R; un pattinatore iniziamente fermo in un punto dea pista ancia un paone imprimendogi a veocità v rappresentata in figura e contemporamente inizia a pattinare ungo a pista con acceerazione tangenziae di moduo costante a. a cacoare i vaore di a affinchè i pattinatore possa riprendere i paone; b cacoare i coefficiente di attrito statico tra a pista ed i pattini necessario affinchè i pattinatore non sitti trasversamente ungo i percorso prima di riprendere i paone. Trascurare attrito tra i suoo ed i paone e trattare i pattinatore come un punto materiae. a Ovviamente e traiettoria de paone e quea de pattinatore si incontrano ne punto dea pista diametramente opposto a punto di ancio. I paone impiega un tempo t o = R per raggiungere tae punto. Neo stesso tempo i pattinatore deve percorrere mezza pista. La sua acceerazione angoare è data α = a v R e ne tempo t o deve aver percorso un angoo π. Quindi (cinematica de moto rotatorio: a R to = π a = πv R. Aternativamente potremmo considerare ascissa curviinea percorsa ne tempo t o, che è data da ato e deve essere uguae a πr. b La forza d attrito statico deve fornire in ogni punto de percorso de pattinatore acceerazione centripeta necessaria a mantenere a traiettoria circoare (indichiamo con w a veocità scaare de pattiinatore: µ sg = w R µ s = w gr w è uguae ad at ed è massima ne punto in cui i pattinatore riprende i paone; quindi i vaore minimo richiesto è dato da: µ s = (ato gr = (πv gr I pattinatore potrebbe anche percorrere n giri competi più mezzo giro prima di incontrare i paone, quindi ad essere rigorosi a prima parte de probema ha infinite souzioni; tuttavia a aumentare di n aumenterebbe i vaore di µ s. v

6 7 - Un aereo sta voando orizzontamente ad una quota h con veocità costante v a ; ne istante in cui aereo passa daa verticae rispetto ad un cannone situato a suoo, areo ascia cadere una bomba ed i cannone spara un proiettie con veocità iniziae v o ( v o > v a. a Cacoare, in funzione dee quantità date in precedenza, i vaore de angoo necessario perchè i proiettie copisca a bomba ed i tempo a cui avviene impatto. bdimostrare che, affinchè impatto avvenga ad una quota maggiore di h, si deve avere: v o v a +gh. Trascurare a resistenza de aria. Utiizziamo un sistema di riferimento con origine nea posizione iniziae de proiettie, asse x orizzontae e rivoto verso destra, asse y verticae e rivoto verso ato e fissiamo t = 0 a istante de ancio. a Le coordinate dea bomba e de proiettie in funzione de tempo (eggi orarie de moto si scrivono: x b (t = v at ; y b (t = h gt x p(t = v ocos(t ; y p(t = v osin(t gt affinchè i due ordigni si incontrino, e oro coordinate x ed y devono essere uguai in un istante da determinare. Abbiamo dunque due equazioni nee incognite t e : v at = v ocos(t ; h = v osin(t La prima equazione (escudendo i caso banae t = 0 e dividendo per t permette di ricavare i vaore di : a seconda equazione permette di ricavare i tempo de impatto: h t = = (daa (* = h v o sin( v o v a h v o cos( = va v o (* b Sostituendo ( quest utima espressione di t in quea di di y b o di y p si ottiene espressione dea quota a cui avviene impatto: h i = h g h v o v a ed imponendo che h i sia maggiore di h si ricava a condizione cercata. 8 - Un aereo A che sta voando ad una quota h a veocità costante v deve sganciare su un naufrago N un kit di soccorso. Cacoare, in funzione di g e dee quantità date in precedenza, a distanza d in figura a momento de ancio. Trascurare a resistenza de aria. - Scegiendo i sistema di riferimento come in figura (o zero sta su piede dea perpendicoare da A a momento de ancio e coordinate de kit in funzione de tempo sono date da: x(t = vt ; y(t = h gt Queste due equazioni costituiscono un sistema nee incognite t e d; a seconda ci permette di ricavare i tempo a cui i kit tocca acqua. Sostituendo i vaore di t così ottenuto nea prima, ricaviamo i vaore di d: h h t = ; d = v g g L aereo dovrà sganciare i kit quando a perpendicoare a iveo de acqua si trova a distanza d da naufrago. y h v A h v a v d d N x 9 - Un paone viene anciato daa posizione indicata in figura con una veocità iniziae v o che forma un angoo di π 4 con orizzontae. Cacoare i vaore minimo di v o affinchè i paone cada su tetto di un edificio di atezza h che si trova a distanza d da punto di ancio. Trascurare a resistenza de aria. v o π 4 h d Cacoiamo i vaore di v o per i quae i paone tocca i vertice de edificio; per vaori di v o maggiori i paone supererà tae vertice e ricadrà su tetto. Scegiendo origine ( de sistema di riferimento ( ne punto di ancio de paone, e sue coordinate in funzione de tempo sono date da: π x(t = v ocos 4 t ; y(t = vosin π 4 t gt uguagiandoe ( ae coordinate de ( vertice de edificio: π v ocos 4 t = d ; vosin π 4 t gt = h otteniamo un sistema di equazioni in t e v o che ha per souzioni positive: v o = gd d v o cos( π 4 ; t = d h notiamo che tai souzioni hanno significato fisico soo se d > h ; perchè? Non essendo indicata ne probema a arghezza de edificio, non consideriamo a possibiità che i paone o superi e ricada da atro ato. Data tae arghezza, potremmo cacoare anche i vaore massimo di v o. 0 - La guida rappresentata in figura ha a forma di un arco di circonferenza di raggio R; su di essa può scorrere senza attrito un bocchetto di massa m, che assimiiamo ad un punto materiae. A bocchetto, nea posizione iniziae indicata in figura, viene impressa una veocità iniziae orizzontae di moduo v o. Cacoare i vaore minimo di v o per cui i bocchetto raggiunge i punto A e ne caso in cui o superi cacoare a quota massima raggiunta rispetto a punto di partenza. La variazione di quota tra i punto A ed i punto iniziae è data da: R ( cos π 4. R m π 4 A

7 Indichiamo con v A a veocità ne punto finae. La reazione normae dea guida non compie ( avoro, quindi ne tratto da punto iniziae ad A soo a forza peso compie avoro e a conservazione de energia permette di ricavare: va = v o gr cos 4 π. ( Quindi i vaore minimo di v o è dato da: gr cos 4 π. Ne punto A v A forma un angoo di π con orizzontae e daa cinematica abbiamo che a quota massima raggiunta rispetto aa quota di A è data da: 4 (v A sin π 4 g Sostituendo espressione di va ed aggiungendo a quota di A otteniamo a quota massima rispetto a punto di partenza: vo 4g + ( R

8 LAVORO ED ENERGIA 0 - Ne sistema in figura a moa ha costante eastica k e unghezza di riposo 0 e i cubo ha massa m. Iniziamente a moa è compressa fino ad una unghezza 0, viene asciata ibera ed i cubetto si stacca daa moa. Cacoare atezza massima rispetto a piano di sostegno a cui arriva i cubetto. 0 - Un bocchetto di massa m, assimiabie ad un punto materiae, parte da fermo da una m quota h e scivoa senza attrito ungo una guida circoare; a termine dea guida si trova un tratto orizzontae di unghezza h ed aa fine de tratto orizzontae una parete verticae; i coefficiente d attrito dinamico tra i bocchetto ed i tratto orizzontae è µ d = 0.5. h a Ne ipotesi che urto tra a parete ed i bocchetto sia eastico, cacoare a quota massima h f che i bocchetto raggiunge ungo a guida circoare dopo urto; b ne ipotesi che urto sia invece parziamente aneastico, ed indicando con h f < h f a quota A h B massima finae, cacoare a perdita di energia cinetica durante urto. a Energia cinetica in A a primo passaggio (conservazione de energia: E ka = mgh Energia cinetica in B a primo passaggio (avoro compiuto daa forza d attrito: E kb = E ka µ d N h = E k A µ d mg h (N = mg è i moduo dea reazione normae de piano. Energia cinetica in B dopo urto eastico : E k = E kb B Energia cinetica in A a secondo passaggio : Quindi (conservazione de energia : h f = h E k A = E k B µ d mg h = E k A µ d mgh = mgh mgh = mgh b Per cacoare a perdita di energia E o non è necessario rifare i passaggi precedenti: essa sarà data daa differenza fra energia potenziae aa quota h f e quea aa quota h f : Eo = mg( h f h f 03 - Un bocchetto di massa m, assimiabie ad un punto materiae, parte da fermo da una quota h e scivoa senza attrito ungo una guida circoare. A termine dea guida si trova un tratto m orizzontae AB di unghezza h ; i coefficiente d attrito dinamico tra i bocchetto ed i tratto orizzontae è µ d = In B si trova estremo ibero di una moa ideae di costante eastica κ. I bocchetto impatta su tae estremo, comprime a moa e viene rianciato nea direzione h opposta. a Cacoare a quota massima h f che i bocchetto raggiunge ungo a guida circoare dopo κ impatto con a moa; A h B b Cacoare a compressione massima dea moa. Trascurare attrito nee fasi di compressione ed aungamento dea moa. a Energia cinetica in A a primo passaggio (conservazione de energia: E ka = mgh Energia cinetica in B a primo passaggio (avoro compiuto daa forza d attrito: E kb = E ka µ d N h = E k A µ d mg h (N = mg è i moduo dea reazione normae de piano. Energia cinetica in B dopo che i bocchetto è stato riamciato nea direzione opposta (conservazione de energia : E k = E kb B Energia cinetica in A a secondo passaggio : E k A = E k B µ d mg h = E k A µ d mgh = mgh 0.75mgh = 4 mgh Quindi (conservazione de energia : h f = h 4 b Appichiamo a conservazione de energia. L energia potenziae dea forza peso resta costante e quindi non a consideriamo. A momento de impatto energia de bocchetto è E kb ; nea posizione di massima compressione energia cinetica è nua e quea potenziae, indicando con a massima compressione dea moa, è data da κ. Quindi: = E kb κ =.5mgh κ

9 DINAMICA DEI SISTEMI. - Ne sistema in figura a moa ha costante eastica k e unghezza di riposo 0, i due cubi hanno massa m ed m ed i piano è iscio. Iniziamente un fio trattiene compressa a moa ad una unghezza. I fio si rompe ed i due cubi si staccano daa moa. Cacoare a veocità dei due cubi. - I sistema de esercizio precedente si trova, a momento dea rottura de fio, aa quota h con veocità nua. Studiare i moto dei due cubi e de centro di massa. 3 - È abbastanza ovvio che date due moe di costanti eastiche κ e κ e uguai unghezze di riposo messe in paraeo sono equivaenti ad un unica moa di costante κ eastica κ +κ e unghezza di riposo :, F = F +F = κ (x κ (x =... κ, Ne caso generae, dimostrare che due moe di costanti κ, e κ, e di masse trascurabii rispetto a quea de bocchetto a quae sono coegate equivagono ad un unica moa di costanti κ, date da: κ = κ +κ ; = κ +κ κ κ +κ ne caso de paraeo, κ, = κ κ + κ ; = + ne caso dea serie Suggerimento: per a seconda parte rivedere ne esercizio di dinamica dei corpi rigidi e considerazioni sue forze T,,3,4 ne caso statico e dinamico. 4 - Perchè tutti gi eicotteri hanno due eiche?. 5 - I sistema rappresentato in figura è in equiibrio e sono trascurabii gi attriti e e masse dea carrucoa e dea fune; inotre a fune è inestensibie. acacoare espressionedi infunzionedim, m ede acceerazione di gravità. b Cacoare i vaore numerico di ne caso m = 0.5 m. c Cosa succede a sistema se si imprime ad m una veocità iniziae v 0 ungo a verticae? - Introducendo un asse x paraeo a piano incinato e diretto verso i basso ed indicando con T i moduo dea tensione esercitata daa fune, a componente x dea risutante dee forze agenti su m si scrive T + m g sin(, mentre ungo asse y a forza esercitata da piano e a componente dea forza peso si equiibrano. Per i corpo di massa m conviene invece utiizzare un asse verticae diretto ad esempio verso ato, ungo i quae a risutante dee forze è data da T m g. Notiamo che i modui dea tensione esercitata ai due capi daa fune sono uguai perchè a fune è inenstensibie e di massa trascurabie. La condizione di equiibrio di entrambi i corpi è dunque data da sistema di equazioni : T +m g sin( = 0 T m g = 0 Ricavando T daa seconda e sostituendoo nea prima ricaviamo espressione di sin( : sin( = m m Notiamo che tae espressione non dipende da g e che si può avere equiibrio soo se m m. Questo è un caso di equiibrio indifferente, cioè a risutante dee forze è nua per quaunque posizione dei due corpi, purchè a fune rimanga tesa. Per questa ragione, se imprimiamo ad m una veocità iniziae, esso continuerà a muoversi con a stessa veocità, e conseguentemente anche m si muoverà con veocità costante. m m 5 - La figura rappresenta un disco omogeneo forato. Dimostrare che a posizione de centro di massa è data da: d cm = r R r d cm d cm o r d σ,r La retta congiungente i due centri è unico asse di simmetria de sistema ed i centro di massa si deve trovare su tae asse. Per cacoare a sua posizione d cm rispetto a centro de disco forato, piuttosto che impostare un integrae, ragionate su come si cacoa a posizione de centro di massa di un sistema composto da più parti a partire da quea de centro di massa dee parti. Arriverete ad una equazione agebrica per d cm.

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11 DINAMICA DEI CORPI RIGIDI - Ne sistema in figura i disco può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae perpendicoare a piano dea figura, i bocchetto è sospeso ad un fio inestensibie e di M,R massa trascurabie avvoto su disco, a sbarretta è fissata a disco. I tre corpi sono O T A omogenei. T a cacoare, in funzione dee quantità indicate in figura, espressione de angoo per cui i sistema è in equiibrio, scrivere a condizione su per cui tae equiibrio è possibie, R verificare che vi sono due posizioni di equiibrio savo che per = R, ne qua caso i sistema è in equiibrio se a bacchetta è in posizione orizzontae. m, b Considerando soo moti verticai de bocchetto ed utiizzando o sviuppo in serie dea funzione seno attorno a angoo di equiibrio, scrivere equazione de moto e ricavare i periodo dee piccoe osciazioni. m T 3 T 4 A - Statica - In questa configurazione abbiamo due sistemi di corpi rigidi: i bocchetto, che possiamo assimiare ad un punto materiae, ed i sistema disco + sbarretta. I sistema composto dai tre eementi non è invece un corpo rigido. C è inotre i fio: consideraro ideae porta ae sempificazioni che vedremo. Le quattro forze rappresentate in figura sono: T, forza esercitata da disco su fio T, forza esercitata da fio su disco T 3, forza esercitata da fio su bocchetto T4, forza esercitata da bocchetto su fio Per i terzo principio dea dinamica: T = T e T3 = T 4 ( Su bocchetto agiscono T 3 e a forza peso ; a equiibrio si deve quindi avere: T 3 +m g = 0 T 3 = m g Anche i fio è in equiibrio; in generae, per un fio di massa m f scriviamo a condizione: T + T 4 +m f g = 0 e per m f = 0 otteniamo: T = T 4 A equiibrio quindi i modui di queste quattro forze sono tutti uguai a mg. Questo è i risutato che otteniamo richiedendo che i fio ed i bocchetto siano in equiibrio. Passiamo a sistema disco + sbarretta: Un sistema di corpi rigidi è in equiibrio quando: a a risutante di tutte e forze esterne agenti su di esso è nua; b a somma dei momenti di tutte e forze esterne cacoati rispetto ad un quaunque punto è nua. Su sistema agiscono e seguenti forze esterne: forza peso su disco, reazione de vincoo, forza peso sua sbarretta, forza esercitata da fio su disco ( T. La condizione a permette di ricavare a reazione de vincoo; usiamo poi a b per ricavare a condizione di equiibrio. Tuttavia possiamo sempificare questi passaggi con una sceta inteigente de punto rispetto a quae cacoare i momenti: se scegiamo i punto O i momenti dee prime due forze sono nui, quindi non avremo bisogno di ricavare a reazione de vincoo. Scriviamo dunque a condizione b: scegiamo asse x ungo a verticae e rivoto verso ato e asse z perpendicoare a piano dea figura ed uscente da esso. Scegiamo inotre = 0 nea posizione verticae dea sbarretta, < 0 quando a sbarretta si trova da ato disegnato in figura, > 0 quando si trova da ato opposto. I momenti rispetto ad O dea forza peso sua sbarretta e di T sono entrambi diretti ungo z, quindi dobbiamo scrivere a b per a soa componente z: mg sin mgr = 0 sin = R ( (notare i segno de primo termine.l utima equazione è a condizione di equiibrio. L espressione di sin è particoarmente sempice perchè abbiamo sceto uguai e masse de bocchetto e dea sbarretta; se e avessimo scete diverse, questa espressione sarebbe motipicata per i rapporto tra e due masse; essa non contiene comunque a massa de disco, che entrerà soo ne equazione dinamica. I vaore assouto di sin deve essere minore o uguae ad, otteniamo quindi a condizione: R ne caso = R otteniamo dunque che a soa posizione di equiibrio è data da = π, cioè con a sbarretta in posizione orizzontae. In tutti gi atri casi ne abbiamo due, entrambe con negativo : una con > π, quindi con a sbarretta rivota verso i basso; se indichiamo con e questo vaore, atra posizione di equiibrio si ha per = π + e. cioè con a sbarretta rivota verso ato. Verificate che a prima è di equiibrio stabie e a seconda di equiibrio instabie. Anaizzate anche i tipo di equiibrio ne caso = R. B - Dinamica Indichiamo con v ed a a veocità e acceerazione de bocchetto e con ω ed α a veocità angoare e acceerazione angoare de disco; ω è diretta ungo asse z, v ungo asse x; per una rotazione in senso antiorario de disco ω ha verso uscente da piano dea figura, quindi ω z > 0, e i bocchetto sae verso ato, quindi, con a nostra sceta degi assi, v x > 0. Se i fio resta teso ed è inestensibie, tutti i suoi punti si devono muovere con a stessa veocità de bocchetto, in particoare anche i punto A di tangenza de fio a disco; ma se i fio non striscia su disco a veocità di questo punto deve essere uguae a quea de corrispondente punto de disco. Questa è diretta ungo x, è rivota verso ato ed ha moduo ωr. In definitiva possiamo scrivere: v x = ω zr e derivando questa reazione: a x = α zr (3 quest utima reazione è fondamentae: mostra che acceerazione angoare de disco è egata a quea ineare de bocchetto ed in definitiva ne probema abbiamo un unica incognita. Spesso a trovere scritta come a = αr, intendendo con a ed α e acceerazioni scaari (non i modui; se avessimo sceto asse x rivoto verso i basso o se i bocchetto si trovasse da atro ato de disco avremmo dovuto scrivere a x = α zr o a = αr. Verificate che e stesse reazioni vagono per una rotazione oraria de disco. Le reazioni ( vagono ovviamente in generae, mentre per i fio dovremo scrivere: T + T 4 +m f g = m f a e per m f = 0 otteniamo nuovamente: T = T 4 Quindi abbiamo che e quattro forze rappresentate in figura hanno tutte o stesso moduo, che indichiamo con T. Per i bocchetto avremo invece: T 3 +m g = m a (componente x T mg = ma x (4 Per i sistema disco + sbarretta : a seconda equazione cardinae ha soo componente ungo z: mg sin TR = Iαz (5 I = MR + 3 m è i momento d inerzia de sistema rispetto a asse di rotazione. ((3 (4 e (5 permettono ( di ricavare α z: si eimina T tra a (4 e a (5, si utiizza a (3 per eiminare a x e si ottiene: I +mr α z = mg sin R Ma ( α z è a derivata( seconda rispetto a tempo di, che indichiamo con : I +mr = mg sin R Per studiare e piccoe osciazioni intorno aa posizione di equiibrio stabie e dobbiamo utiizzare o sviuppo in serie di Tayor a primo ordine di sin intorno a tae vaore: sin sin e +cos e( e (* ed ( utiizzare a reazione ( che vae per i due angoi di equiibrio, quindi per sin e. Si ottiene: I +mr mgcose( e d ora in avanti scriviamo e eguagianze approssimate come esatte. Confrontiamo questa equazione con quea de pendoo: d = g

12 hanno entrambe a forma costante positiva = costante negativa (ricordate universaità de osciatore armonico! ma a nostra ha in più i termine, indipendente da, mgecose. Imparerete a risovere anche questo tipo di equazioni, per i momento possiamo usare un piccoo trucco, un cambio di variabie: φ = e ; φ = ( e è costante da ( punto di vista fisico, questo corrisponde ad utiizzare come variabie proprio o spostamento angoare daa posizione di equiibrio. L equazione diventa: I +mr φ = mgcoseφ (** d ora equazione è proprio quea de pendoo (o de osciatore armonico con costanti diverse. Ne caso de pendoo i periodo è π. Ne nostro caso: g T = π I+mR mgcose OSSERVAZIONI (* per e = π (a posizione di equiibrio per = R i termine a prim ordine si annua, dovremmo cacoare i second ordine e equazione si compica. Se verificate i tipo di equiibrio, troverete che è un po particoare, e questo si rifette in questa compicazione de equazione. (** notate che a costante che motipica φ è negativa per e > π, cioè per a posizione di equiibrio stabie trovata prima. Per atra posizione di equiibrio a costante è positiva, quindi equazione non è più quea de pendoo; in effetti quea è una posizione di equiibrio instabie, e siccome a sbarra si aontana indefinitamente da essa non possiamo comunque appicare approssiazione di piccoi spostamenti. - Una sbarretta omogenea di massa m, unghezza e arghezza e spessore trascurabii rispetto ad può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae situato a distanza d da suo centro di massa cm. Cacoare i periodo dee piccoe osciazioni attorno aa sua posizione di equiibrio stabie in funzione di m,, d e de acceerazione di gravità. O cm d - I momento d inerzia rispetto ad O è dato da (teorema di Huygens-Steiner: ( I O = I cm +m d = +d m Introduciamo asse z uscente da fogio ed indichiamo con angoo formato tra a sbarretta e a direzione verticae ( = 0 nea posizione di equiibrio stabie, > 0 per una rotazione antioraria. Indicando con α e τ e componenti ungo z de acceerazione angoare e dea somma dei momenti dee forze agenti sua sbarretta cacoati rispetto ad O e considerando che i momento rispetto ad O dea reazione vincoare de asse orizzontae è nuo, possiamo scrivere a seconda equazione cardinae: I O α = τ = d m g sin( d m g Ne approssimazione di piccoe osciazioni equazione si scrive dunque: I O = d m g I Ed i periodo risuta essere dato da (anaogia co pendoo sempice : T = π O ( d m g = π +d d g,m 3 -UnascaedimassadimassaM eunghezzaèposizionatacomeinfigura. Icontatto con a parete verticae è iscio, mentre i coefficiente di attrito statico de contatto co pavimento è µ s. Un uomo, che assimiiamo ad un punto materiae di massa m, sae su di essa. Cacoare a massima distanza d che può percorrere ungo a scaa in funzione dee quantità date e de angoo. d m - Un corpo rigido (ne nostro caso i sistema scaa + uomo è in equiibrio quando sono nue a risutante dee forze esterne e a somma dei momenti di tai forze cacoati rispetto ad un quasiasi punto. L equiibrio dee forze ungo gi assi x e y si scrive rispettivamente: N Mg mg = 0 ; R f a = 0 Se scegiamo come ( poo i punto d appoggio dea scaa sua parete i momenti dee forze sono tutti diretti ungo asse z : π ( dmgsin + Mgsin( π ( π N sin + +f asin(π = 0 ( dmgcos + Mgcos N cos +fasin = 0 In queste equazioni i simboi rappresentano i modui dei vettori definiti in figura; R ed N, per a natura de vincoo, hanno necessariamente i verso indicato, mentre ad f a abbiamo assegnato i verso che ci aspettiamo che tae forza debba avere. Se daa souzione de sistema di equazioni dovesse risutare che R o N sono negativi, vorrebbe dire che equiibrio è impossibie nea configurazione data, mentre se dovesse risutare che f a è negativo, aora i verso è opposto a queo ipotizzato in figura. I sistema di tre equazioni permette di ricavare e tre incognite R, N ed f a in funzione dee atre quantità, in particoare di d. Per rispondere aa domanda de probema è preferibie ricavare d in funzione di f a: appicazione dea condizione f a µ sn ci darà a imitazione su d. Quindi ricaviamo N daa prima equazione, sostituiamoo nea terza, ricaviamo d daa terza e sostituiamo ( a condizione su f a, che risuta essere f a µ s(m+mg : f d = a ( ( mg tan M d m max = µ s + M m tan M m Come vediamo, dmax dipende da tre parametri: aumenta con µ s e, mentre non è immediato anaizzare andamento a M variare di m ; inserendo i vaori µs = 0.5 (vedi tabee dei coefficienti d attrito e = π dmax otteniamo = 0.5; sembra un y 4 vaore ragionevoe, per una scaa messa a 45 gradi!. Notiamo che in questo caso non possiamo risovere i probema anaizzando andamento de energia potenziae perchè a forza d attrito compie avoro e non è conservativa. N f a R M g m g x

13 4 - Ne sistema in figura a moa ha costante eastica k e unghezza di riposo 0 e i disco (massa m, raggio R rotoa senza strisciare su piano incinato. Iniziamente a moa ha unghezza 0 ed i disco ha veocità nua; cacoare: a La unghezza dea moa aa quae i sistema è in equiibrio. b La veocità de centro di massa e a veocità angoare de disco ne punto di equiibrio. - Introduciamo un asse x ne piano dea figura, paraeo a piano incinato, rivoto verso i basso e con origine ne estremo dea moa vincoato a piano incinato; scegiendo a quota di tae punto come zero de energia potenziae dea forza peso, energia potenziae de sistema si scrive: U(x = k(x 0 mgxsin I due termini rappresentano energia potenziae eastica e quea dea forza peso. Le atre due forze agenti su disco, reazione normae de piano incinato e forza d attrito statico, non compiono avoro. (notare: i centro di massa si trova a di sotto de iveo zero de energia potenziae dea forza peso, che è quindi negativa. Indicando con U a derivata rispetto ad x, a condizione di equiibrio è data da: U (x = k(x 0 mgsin = 0 x eq = 0 + mgsin k (notare: x eq > 0, x eq aumenta con e diminuisce con k. Per cacoare a veocità nea posizione di equiibrio, appichiamo a conservazione de energia tra a posizione iniziae, nea quae energia cinetica e quea potenziae eastica sono nue, e a posizione x eq: mg 0 sin = k(xeq 0 mgx eq sin + mv cm + Iω (mgsin = k mv cm + m Iω v cm = ±gsin 3 k I quattro termini a destra sono rispettivamente: energia potenziae eastica e dea forza peso, energia cinetica de centro di massa, energia cinetica di rotazione. v cm è a veocità scaare ungo asse x, I = mr è i momento d inerzia de disco rispetto a asse perpendicoare aa sua superficie passante per i centro di massa. Poichè i moto è di rotoamento puro, ω = vcm. La seconda uguagianza si ottiene sostituendo espressione di xeq, a terza quea di I ed ω. L espressione R finae è moto sempice perchè si è sceto come posizione iniziae quea di riposo dea moa. 5 - Ne sistema in figura a moa (costante eastica k, unghezza di riposo 0 può muoversi verticamente. A suo estremo ibero è vincoato estremo di una sbarretta (massa m, unghezza d, con d > 0 ; atro estremo dea sbarretta può scivoare senza attrito su un piano orizzontae. I sistema ha due posizioni di equiibrio. Cacoare espressione di per tai posizioni in funzione dee quantità sopra indicate e de acceerazione di gravità e specificare i tipo di equiibrio. - Introduciamo un asse z verticae diretto verso ato, con origine aa quota de piano di sostegno e scegiamo tae quota come zero de energia potenziae dea forza peso. Indicando con z e z cm e coordinate z de estremo dea moa e de centro di massa dea sbarretta, ed esprimendo poi z e z cm in funzione de angoo, energia potenziae de sistema si scrive: Indicando con U a derivata rispetto a, a condizione di equiibrio è data da: U( = mgz cm + k(z 0 = mgdsin + k(dsin 0 U ( = mgdcos +k(dsin 0dcos = dcos ( mg +kdsin k 0 = 0 L uguagiaza si ha per i due vaori di dati da: = π e sin = mg+k 0 = 0 kd d = π è una posizione di equiibrio instabie perchè energia potenziae ha un massimo; infatti i termine in parentesi ne espressione di U è positivo per = π ( 0 < d e mantiene o stesso segno per piccoi spostamenti da tae vaore ; quindi U ha o stesso segno di cos. Consideriamo ora espressione che ci da i secondo vaore di : se m = 0, a posizione di equiibrio corrisponde aa posizione di riposo dea moa, come ci aspettiamo; a aumentare di m angoo diminuirà ( fino ad arrivare a zero quando a somma dei due addendi si annua. Abbiamo dunque, a variare di m, un angoo di equiibrio compreso tra 0 e arcsin 0d. I segno di U mostra poi che si tratta di equiibrio stabie. Anaoghe considerazioni si possono fare per variazioni dee atre quantità. I tipo di equiibrio si può anche studiare anaizzando i segno dea derivata seconda: U ( = dsin mg kd ( mg +kdsin k 0 +kd cos Per = π i secondo addendo è nuo ed i primo negativo ( 0 < d; per sin = 0 d mg i primo addendo è nuo ed i secondo, ovviamente, positivo. kd A parte a matematica, i tipo di equiibrio si può ricavare considerando andamento dee forze e dei momenti per piccoi spostamenti dae due posizioni Dato un piano incinato di un angoo rispetto a orizzontae ed un disco omogeneo di massa M e raggio R che rotoa su di esso con coeffiecente di attrito statico µ s : a dimostrare che i vaore massimo di affinchè si abbia rotoamento puro è dato da: tan max = 3µ s ; b ne caso in cui invece de disco si abbia un aneo dea stessa massa, deo stesso raggio e di spessore trascurabie rispetto a raggio, max è maggiore o minore che ne caso precedente? Giustificare a risposta.

14 M g N f s a Utiizziamo un sistema di riferimento con asse x paraeo a piano incinato e rivoto verso i basso e asse y ne piano dea figura e rivoto verso ato; a posizione de origine è irrievante per i cacoi che faremo. Ipotizziamo che a forza d attrito statico f s agisca ne verso indicato in figura. Indicando con a acceerazione de centro di massa de disco e con α a sua acceerazione angoare, a prima equazione cardinae dei corpi rigidi, ungo e direzioni x e y, si scrive: Mgsin f s = Ma x ; Mgcos +N = Ma y = 0 (* scegiendo come poo i centro di massa de disco, soo f s ha momento non nuo e a seconda equazione cardinae si scrive ( asse z è entrante ne piano dea figura ed i momento di f s è uscente : Rf s = Iα z infine a condizione di rotoamento puro si scrive (se a x è positiva acceerazione angoare è uscente da piano dea figura e quindi α z è negativa: a x = Rα z Sostituendo e utime due equazioni nea prima dee (*: Mgsin f s = MRα z = MR f I s f s = Mgsin + MR I f s risuta positivo per tutti i possibii vaori di quindi ipotesi iniziae su verso di f s è corretta. Ricavando ora N daa seconda dee (*, sostituendo I = MR e considerando che a forza di attrito statica è soggetta aa imitazione f s µ sn otteniamo: tan 3µ s tan max = 3µ s b ne caso de aneo bisogna sostituire nei cacoi precedenti i momento d inerzia I = MR ; si ottiene: tan max = µ s quindi angoo massimo è minore I sistema rappresentato in figura è costituito da un asta di unghezza e di dimensioni trasversai trascurabii O rispetto ad ; a densità ineare di massa dea sbarretta è data da λ = kx, dove k è una costante ed x è a distanza da estremo O. A atro estremo dea sbarretta è vincoato rigidamente un disco di massa M e raggio R. I sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae passante per O. Cacoare, in funzione dee quantità date in precedenza: a a massa dea sbarretta; b a distanza de suo centro di massa da O; M,R c i periodo dee piccoe osciazioni de sistema intorno aa sua posizione di equiibrio. a m = λdx = kxdx = 0 0 k b Introducendo asse x rivoto verso i basso e con origine in O: x CM = m xdm = m xλdx = 0 m 0 kx dx = 3 c Momento d inerzia de asta rispetto ad O: I a = x dm = m (notare che è maggiore di queo di un asta omogenea. Momento d inerzia de sistema rispetto ad O ( teorema di Steiner : I = I a + MR +M(+R Seconda equazione cardinae per piccoe osciazioni intorno aa posizione di equiibrio stabie : I [mgx CM +Mg(+R]. Quindi: 3 ω = mg+mg(+r I m 08 - Una scae di massa di massa M e unghezza è posizionata come in figura. I contatto con a parete verticae è iscio, mentre i coefficiente di attrito statico de contatto co pavimento è µ s. Un uomo, che assimiiamo ad un punto materiae di massa m, si trova in cima aa scaa. Cacoare intervao di vaori de angoo per cui i sistema è in equiibrio.,m - Riprendere ne fie degi esercizi i n. 3 sui corpi rigidi. I sistema è o stesso, con d = ; abbiamo quindi: N = Mg +mg Mgcos N cos +fasin = 0 f a µ s(m+mg ( daa prima e daa seconda equazione ricaviamo: tan( = g f m+ ( M a ed utiizzando a terza : tan( m+ M µ s m+m quest utima equazione ci da i vaore minimo possibie di, che chiamiamo min (tener presente che a funzione tangente è una funzione crescente ; intervao dei possibii vaori sarà: min π

15 a scaa è in equiibrio, anche se instabie, anche nea posizione verticae I sistema rigido rappresentato in figura è costituito da un aneo sottie omogeneo A dimassameraggioredaun astasottieomogeneadidensitàinearedimassaλsadata m,r a aneo a distanza R da suo centro. I sistema può ruotare senza attrito attorno ad O un asse orizzontae passante per A. Cacoare, in funzione dee quantità date e di g, R i periodo dee piccoe osciazioni de sistema attorno aa sua posizione di equiibrio λ stabie. - Introduciamo un asse z perpendicoare a piano dea figura, passante per A e diretto verso ato. Consideriamo una quasiasi posizione de centro di massa O de aneo, individuata da angoo in figura. Quando aumenta i sistema ruota in senso antiorario ed i vettore veocità angoare è dato da ˆω = ωẑ; anaogamente, quando a veocità angoare aumenta acceerazione angoare è diretta verso ato, quindi : α = ẑ. Le forze esterne agenti su sistema sono: a reazione de vincoo (non rappresentata in figura in A e e forze peso su aneo e su disco, appicate nei rispettivi centri di massa (rappresentate in figura. Scriviamo ora a seconda equazione cardinae dei corpi rigidi, scegiendo come poo i punto fisso A : I = τ z Dove I è i momento d inerzia de sistema rispetto a asse z e τ z è a componente z dea somma dei momenti dee forze esterne rispetto ad A. In assenza di attrito i momento dea reazione vincoare è nuo, quindi: I = mgrsin Mg 3 Rsin g(m+ 3 MR M essendo a massa de asta. (Vedi es. e sui corpi rigidi ne fie degi esercizi. In aternativa potremmo cacoare a posizione de centro di massa e considerare a forza peso appicata su tutto i sistema in tae punto, ma questa sceta compica inutimente i cacoi. Notiamo che a sceta de poo ci consente di scrivere equazione senza conoscere a reazione vincoare, e quindi senza far ricorso aa prima equazione cardinae. Quindi i periodo dee piccoe osciazioni (vedi pendoo sempice ed esercizi citati in precendenza: T = π I g(m+ 3 MR Dobbiamo ora cacoare M ed I. La unghezza de asta è 3R, quindi: M = λ 3R Per cacoare I rispetto a asse z passante per A sommiamo i momenti d inerzia dei due eementi de sistema, partendo dai oro vaori cacoati rispetto a asse passante ( per i centro di massa ed appicando i teorema di Steiner ( è a unghezza de asta: I = mr +mr + M 3 R ( +M = m+ 5 M R 0 - Ne sistema in figura a moa (costante eastica κ, unghezza di riposo o è vincoata a muoversi verticamente. A suo estremo ibero sono vincoati gi estremi di due sbarrette omogenee (masse m,m, unghezze d,d maggiori di 0 ; gi atri estremi dee sbarrette possono scivoare senza attrito su un piano orizzontae. Anaizzare e posizioni di equiibrio de sistema, indicandone anche i tipo. Considerare a massa dea moa trascurabie rispetto ad m,m. - Riprendiamo es. 5 dea dinamica dei corpi rigidi ne fie degi esercizi. In questo caso non conviene utiizzare come variabie indipendente un angoo, perchè ne sistema ve ne sono due; uno dei due può essere cacoato in funzione de atro, ma espressione può risutare compicata. Se scegiamo invece h h come variabie a unghezza dea moa, h, i seni dei due angoi saranno dati da e ed entrambi i centri di massa si troveranno ad una quota h d d. L energia potenziae si scrive U(h = κ(h o + m gh+ m gh e a sua derivata rispetto ad h: U (h = κ(h o+ m g + m g che si annua per: h = o g κ (m +m Notiamo che per κ sufficientemente piccoo o masse sufficientemente grandi ( troverebbe in una posizione non fisica per i sistema considerato. κ o < g(m + m h sarebbe negativo, cioè a posizione di equiibrio si La derivata seconda di U è sempre positiva, quindi equiibrio è stabie. A O -Nesistemainfiguraidiscopuòruotaresenzaattritoattornoadunasseorizzontae passante per i centro e perpendicoare a piano dea figura; i bocchetto è sospeso ad un fio inestensibie e di massa trascurabie avvoto su disco. I due corpi sono omogenei. Cacoare e acceerazioni de disco e de bocchetto M,R O Riprendere esercizio dea dinamica dei corpi rigidi ne fie degi esercizi, ed eiminare tutti i termini reativi aa sbarretta: a x = α zr (3 T mg = ma x (4 TR = Iα z (5 I = MR Si ottiene: a x = m m+ Mg. m

16 URTI 0 -UnasbarrettaomogeneadimassaM,unghezza earghezzaespessoretrascurabii rispetto ad può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae situato a distanza d da suo centro di massa c ed è iniziamente in quiete. Un proiettie di massa m si conficca ne estremo inferiore dea sbarretta e rimane soidae con essa. Prima de urto O i proiettie ha veocità orizzontae v o ; ipotizzando che urto avvenga in un intervao di d tempo moto breve in modo che si possa trascurare i moto dea sbarretta: a Scrivere espressione dea veocità angoare de sistema in funzione de angoo formato daa sbarretta con a verticae e dee quantità date in precedenza. c b Cacoare i vaore minimo de moduo dea veocità iniziae de proiettie, v o, affinchè a sbarretta possa compiere un giro competo. m c Come vanno modificate e espressioni ottenute se i proiettie si conficca sempre vo ne estremo dea sbarretta ma a sua veocità iniziae forma un angoo ϕ con asse orizzontae? - Fissiamo in O origine de sistema di riferimento e i iveo zero per energia potenziae dea forza peso. Indichiamo con I i momento d inerzia de sistema rispetto a asse ( di rotazione e con r cm a distanza de suo centro di massa da O: I = M +Md +m d+ ; r cm = Md+m(d+ = d+ m m+m m+m L unica quantità che si conserva durante urto è i momento angoare respetto ad O. Infatti i momento dea reazione vincoare è nuo rispetto a tae punto, come pure queo dea forza peso agente sua sbarretta e su proiettie, se a sbarretta resta in posizione verticae; i momenti dee forze interne tra sbarretta e proiettie si annuano reciprocamente. La quantità di moto invece non si conserva: a sua variazione è prodotta daa reazione vincoare. I momento angoare iniziae è queo de soo proiettie, perpendicoare ed uscente da piano dea figura. Introducendo un asse z che ha tae direzione e verso ed indicando con ω o i moduo( dea veocità angoare subito dopo( urto, uguagianza tra e componenti z dei momenti angoari iniziae e finae si scrive: mv o d+ = Iωo ω o = mvo I d+ Dopo urto, e forze esterne agenti su sistema sono a forza peso, conservativa, e a reazione vincoare, che non compie avoro. Di conseguenza durante i moto si conserva energia meccanica; indicando con angoo formato tra a sbarretta e asse verticae ( = 0 nea posizione iniziae e con ω i moduo dea veocità angoare nea posizione, a conservazione de energia si scrive: Iω o r cm(m+mg = Iω r cmcos(m+mg ω = ω o I rcm(m+m( cosg richiedendo che i secondo membro sia positivo si può ricavare angoo massimo che i sistema può raggiungere, I vaore minimo richiesto a punto b si ricava imponendo che a sbarretta arrivi nea posizione verticae = π con veocità angoare nua; quindi: ω omin = 4 I rcm(m+mg v omin = m(d+ Iω omin = 4 m(d+ I I rcm(m+mg = m(d+ Ir cm(m+mg Se a veocità iniziae forma un angoo ϕ con asse orizzontae nee espressioni precedenti v o va motipicato per cosϕ. 0 - Una sbarretta omogenea di massa M, unghezza e arghezza e spessore trascurabii v o rispetto ad è appoggiata su un piano orizzontae iscio ed è iniziamente in quiete; un m proiettie di massa m si muove come in figura (c è i centro di massa dea sbarretta e si d h conficca nea sbaretta rimanendoe soidae. L urto avviene in un tempo sufficientemente d cm breve perchè a sbarretta possa essere considerata a riposo durante tae processo. Detto h cm i centro di massa de sistema dopo urto: c a Determinare a distanza di cm da c in funzione dee quantità definite in figura e dee masse; b scrivere espressione dea veocità di cm in funzione di v o ; c scrivere espressione dea veocità angoare di rotazione attorno a cm in funzione di v o. Trascurare gi effetti dea forza peso su proiettie prima de urto. - Dopo urto, i centro di massa de sistema si trova ad una distanza da c data da: h = m m+m d. Trascurando a forza peso agente su proiettie prima de urto, abbiamo che a risutante dee forze esterne agenti su sistema (forza peso e reazione vincoare de piano hanno risutante nua sia prima che dopo urto (dopo urto i sistema si muoverà su piano di appoggio. Quindi si conserva a quantità di moto. In un sistema di riferimento con origine fissa ne punto c, indicando con v cm a veocità de centro di massa de sistema dopo urto, a conservazione dea quantità di moto si scrive: m v o = (m+m v cm v cm = m m+m vo Per i momento angoare L cacoato rispetto ad un generico poo p che abbia veocità v p vae a reazione (dinamica dei sistemi: dl = (m+m vp vcm + τext dt τ ext (somma dei momenti dee forze esterne è nuo; se scegiamo come poo i centro di massa de sistema anche i primo addendo è nuo ed i momento angoare de sistema si conserva. Introducendo un asse z verticae ed entrante ne piano dea figura, L avrà soo componente ungo z e a conservazione di L ungo z prima e dopo urto si scriverà: mv o(d h = Iω. I è i momento d inerzia rispetto a centro di massa de sistema: I = M +Mh +m(d h. Quindi : ω = mvo(d h ; ω = mvo(d h ẑ. Notare che d h > 0. I I Domanda per i più curiosi: dove si trova, ad un generico istante di tempo, asse istantaneo di rotazione?

17 03 - Una sbarretta omogenea di massa M, unghezza e arghezza e spessore trascurabii rispetto ad può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae situato ad un suo estremo. Iniziamente a sbarretta si trova in posizione orizzontae, come in figura. Viene asciata ibera ed urta un corpo di massa m assimiabie ad un punto materiae, situato nea posizione indicata in figura ed iniziamente a riposo, che si conficca nea sbarretta. a Scrivere espressione dea veocità angoare dea sbarretta subito prima de urto. b Scrivere espressione dea veocità angoare de sistema subito dopo urto. c Scrivere espressione de vaore massimo de angoo che i sistema forma con a verticae dopo urto. a Prima de urto sua sbarretta agiscono a forza peso, conservativa, e a reazione vincoare de asse, che non compie avoro. Si conserva dunque energia totae. Fissando in o i iveo zero de energia potenziae dea forza peso, a conservazione de energia si scrive: 0 = Mg + Iω ; I = 3 M ω = 3 g b L unica quantità che si conserva durante urto è i momento angoare respetto ad o. Infatti i momento dea reazione vincoare è nuo rispetto a tae punto, come pure queo dea forza peso agente sua sbarretta e su proiettie, se a sbarretta resta in posizione verticae durante urto; i momenti dee forze interne tra sbarretta e proiettie si annuano reciprocamente. La quantità di moto invece non si conserva: a sua variazione è prodotta daa reazione vincoare. Iniziamente i punto materiae è a riposo, quindi i momento angoare iniziae è queo dea soa sbarretta, è perpendicoare ed uscente da piano dea figura. Introducendo un asse z che ha tae direzione e verso ed indicando con ω i moduo dea veocità angoare subito dopo urto, uguagianza tra e componenti z dei momenti angoari iniziae e finae si scrive in modo moto sempice: Iω = I ω ω = I I ω ; I = 3 M +m c Dopo urto vagono e stesse considerazioni de punto a. Indicando con m angoo massimo e considerando che nea posizione m energia cinetica è nua, a conservazione de energia tra e posizioni = 0 e = m si scrive: I ω Mg mg = ( Mg mgcosm cosm = I ω = Mg +mg 6( 3 + M m( + M m notare i vaore che si ottiene per m = Ne sistema in figura i disco omogeneo può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae passante per i suo centro e perpendicoare a piano dea figura. Nea posizzione A si trova una sporgenza di massa trascurabie rispetto a quea de disco. Inizziamente i disco è a riposo ed i proiettie si conficca nea sporgenza in modo tae che urto possa essere considerato istantaneo. Caocoare, in funzione dee quantità indicate in figura: a La veocità angoare de sistema subito dopo urto. b La veocità angoare massima che i sistema può raggiungere. - a Durante urto si conserva i momento rispetto ad o, perchè i momenti dee forze esterne agenti su sistema sono tutti nui: queo dea reazione de asse perchè è appicata in o ed i vincoo è iscio; queo dea forza peso agente su proiettie perchè, se urto avviene in un tempo moto breve, a sporgenza rimane in posizione verticae; queo de forza peso agente su disco perchè appicata in o. Non si conserva a quantità di moto perchè i sistema non è isoato e perchè urto è aneastico. I momento angoare iniziae è queo de soo proiettie, è perpendicoare a piano dea figura ed ha verso entrante in tae piano. Scegiendo asse z nea stessa direzione e verso, a conservazione dea componente z de momento angoare si scrive ( I è i momento d inerzia de sistema rispetto a z dopo urto, ω a sua veocità angoare subito dopo urto : mv o R R mvo = Iω ω = I = mv o MR+ mr ; I = MR + 4 mr b dopo urto energia de sistema si conserva perchè e forze esterne agenti su di esso sono conservative (forza peso o non compiono avoro (reazione de vincoo. L energia cinetica, e di conseguenza a veocità angoare, è massima quando energia potenziae è minima, cioè quando a sporgenza A si trova, assieme a proiettie, nea posizione più bassa, ossia sua verticae passante da o e verso i basso. Scegiendo o zero de energia potenziae gravitazionae in o, a conservazione de energia tra a posizione iniziae e tae posizione si scrive: Iω + mgr = Iω max mgr ω max = ω + mgr I 05 - Una sbarretta omogenea di massa M, unghezza e arghezza e spessore trascurabii rispetto ad può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontae fisso situato ne suo estremo o. Iniziamente a sbarretta si trova in posizione orizzontae, come in figura. Viene asciata ibera e ne istante in cui si trova in posizione verticae urta un corpo di massa m assimiabie ad un punto materiae, che si sta muovendo con veocità orizzontae v o e che si conficca ne suo estremo ibero. Determinare espressione di v o, in funzione dee atre quantità sopra indicate, per a quae i sistema resta a riposo dopo urto. Indichiamo con ω a veocità angoare dea sbarretta quando si trova in posizione verticae ed ntroduciamo asse z perpendicoare a piano dea figura ed uscente da essa, m v o m v o o M, M, A R o M,R m o

18 Prima de urto sua sbarretta agiscono a forza peso, conservativa, e a reazione vincoare de asse, che non compie avoro. Si conserva dunque energia totae. Fissando in o i iveo zero de energia potenziae dea forza peso, a conservazione de energia si scrive ( I essendo i momento d inerzia dea sbaretta rispetto a asse z: 0 = Mg + Iω ; I = 3 M ω = 3 g L unica quantità che si conserva durante urto è i momento angoare respetto ad o. Infatti i momento dea reazione vincoare è nuo rispetto a tae punto, come pure queo dea forza peso agente sua sbarretta e su proiettie, se a sbarretta resta in posizione verticae durante urto; i momenti dee forze interne tra sbarretta e proiettie si annuano reciprocamente. La quantità di moto invece non si conserva: a sua variazione è prodotta daa reazione vincoare. Prima de urto i momento angoare dea sbarretta è diretto ungo z ed ha componente negativa, mentre queo de proiettie è diretto ungo z ed ha componente positiva. La componente z de momento angoare totae si scrive dunque : L z = mv o Iω Dopo urto in generae i sistema si muove con veocità angoare ω e a componente z de momento angoare è data da L z = I ω ( I essendo i momento d inerzia de sistema sbaretta + proiettie rispetto a asse z. La conservazione de momento angoare si scrive: L z = L z Se i sistema è a riposo dopo urto ω deve essere nuo, quindi devono essere nui L z ed L z ; L z si annua per: v o = Iω m = M g m 3

19 TERMODINAMICA 0 - Un gas perfetto esegue un cico reversibie a partire da un voume ed una temperatura iniziai V e T A. I cico è costituito da: una espansione isoterma fino ad un voume V ; una trasformazione isocora fino ad una temperatura T B minore di T A ; 3 una compressione isoterma fino a raggiungere i voume iniziae V ; 4 una trasformazione isocora che o riporta neo stato iniziae. Rappresentare i cico ne piano p V, cacoare i rendimento de cico in funzione dee quantità date in precedenza e verificare che tae rendimento è minore di queo di un cico di Carnot che operi fra e stesse temperature T A e T B. Come si può reaizzare un tae cico, avendo a diposizione dei termostati? - I caore assorbito ed i avoro eseguito da sistema nee quattro trasformazioni sono dati da: ( V Q = n R T A n W = Q Q = n c v (T B T ( A W = 0 V Q 3 = n R T B n W V 3 = Q 3 Q 4 = n c v (T A T B W 4 = 0 V (Q > 0 : i sitema assorbe caore ed esegue un avoro su esterno ( Q < 0 : i avoro compiuto è nuo ed i sistema deve cedere caore perchè a temperatura diminuisca (Q 3 < 0 : i sitema cede caore e subisce un avoro da esterno (Q 4 > 0 : i sistema deve ricevere caore da esterno affinchè pressione e temperatura aumentino a voume costante I rendimento de cico è i rapporto tra i avoro netto compiuto da sistema ed i caore assorbito da esterno: η = W +W 3 Q +Q 4 = nr(t A T B n ( V V nrt A n ( V V +ncv(t A T B = T A T A T B + c v Rn( V V Se i secondo termine a denominatore fosse nuo, i rendimento sarebbe uguae a queo de cico di Carnot; poichè è invece positivo, i rendimento è minore. I cico si reaizza mettendo a contatto i sistema con termostati ae temperature T A e T B per e trasformazioni isoterme e con termostati a cui temperatura varia entamente tra T A e T B ( e viceversa per e isocore. 0 - Un contenitore a pareti adiabatiche è chiuso da un pistone, anch esso adiabatico e disposto orizzontamente, di massa M e sezione S; esso contiene n moi di gas perfetto aa temperatura T. I sistema è in equiibrio; cacoare i voume de gas in funzione dee quantità date, de acceerazione di gravità e dea costante R dei gas. Successimante viene appoggiato a pistone un corpo di massa m e i pistone si muove entamente verso un nuovo stato di equiibrio; cacoare i voume de gas neo stato finae e verificare che è minore di queo iniziae; cacoare a temperatura finae e verificare che è maggiore di quea iniziae. - La forza esercitata da gas su pistone è normae aa sua superficie, diretta verso esterno de contenitore ed ha moduo ps, dove p è a pressione de gas. Si ha equiibrio quando a risutante di tae forza e dea forza peso è nua. Poichè a trasformazione tra i due stati di equiibrio avviene entamente, è reversibie e possiamo appicare equazione caratteristica dea trasformazione adiabatica. Assegnando i pedici e agi stati iniziae e finae possiamo quindi scrivere: Equiibrio de pistone neo stato iniziae : p S = Mg Equazione di stato neo stato iniziae: p V = nrt Equiibrio de pistone neo stato finae : p S = (M +mg Equazione di stato neo stato finae: p V = nrt Equazione caratt. dea trasf. adiabatica: p V γ = p V γ Daa prima e daa seconda equazione: V = nrt p = nrt S ; daa quinta, ed utiizzando a prima e a terza: Mg γ ( Dae equazioni di stato ed utiizzando espressione di V e di V : T = T p V ( p V = M+m T M ( V = V p γ ( = V M γ p M+m Poichè γ e γ sono positivi, i fattori che motipicano V e T nee utime due espressioni sono rispettivamente minore e maggiore di. La trasformazione enta si può reaizzare, ad esempio, mediante un cavo che ascia scendere entamente i pistone o mediante attrito tra i pistone e e pareti de contenitore; in quest utimo caso i caore prodotto verrebbe disperso verso esterno perchè i contatto co gas è adiabatico. Se invece i pistone viene asciato ibero di scendere senza attrito i pistone oscierebbe attorno ad una quache posizione ma non potremmo appicare e equazioni precedenti perchè i gas non sarebbe in equiibrio termodinamico in ogni istante Un serbatoio di voume V = 00 è coegato come in figura ad un pistone disposto orizzontamente di massa m = 0.05kg e sezione S = cm ; a forza di attrito statico massima tra i pistone e e pareti de recipiente è F = 0.3N. I recipiente contiene 0.mo di gas perfetto monoatomico ed è a contatto con un termostato aa temperatura T = 70K. I pistone è in equiibrio meccanico? se a risposta è sì cacoare a quantità di caore che bisogna sottrarre a gas, toto i contatto co termostato ed ipotizzando che i caore venga scambiato entamente e a voume costante, perchè inizi a muoversi. Trascurare a pressione atmosferica ed i voume de tubo in cui scorre i pistone. m,s V - La forza peso e a forza d attrito hanno a stessa direzione verticae, a forza d attrito può essere rivota verso ato o verso i basso; i gas esercita su pistone una forza diretta verso ato di moduo ps, dove p è a pressione. Introducendo un asse z verticae diretto verso i basso ed indicando con f a a componente dea forza d attrito ungo z (può essere positiva o negativa, a condizione d equiibrio de pistone ungo z si scrive: mg +f a ps = 0 p = mg+fa. S f a (attrito statico può assumere tutti i vaori compresi tra F ed F, quindi i pistone è in equiibrio per mg F p mg+f ( (equazione di stato,t = pv S S nr mg F nrs V T mg+f nrs V

20 Numericamente, ed utiizzando i vaore moto approssimato g 0ms : 0K T 48K. Quindi aa temperatura data i pistone è in equiibrio. Indicando con T a temperatura di equiibrio inferiore, per portare i gas ad una temperatura minore di T e far muovere i pistone dobbiamo sottrargi una quantità di caore maggiore di nc v(t T. Se voessimo tener conto dea pressione atmosferica p a, dovremmo aggiungere p a ai due vaori estremi in ( Un gas perfetto esegue un cico reversibie a partire da un voume ed una pressione iniziai V e p. I cico è costituito da: una espansione isoterma fino ad un voume V ; una compressione isobara fino a voume V ; 3 una trasformazione isocora che o riporta neo stato iniziae. a Rappresentare i cico ne piano p V. b Detta T a temperatura iniziae, scrivere espressione di T, temperatura aa fine dea compressione isobara, in funzione di T,V e V. c Cacoare i rendimento de cico in funzione di T,T,V e V. bindicando con p a pressione de isobara, scriviamo equazione di stato a inizio ed a termine dea trasformazione: p V = nrt ; p V = nrt T = V. T V c I caore assorbito ed i avoro eseguito da sistema nee tre trasformazioni sono dati da: ( V Q = n R T n W = Q (Q > 0 : i sistema assorbe caore ed esegue un avoro su esterno Q = n c p (T T < 0 W = p (V V ( W < 0 : viene eseguito un avoro su sistema, che deve cedere caore per restare aa stessa pressione Q 3 = n c v (T T W 3 = 0 (Q 3 > 0 : i sistema deve ricevere caore per aumentare a pressione a voume costante V I rendimento de cico è i rapporto tra i avoro netto compiuto da sistema ed i caore assorbito da esterno: ( η = W +W = nrt V n ( +p (V V V Q +Q V 3 nrt n V +ncv(t T = nrt n ( V V +nr(t T nrt n ( V V +ncv(t T 05 - n moi di gas perfetto monoatomico si trovano in equiibrio in un recipiente adiabatico di voume fissato V aa temperatura T. cacoare a pressione de gas p ; viene fornita a gas a quantità di caore Q, rimanendo i recipiente adiabatico e di voume V. Cacoare pressione e temperatura, p e T ne nuovo stato di equiibrio; 3 a parete orizzontae superiore de recipiente viene sostituita da un pistone di massa m e superficie S, anch esso adiabatico, che può scorrere entamente e senza attrito. Scrivere a condizione su m per a quae i gas si espande e cacoare pressione, voume e temperatura, p 3, V 3 e T 3, ne nuovo stato di equiibrio. Trascurare a pressione atmosferica. Da equazione di stato dei gas perfetti: p = nrt V. Per a definizione di caore specifico a voume costante : Q = nc v(t T ; c v = 3 R, da cui ricaviamo T e poi (equazione di stato p : T = T + Q ; p nc = nrt v V 3 e forze esercitate su pistone sono: a forza peso, m g, diretta verso i basso ; a forza esercitata da gas su pistone, di moduo p S, perpendicoare aa superficie e diretta verso ato. La condizione perchè esso si muova verso ato è dunque data da: m < p S. Se i pistone si muove entamente e senza attrito i gas esegue una trasformazione adiabatica reversibie. Nea posizione di equiibrio i modui g dee due forze devono essere uguai; questa condizione ci permette di ricavare p 3 : p 3 = mg S ( e equazione dea trasormazione adiabatica permette di ricavare V 3 : p V γ = p 3 V γ p 3 V 3 = V γ c p ; γ = p 3 c v ed infine, da equazione di stato: T 3 = p 3V 3 nr p 06 - Un gas perfetto esegue un cico reversibie a partire da una pressione ed un voume iniziai p e V costituito da: una espansione isobara fino ad un voume V ; una espansione isoterma fino ad un voume V 3 ; 3 una compressione isobara che o porta aa temperatura iniziae; p,v p,v 4 una compressione isoterma che o riporta neo stato iniziae. T T a cacoare e temperature T e T dea due isoterme in funzione dee quantità date in precedenza; b cacoare i rendimento de cico in funzione dee quantità date in precedenza; c verificare che i rendimento è minore di queo di un cico di Carnot che operi tra e temperature T e T. a T = P V ; T nr = P V nr > T (equazione di stato dei gas perfetti per i cacoi successivi serviranno inotre e reazioni (equazione di stato dei gas perfetti: p = nrt V ; = V ; p V 3 V 4 V (V V = n R (T T ; p (V 4 V 3 = n R (T T (* 3 p,v 4 p,v 3 V