ROTAZIONI DEGLI ESTREMI DI UNA TRAVE PRISMATICA APPOGGIATA ALLE ESTREMITÁ E SOGGETTA AD UN CARICO VERTICALE

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1 M. G. USTO ROTZIONI DEGLI ESTREMI DI UN TRVE PRISMTIC PPOGGIT LLE ESTREMITÁ E SOGGETT D UN CRICO VERTICLE CSO DEI CRICHI TRINGOLRE, UNIFORME E CONCENTRTO mgbstudio.net

2 PGIN INTENZIONLMENTE VUOT

3 SOMMRIO In questo scritto vengono studiate e rotazioni degi estremi di una trave prismatica appoggiata ae estremità e soggetta ad un carico verticae. Precisamente, dopo un inquadramento generae de probema reaizzato mediante i principio dei avori virtuai, vengono anaizzate e seguenti tre tipoogie di carico verticae di interesse pratico: (a) carico triangoare agente su una porzione arbitraria dea trave, (b) carico uniforme agente su una porzione arbitraria dea trave, (c) carico concentrato agente in un punto arbitrario dea trave. Lo scritto è concuso con una appendice nea quae è iustrato i egame che intercorre fra e rotazioni degi estremi di una trave appoggiata ae estremità ed i momenti di incastro perfetto che si manifestano quando a trave, soggetta a medesimo carico verticae, invece di essere appoggiata è perfettamente incastrata ae estremità stesse.

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5 INDICE GENERLE. GENERLITÁ. TRVE SOGGETT CRICO TRINGOLRE. TRVE SOGGETT CRICO UNIFORME 5 4. TRVE SOGGETT D UN CRICO CONCENTRTO 7 5. OSSERVZIONI CONCLUSIVE 8 ppendice Trave prismatica perfettamente incastrata ae estremità: egame fra i momenti di incastro perfetto e e rotazioni dee e- stremità dea trave supposta appoggiata agi estremi e soggetta a medesimo carico. 9 ILIOGRFI GENERLE

6 PGIN INTENZIONLMENTE VUOT

7 . GENERLITÁ Consideriamo una trave prismatica appoggiata ae estremità e soggetta ad un generico carico verticae come mostrato in Figura.. Ci proponiamo di determinare e rotazioni e dee due e- stremità dea trave. Ricordiamo che per convenzione e rotazioni dee sezioni di una trave si assumono positive se di senso orario e negative se di senso antiorario, come è evidenziato nea stessa Figura.. Figura. La via più sempice e diretta per determinare e è appicare i principio dei avori virtuai. Così facendo si ha infatti: () dz () ;. dz MM' EJ MM' EJ dove M è i momento fettente nea trave dovuto a carico su di essa agente, mentre M ' () ed M ' () sono rispettivamente i momento fettente nea trave dovuto ad una coppia destrogira unitaria appicata in ed i momento fettente nea trave dovuto ad una coppia sinistrogira unitaria appicata in. Poiché sia M che M ' () ed M ' () sono funzioni positive di z (M per i tipo di carico considerato ed M ' () ed M ' () per i verso fissato ae coppie), i segno meno che compare davanti a secondo integrae nea. fa si che risuti, come deve essere, <. I Momento fettente M sarà in generae rappresentabie mediante una funzione di z a più determinazioni ne intervao [, ] ; sarà cioè in generae una funzione di z dea forma seguente (ne caso rappresentato in Figura. è n 8 ): M M( z) se z [, z[ M ( z) se z [ z, z[ M n( z) se z [ zn, [. Si ha invece manifestamente: M ' () z.

8 M ' () z.4 I Diagrammi dei momenti fettenti M (per a situazione di carico rappresentata in Figura.), ed M ' () sono riportati nea seguente Figura.. M ' () Figura. Esprimendo M per mezzo dea., dae. si ottiene:

9 z z ' ' M M() dz + M ' M() dz + + Mn M( ) dz EJ.5 z z n EJ z z M M' dz M M' dz M M dz.6 z z n () + ' () + + n ( ) Per trovare e rotazioni e è sufficiente quindi determinare e funzioni M, M,..., Mn e cacoare gi intergai che compaiono a secondo membro dee.5 ed.6 in cui M ' () ed M ' () sono funzioni note, dati rispettivamente daa. ed.4. Nei paragrafi seguenti studieremo in dettagio tre tipoogie di condizioni di carico e cui combinazioni consentono di trattare un gran numero probemi di interesse pratico.. TRVE SOGGETT CRICO TRINGOLRE Consideriamo a situazione schematizzata in Figura. qui di seguito riportata. La trave si suppone soggetta ad un carico triangoare di vaore massimo q agente s un tratto di unghezza dea campata. In questo caso si ha (v. Figura.): Figura. Rz se z [, a] ( z a) M Rz q se z [ a, b] 6( b a) b a a+ b Rz q z se z [ b, ]. dove R è a reazione de appoggio in, fornita daa seguente espressione:

10 b a a+ b R q. La. si ottiene scrivendo equazione di equiibrio aa rotazione dea trave attorno a. Figura. Da cacoo degi integrai.5 ed.6 e cercate rotazioni e risutano aora date dae formue qui di seguito riportate: q b a a a b a b b b b b 6 EJ ( )[ + ( 5 ) + (9 + ) + ( )]. q ( b a)[( a+ b)( a 6 b ) ab ] 6 EJ.4 Nea seguente Tabea. sono indicate e espressioni dee rotazioni e in tre casi significativi per e appicazioni pratiche. schema statico a b a b 7q 6 EJ 8q 6 EJ a b 4q 88 EJ 4q 88 EJ a b 7 q 576 EJ 5q 576 EJ Tabea. partire dai casi eencati in Tabea. si possono poi costruire, avvaendosi de principio di sovrapposizione degi effetti, diversi atri casi di interesse pratico. 4

11 . TRVE SOGGETT CRICO UNIFORME Consideriamo a situazione schematizzata in Figura. qui di seguito riportata. La trave si suppone soggetta ad un carico uniforme di vaore q agente s un tratto di unghezza dea campata. In questo caso si ha (v. Figura.): Figura. Rz se z [, a] M Rz q ( z a ) se z [ a, b] a+ b Rz q( b a) z se z [ b, ]. dove R è a reazione de appoggio in, fornita daa seguente espressione: b a a+ b R q. La. si ottiene scrivendo equazione di equiibrio aa rotazione dea trave attorno a. Figura. 5

12 Da cacoo degi integrai.5 ed.6 e cercate rotazioni e risutano aora date dae formue qui di seguito riportate: q ( b a) [ ( a+ b)][ ( a+ b) ( a + b )] 4 EJ. q ( a b )( a + b ) 4 EJ.4 Nea seguente Tabea. sono indicate e espressioni dee rotazioni e in tre casi significativi per e appicazioni pratiche. schema statico a b a b q 4 EJ q 4 EJ a b 8q 4EJ 7 q 4EJ a b 9q 84 EJ 7 q 84 EJ a b 5q 944 EJ 7 q 944 EJ a 4 b 4 q 84 EJ q 84 EJ Tabea. partire dai casi eencati in Tabea. si possono poi costruire, avvaendosi de principio di sovrapposizione degi effetti, diversi atri casi di interesse pratico. Osservazione. Le. e.4 si possono ricavare anche attraverso e. e.4. I tipo di carico considerato in questo paragrafo si può infatti immaginare ottenuto come sovrapposizione di due carichi triangoari come è mostrato in Figura.. Figura. titoo d esempio consideriamo i caso di un carico uniforme di vaore q agente su intera campata (v. Tabea., prima riga). In base a quanto iustrato in Figura. si può aora scrivere (v. Tabe- 6

13 a., prima riga): 7q 8q 5q q + 6 EJ 6 EJ 6 EJ 4 EJ.5 8q 7q 5q q 6 EJ 6 EJ 6 EJ 4 EJ.6 Questo modo di procedere è però scomodo e si è preferito usare approccio diretto basato sue reazioni.5 ed TRVE SOGGETT D UN CRICO CONCENTRTO Consideriamo a situazione schematizzata in Figura 4. qui di seguito riportata. La trave si suppone soggetta ad un carico concentrato di vaore P agente a distanza a da appoggio in. In questo caso si ha (v. Figura 4.): Figura 4. M Rz se z [, a] Rz P( z a) se z [ a, ] 4. dove R è a reazione de appoggio in, fornita manifestamente daa seguente espressione: R b P 4. Da cacoo degi integrai.5 ed.6 e cercate rotazioni e risutano aora date dae formue qui di seguito riportate: P b( b ) 4. 6 EJ P a( a ) EJ 7

14 Figura 4. Nea seguente Tabea 4. sono indicate e espressioni dee rotazioni e in tre casi significativi per e appicazioni pratiche. schema statico a b a b P 6 EJ P 6 EJ a b 5 P 8EJ 4 P 8EJ a 4 b 4 7 P 8 EJ 5 P 8 EJ Tabea 4. partire dai casi riportati in Tabea 4. si possono poi costruire, avvaendosi de principio di sovrapposizione degi effetti, diversi atri casi di interesse pratico. Osservazione. Le 4. e 4.4 si possono ricavare anche attraverso e. e.4. I tipo di carico considerato in questo paragrafo si può infatti immaginare ottenuto come imite per b a + di un carico uniforme di risutante pari a P (cioè caratterizzato da vaore q P/ ( b a) ) che agisce sua trave fra i punti di ascissa a e b (b arbitrario). nche in questo caso è però preferibie usare approccio diretto basato sue reazioni.5 ed OSSERVZIONI CONCLUSIVE Concudiamo questo scritto osservando che a partire dai casi riportati in Tabea., Tabea. e Tabea 4. si possono ottenere, avvaendosi de principio di sovrapposizione degi effetti, numerosi casi di interesse pratico. d esempio è possibie studiare i caso di un carico trapezioidae che è manifestamente ottenibie come sovrapposizione di un carico uniforme con uno triangoare. 8

15 PPENDICE Trave prismatica perfettamente incastrata ae estremità: egame fra i momenti di incastro perfetto e e rotazioni dee estremità dea trave supposta appoggiata a- gi estremi e soggetta a medesimo carico. Consideriamo una trave prismatica perfettamente incastrata ae estremità e soggetta ad un generico carico verticae come mostrato in Figura.. Figura. Per i tipo di carico considerato a trave è due vote iperstatica e può essere resa isostatica mettendo in evidenza i momenti d incastro perfetto che, conformemente a azione de carico considerato, assumeremo orientati come in Figura. e quindi di vaore negativo (come è stato evidenziato nea stessa Figura.). Figura. Come è noto, i vaori di M ed M possono determinarsi attraverso e equazioni di congruenza associate ao schema statico ausiiario rappresentato in Figura.. Tai equazioni, indicate con e e rotazioni dee estremità dea trave doppiamente incastrata (schema statico di Figura.), sono chiaramente e seguenti (avendo supposto che gi incastri siano perfetti):.. In base a principio di sovrapposizione degi effetti si ha (v. Figura.):

16 Figura. Ora nee. ed.4, e sono e rotazioni dee estremità dea trave dovute a soo carico agente su di essa quando a trave è supposta appoggiata ae estremità, mentre come è noto si ha: M E J ; M 6 E J ; M.5 6 E J M.6 E J Neo scrivere e.5 ed.6 si è tenuto presente che M, M < e che deve essere, <,, >. vvaendosi dee.5 ed.6 e. ed.4 assumono a forma seguente: M M E J 6EJ M M 6E J EJ.8

17 Possiamo così concudere, in forza dee. ed., che e rotazioni e dovute a soo carico agente sua trave supposta appoggiata ae estremità, sono egate ai vaori dei momenti di incastro perfetto M ed M reativi a medesimo carico, dae seguenti reazioni: M M E J 6EJ.9 M M 6E J EJ +. Si noti che essendo M, M <, e reazioni sopra riportate forniscono, come deve essere per i tipo di carico considerato, > e <. Le formue.9 ed. esprimono i egame fra e rotazioni dee estremità di una trave appoggiata agi estremi dovute a carico che agisce sua trave ed i momenti di incastro perfetto agenti sua stessa trave e nee medesime condizioni di carico quando e estremità dea trave sono incastrate anziché appoggiate. Invertendo e.9 ed. si ottiene i egame fra M ed M e e rotazioni e. Tae egame risuta i seguente: M EJ ( + ). M EJ ( + ). Ricordiamo che per i tipo di carico considerato si ha > e < e che e. ed. devono fornire per M ed M vaori negativi. Ne segue che fra e deve sussistere a seguente reazione (vaida in generae ne caso di carichi verticai arbitrari): >. Le formue. ed. trovano notevoi appicazioni nea teoria dee travi incastrate easticamente agi estremi e quindi, in particoare, nea teoria dei teai piani.

18 PGIN INTENZIONLMENTE VUOT

19 ILIOGRFI GENERLE [] O. euzzi, Scienza dee Costruzioni, Vo., Zanichei. [] M. Capurso, Lezioni di Scienza dee Costruzioni, Pitagora Editrice.