Dinamica. Capitolo II. Appendice 1: DENSITÀ LINEICA di FORZA a DISTANZA. b=-ρgaj

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1 Capitoo II Dinamica Appendice 1: DENSITÀ LINEICA di ORZA a DISTANZA Esempi di forze appicate a distanza, cioè senza contatto tra i corpi, sono a forza di attrazione gravitazionae, a forza d inerzia, a forza eettromagnetica di Lorenz; esempi di forze appicate per contatto tra i corpi sono a spinta di un fuido su di una superficie e a forza di coisione ne impatto tra due corpi. Come esempio di forza agente a distanza sui punti sostanziai occupanti i posti de supporto dea trave si consideri a forza peso in prossimità dea superficie terrestre; questa forza è caratterizzata daa 1 direzione coincidente con a verticae passante per que posto e daa acceerazione A di gravità g. Nea reatà a trave è un corpo di forma tridimensionae e quindi i peso di una sua porzione di unghezza unitaria può essere espresso co me, ig. 41: b=-ρga b = - ρga 1 = p, ig. 41 Trave come corpo di forma tridimensionae. avendo indicato con ρ a densità di massa dea sostanza costituente a trave e con A area dea sua sezione retta e avendo assunto per sempicità un assetto orizzontae de supporto, facendo così coincidere a direzione dea verticae con a direzione dea base ocae. La quantità p ha aora e dimensioni fisiche [L -1 ] ed è definita densità ineica di forza a distanza, ig. 41. Nea reatà, da momento che a trave è un corpo di forma tridimensionae, possono essere appicate sua sua superficie, cioè sua frontiera de dominio, soo forze di contatto, ig. 4, che non possono essere comprese ne modeo di soido di forma monodimensionae, a cui frontiera coincide con i posti di estremità de supporto; si usa aora accorgimento di far rientrare queste forze ne modeo monodimensionae, pensandoe agenti a distanza su supporto, ig. 43:

2 38 Meccanica dea Trave b = - π(b 1) = p, dove π è a pressione di contatto, cioè a forza per unità di area, e b è a arghezza dea sezione retta, assunta di forma rettangoare per ragioni di sempicità grafica. π b 1 A 1 ig. 4 orze di contatto agenti sua superficie. b=-π (b 1) ig. 43 orze a distanza agenti su supporto. Appendice : SISTEMI di AZIONI EQUIVALENTI Due sistemi di azioni si dicono equivaenti aorché hanno uguae forza risutante e uguae momento risutante. A scopo puramente esempificativo, ma senza perdita di generaità, si consideri i particoare sistema, costituito da una densità di forza variabie con egge ineare, ig. 44a. Con a notazione e a base ocae adottate per a trave, si definisca tae egge come pmax b( z ) = z, e se ne cacoi a forza risutante: Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

3 II. Dinamica 39 f R = b e i momento risutante rispetto a poo o : max max ( z) dz zdz =, p p m R = z b max max ( z) dz = z zdz = i. p p 3 i o p max o 1 p max z a) sistema effettivo di forza, b) sistema equivaente; ig. 44 Sistemi di azioni equivaenti. Si definisce centro di forza de sistema in esame, que particoare posto c f, tae che, se a forza risutante è appicata in esso, essa dà uogo ad un sistema equivaente a queo dato, cioè essa ha momento uguae a queo de sistema dato rispetto a poo o, ig. 44b: pmax pmax pmax pmax z f f = mr zf = i zf i = i 3 3 z f =. 3 La definizione appena data tornerà utie in 3.V.. e 3.V.3. [3], quando si introdurrà a definizione di centro di tagio. 3 c f

4 4 Meccanica dea Trave Appendice 3: EQUAZIONI LOCALI di EQUILIBRIO e BILAN- CIO. EQUAZIONI di SALTO DINAMICO Si consideri una trave soggetta ad azioni esterne a distanza continue, ig. 45. Si immagini di isoare ne intorno de posto di ascissa z un eemento di unghezza infinitesima dz; su questo eemento agiscono e azioni esterne risutanti qdz, pdz, µdz, ig. 46. Gi eementi di trave (aventi unghezza finita) a sinistra e a destra de eemento di unghezza infinitesima appicano ad esso e azioni interne di contatto N(z), Q(z), M(z), sua fibra di sinistra, e e azioni incrementate N(z+dz)=N(z)+dN=N+N dz, Q(z+dz)=Q(z)+dQ=Q+Q dz, M(z+dz)=M(z)+dM=M+M dz, sua fibra di destra, ig. 46; nea scrittura dee reazioni precedenti è stato fatto uso dee ipotesi di continuità e derivabiità dee azioni interne di contatto. pdz dz z M N Q Q+dQ pdz qdz N+dN µdz dz M+dM qdz µdz i ig. 45 Azioni esterne continue. ig. 46 Eemento di unghezza infinitesima. Con riferimento a eemento di unghezza infinitesima, ig. 45, equiibrio dee forze e i biancio dei momenti dee coppie e dee forze impongono nea base i: Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

5 II. Dinamica 41 i ) N + ( N + dn ) ) Q + ( Q + dq) ) Qdz M + ( M + dm ) + + qdz =, + pdz =, µ dz p ( dz) =, dove i biancio dei momenti è cacoato rispetto a centro dea fibra di destra. Passando a imite per dz si ottengono e equazioni indefinite di equiibrio e biancio: ) N + q =, ) Q + p =, i) M Q + µ =. I versi assunti per e azioni di contatto appicate a eemento di trave mostrato in ig. 46 corrispondono aa convenzione seguente: sua faccia di destra sono positive e azioni N+dN, Q+dQ, M+dM concordi con a base i, mentre sua faccia di sinistra sono positive e azioni N, Q, M discordi. In presenza di azioni esterne singoari, caratterizzate daa forza e daa coppia f s = f + z C x i, f, y appicate ne posto q s di ascissa z s, ig. 47, e equazioni di sato dinamico si ottengono imponendo equiibrio dee forze e i biancio dei momenti dee coppie e dee forze i + ) N( zs ) N ( zs ) + ) Q( zs ) Q( zs ) + ) M ( z ) M ( z ) s s + f + f y z + C x =, =, =, appicate a eemento di unghezza infinitesima ne intorno de posto q s, ig. 48. Le ascisse z s + e z s - indicano come di consueto i imite destro e sinistro de ascissa z s.

6 4 Meccanica dea Trave f y C x fz N(z s - ) f y f z Q(z s + ) N(z s + ) z s ig. 47 Azioni esterne singoari. C x Q(z - M(z + s ) M(z - s ) s ) i ig. 48 Sato dinamico. Come esempio iustrativo de metodo prima presentato, si consideri a trave appoggiata soggetta ae due forze singoari (assiae) e P (trasversae), nonché aa coppia singoare C i, appicate a distanza in un posto interno de supporto, ig. 49a. Le azioni sono state disegnate attaccate a supporto; si deve tuttavia intendere che esse sono appicate a distanza. In ig. 49b è rappresentato i diagramma di corpo ibero presunto, dove i versi dee azioni vincoari sono assegnati arbitrariamente, mentre in ig. 49c è iustrato i diagramma di corpo ibero corretto, dove sono state riportate e azioni vincoari cacoate risovendo i probema stereostatico seguente: H V (C+Pb)/ a a) b) c) q a P b C P V C P C (C-Pa)/ 1 1 ig. 49 Singoarità dinamica. H 1 V + P = V C Pa Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

7 II. Dinamica 43 H V V = ( C + Pb) ( C Pa). Si noti che si è posto C >Pa, onde determinare i verso dea forza vincoare V. La figura 5 mostra a trave suddivisa in tre corpi: due tratti regoari q -q a-, q a+ -q, aventi dimensione finita, ed un posto q a, privo di dimensioni ma dotato di assetto; i nea scrittura dee equazioni dinamiche gobai per ciascun corpo, ae azioni interne ed esterne si conferisce i segno ne- q V a- (C+Pb)/ q a- a base ocae i. Le equazioni dinamiche gobai per i tratto q -q a- sono: a M a- H a- H a- - = H a- =, V a- - (C+Pb)/= V a- = (C+Pb)/, M a- - (C+Pb)a/ = (poo in q a- ) M a- = (C+Pb)a/. mentre quee per i nodo q a sono: (C+Pb)a/ C P q a V a+ H a+ M a+ (C+Pb)/ H a+ - + = H a+ =, V a+ - (C+Pb)/ + P = (C-Pa)b/ V a+ = (C-Pa)/ >, M a+ - (C+Pb)a/ + C = q a+ q b M a+ = - (C-Pa)b/ <, (C-Pa)/ (C-Pa)/ ricordando che è stato posto C >Pa. Ancora a figura 5 mostra i sistema di azioni equiibrato e bianciato appicato su ig. 5 Diagrammi di corpo ibero. ciascun corpo. Per i due tratti regoari di supporto si adottano due diversi sistemi di riferimento, con origini in q e q a e ascisse rettiinee <z<a e <z<b rispettivamente. Le eggi anaitiche che governano e azioni di contatto ne tratto q -q a- si ottengono integrando e equazioni dinamiche ocai e imponendo e condizioni a contorno ne posto q : N = N = cost z, N( ) = N ; Q = Q = cost z, Q = C + Pb Q C + Pb () ( ) ( ) ;

8 44 Meccanica dea Trave z ( ) [( ) ] () () ( C + Pb cost, ) M Q = M z = C + Pb dς + M = M z = z ; mentre e funzioni di soecitazione ne tratto q a+ -q sono e seguenti: ( ) = ; ( ) = ( C Pa) Q ( C Pa) ; N = N = cost z, N N Q = Q = cost z, Q z ( z) = [( C Pa) ] dς + cost, M () = ( C Pa) b M Q = M M z ( z) = ( C Pa) ( C Pa). b I diagrammi dee azioni interne di contatto sono iustrati in ig. 51. Si osservi che i diagrammi dee azioni interne di contatto presentano, in corrispondenza de posto di singoarità dinamica q a, sati quantitativamente uguai ae azioni esterne singoari, P e C, ig. 51: q (C+Pb)/ q a (C-Pa)/ q N Q + =, (C-Pa)/ - (C+Pb)/ + P =, (C+Pb)a/ M (C+Pb)a/ (C-Pa)b/ + C =. Infine, aa uce dea convenzione adotta- (C-Pa)b/ (-) ta in ig. 46, i diagrammi di ig. 51 con- ig. 51 Diagrammi dee azioni interne. sentono di risaire ae azioni di contatto appicate ae estremità dea trave. In particoare, a estremità sinistra sono appicate una forza assiae diretta verso sinistra, una forza trasversae diretta verso i basso, e un momento fettente nuo; a estremità destra sono appicate una forza assiae ed un momento fettente nui, e una forza trasversae verso ato; i riconoscimento che i risutati ottenuti in termini di azioni interne di contatto siano in accordo con i diagramma di corpo ibero di ig. 5 depone pertanto a favore dea correttezza dei cacoi eseguiti. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

9 II. Dinamica 45 Appendice 4: CONDIZIONI a CONTORNO Ne posto q a estremità sinistra (z =) di una trave sia appicato un vincoo generico caratterizzato dae azioni esterne vincoari di contatto r (forza) e C i (coppia), ig. 5; ne medesimo posto de supporto agiscano azioni esterne attive singoari (a distanza o di contatto) f (forza) e C i (coppia). Se si isoa ideamente un intorno di unghezza infinitesima dz, a restante parte dea trave appica a eemento seezionato e azioni interne di contatto mostrate in ig. 5: r C C f dz t() M() ( ) N( ) Q( ), M ( ). t = + ig. 5 Estremità sinistra. Le condizioni a contorno si ottengono scrivendo e equazioni di equiibrio dee forze agenti su eemento di unghezza infinitesima: t () + r + f = t() = r f ) N( ) ) Q( ) = H fz, = V f ; e equazione di biancio dei momenti dee coppie (e forze hanno braccio nuo): M () + C + C = M ( ) = C. C y Se i vincoo è ora appicato ne posto q, si procede in modo de tutto anaogo aa situazione precedente, ottenendo e condizioni a contorno per z =, ig. 53: -M() C f t () = r + f () () N = H + fz, Q = V + f ; () = C C. M + y -t() dz r C ig. 53 Estremità destra. Le Eqq. (4.4) e a ig. b rendono conto dea negatività dee azioni interne di contatto agenti sua faccia di sinistra de eemento di trave, ig. 53.

10 46 Meccanica dea Trave Appendice 5: TRAVI a SUPPORTO CURVILINEO L appicazione diretta dee Eqq. (5.1), (5.7), e (5.9) permette di estendere o studio de probema dinamico determinato ae travi con supporto curviineo, a patto di definire su di esso un ascissa curviinea s e di assumere una base ocae (s),(s),i(=cost s ) variabie con s ungo a inea d asse S r in modo tae che a direzione (s) coincida in ogni posto de supporto con a direzione dea tangente a medesimo, ig. 54. e e 1 S r s (s) (s) i e (q ϕ -o) ϕ q ϕ (ϕ) (ϕ) RSenϕe o e 3 o e 3 R(1-Cosϕ)e 3 ig. 54 Trave con supporto curviineo. ig. 55 Anomaia. Ne caso che i supporto abbia forma circonferenziae (di raggio R), si preferisce sostituire anomaia ϕ a ascissa curviinea s, ig. 55; pertanto i vettore posizione de generico posto q ϕ de supporto è rappresentabie nea base fissa e 3 e e 1 come: (q ϕ - o) = R(1-Cos ϕ) e 3 + RSen ϕ e, e eemento infinitesimo di inea curva ha unghezza ds=rdϕ. Per megio chiarire i procedimento che si adotta in questa situazione, si consideri ad esempio a trave appoggiata con supporto di forma semicirconferenziae ( ϕ π) mostrata in ig. 57a; a trave è soggetta ad una densità uniforme di forza p nea direzione radiae. I cacoo dee azioni vincoari è effettuato nea base fissa e 3 e e 1, pertanto occorre esprimere in funzione de anomaia ϕ i versori dea base variabie: (ϕ) = Sen ϕ e 3 + Cos ϕ e, (ϕ) = - Cos ϕ e 3 + Sen ϕ e, i = cost ϕ = e 1, nonché a densità vettoriae dea forza attiva: Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

11 II. Dinamica 47 b(ϕ) = p (ϕ) = p(-cos ϕ e 3 + Sen ϕ e ), Le equazioni gobai di equiibrio e biancio nea base e 3 e e 1 e rispetto a poo o V H {[ b( ϕ) Rd ] e }, + π ϕ 3 = {[ b ( ϕ) Rdϕ] e }, Vπ + = + π ( q o) b ( ) V e π π R + ϕ 1 consentono di cacoare e azioni vincoari, ig. 57b, [ ϕ Rdϕ] =, H =, V = -pr, V π = -pr, Infine, a scrittura dee equazioni dinamiche per un eemento di trave avente unghezza finita nea base (ϕ)(ϕ)i, ig. 56, permette di determinare i campi dee azioni di contatto, che, ne caso preso in esame, si riducono aa soa forza assiae, peratro costante ungo i supporto, ig. 57c, M ( ϕ) prcosϕ + {[ ( ~ ) ~ b ϕ Rdϕ ]} ( ϕ) = N pr, N = Q ϕ ( ϕ) prsenϕ + {[ ( ~ ) ~ b ϕ Rdϕ ]} ( ϕ) = Q =, ϕ ϕ ( ϕ) [( q ) ( pr) e ] e + ( q q ) ( ~ ~ b ϕ ) + e M ϕ = ϕ, π [ Rd ~ ϕ ] o ϕ 1 ϕ ϕ 1 = ( ) [ ]. L equazione di biancio dei momenti è scritta rispetto a poo q ϕ in modo che e componenti N(ϕ) e Q(ϕ) diano contributo nuo in quanto a oro retta d azione passa per q ϕ ; intervao di definizione dee funzioni N(ϕ), Q(ϕ) e M(ϕ) è [,π]. Nee equazioni precedenti si è distinto, come di consueto, a variabie d integrazione ϕ ~ da estremo d integrazione ϕ. V M H p ϕ ~ Q(ϕ) M(ϕ) N(ϕ) ig. 56 Eemento di unghezza finita.

12 48 Meccanica dea Trave La figura 58a mostra i diagramma di corpo ibero per una trave appoggiata con supporto semicirconferenziae ( ϕ π) soggetta ad una forza singoare appicata in mezzeria. Le azioni vincoari sono state ottenute dae equazioni dinamiche gobai scritte nea base e 3 e e 1 e rispetto a poo o : H =, V + V π + P =, - PR - V π R =, che forniscono H =, V = -P/, V π = -P/, La presenza di una singoarità dinamica richiede di imporre nea base ocae (ϕ)(ϕ)i equiibrio e i biancio (rispetto a poo q ϕ ) di due eementi finiti di trave, i primo che escude a forza singoare (ig. 58b), N(ϕ) (P/)Cosϕ =, Q(ϕ) (P/)Senϕ =, M(ϕ) (P/)R(1-Cosϕ) =, ϕ < π/, i secondo che a comprende (ig. 58c): N(ϕ)+(P/)Cosϕ =, Q(ϕ)+(P/)Senϕ =, M(ϕ) (P/)R(1+Cosϕ) =, π/ < ϕ π; questa procedura equivae aa scrittura dee condizioni di sato Eqq. (5.9). Infine, i corrispondenti diagrammi dee azioni di contatto sono tracciati in ig. 59. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

13 II. Dinamica 49 p P a) R P/ Q(ϕ) a) R N(ϕ) P/ p q ϕ M(ϕ) pr b) N = pr, Q = M =. pr P/ o b) Q(ϕ) pr P q ϕ M(ϕ) N c) o c) N(ϕ) P/ ig. 57 Trave appoggiata con supporto semicirconferenziae e con densità di forza radiamente uniforme. ig. 58 Trave appoggiata con supporto semicirconferenziae e con forza singoare in mezzeria.

14 5 Meccanica dea Trave N P/ P/ P/ P/ (-) Q ϕ<π/: N = (P/)Cosϕ, Q = (P/)Senϕ, M = (PR/) [1- Cosϕ]; π/<ϕ π: N = -(P/) Cosϕ, Q = -(P/) Senϕ, M = (PR/) (1+Cosϕ). PR/ M ig. 59 Diagrammi dee azioni di contatto. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Escuapio - Boogna

15 II. Dinamica 51 Appendice 6: ASTA RETICOLARE Un tratto regoare di trave vincoato ae estremità i e mediante cerniere Q ciindriche e soggetto ad azioni singoari appicate escusivamente in corrispondenza N dei posti (fibre) estremi è noto ne- a Letteratura tecnica con i nome di asta N i reticoare. Questo modeo di trave particoarmente sempice gode dea proprietà di essere soggetto unicamente aa componente assiae dea forza interna di Q i contatto N = N i = N. Infatti assenza di azioni appicate ungo i supporto e a pre ig. 6 Asta reticoare senza dee cerniere ae estremità impongono annuarsi de momento fettente e dea componente trasversae dea forza interna di contatto. L equiibrio dee forze nee direzioni assiae e trasversae e i biancio dei momenti rispetto a poo i forniscono: Ni + N = N = Ni = N, Qi + Q = Q = Qi, Qi =. Q = Q =,