Calcolo di spostamenti di strutture isostatiche attraverso il PLV. Complemento alla lezione 41/50: Calcolo spostamenti tramite P.L.V.

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1 acoo di spostamenti di strutture isostatiche attraverso i PLV ompemento aa eione /5: acoo spostamenti tramite P.L.V. Eserciio. acoare i vaore deo spostamento in per a trave sotto riportata. La struttura in esame (isostatica) è gia stata anaiata ne compemento aa video-eione 38 attraverso integraione de euaione dea inea eastica. Tae metodo risuta però reativamente oneroso soprattutto ne caso si sia interessati ad acuni vaori speciici di spostamento ad esempio uei massimi. Supponiamo di voer cacoare o spostamento massimo per a struttura sopra disegnata. Un tracciamento uaitativo dea coniguraione deormata è possibie sua base de soo diagramma di momento e permette di evideniare che come intuitivo i massimo abbassamento si ha ne estremo ibero. Si vuoe ora determinare i vaore di detto spostamento attraverso appicaione de Principio dei Lavori Virtuai (PLV). ome evideniato nea video-eione euaione de PLV deve essere scritta considerando come sistema di spostamenti i sistema reae (r) e come sistema di ore un sistema ittiio () costituito da una ora unitaria duae deo spostamento incognito. Ne caso in uestione dunue una ora unitaria verticae in : () y y Ne disegno si sono introdotti anche i sistemi di rierimento per i due tratti rispettivamente con origine in ed in. I tracciamento de diagramma di momento generato daa ora unitaria è immediato:

2 / / M () naiticamente si ha rispettivamente su tratto e su tratto : ( ) ( ). () M () M I momento reae (dovuto cioè ai carichi eettivamente agenti) coincide con ueo già cacoato ne materiae compementare aa video-eione 38: /8 / /8 M (r) naiticamente si ha rispettivamente su tratto e su tratto : M M (r) (r) ( ) ( ) ( ). L espressione de PLV diviene pertanto: ( ) () r ( ) χ ( r v M ) d ovvero ricordando i egame tra momento e curvatura: () r () r () r (r) ( ) M ( ) M ( ) M v M d M d M d.

3 Sostituendo e espressioni dee unioni momento sopra riportate e rimuovendo per sempicità gi apici si ottiene: ( ) v 3 3 d d da cui: v I segno positivo indica che o spostamento è euiverso aa ora unitaria ittiia: dunue o spostamento di è verso i basso. Si noti che intergae poteva svogersi anche con uso dea ormua di Simpson: ( ) ( ) ( ) 6 d Generamente uesta ormua restituisce un vaore approssimato de integrae. Ne caso però a unione integranda sia un poinomio di grado minore o uguae a 3 (che è i caso in esame) i risutato dea ormua è esatto. Ne seguito a ormua di Simpson verrà dunue usata per comodità di cacoo e non per avere una stima de vaore degi integrai. Per poter appicare a ormua occorre vautare i vaore dei diagrammi a metà di ciascun tratto di integraione (vedi sopra). osì acendo si ottiene: v che coincide co vaore cacoato per integraione diretta e soprattutto co vaore ottenuto vautando in a unione spostamento ottenuta per integraione de euaione dea inea eastica. v

4 Eserciio. Per a struttura sotto riportata cacoare i vaore dea rotaione reativa nea cerniera interna. nche a presente struttura (isostatica) è gia stata anaiata (ne compemento aa video-eione 39) attraverso integraione de euaione dea inea eastica. ome già osservato tae metodo risuta però reativamente oneroso soprattutto ne caso si sia interessati ad acuni vaori speciici di spostamento. Ne caso in esame si richiede i cacoo dea rotaione reativa in. Si vuoe ora determinare i vaore di detto spostamento attraverso appicaione de Principio dei Lavori Virtuai (PLV). ome evideniato nea video-eione euaione de PLV deve essere scritta considerando come sistema di spostamenti i sistema reae (r) e come sistema di ore un sistema ittiio () costituito da una ora unitaria duae deo spostamento incognito. Ne caso in uestione dunue due momenti uguai in moduo ed opposti in verso appicati aa sinistra ed aa destra dea cerniera. Detti momenti inatti compiono avoro per entità di cui angoo ˆ iniiamente piatto si scosta da 8 a deormaione avvenuta. () () y Ne disegno si è inotre evideniato i sistema di rierimento che permette di deinire i segno de diagramma di momento. I tracciamento de diagramma di momento generato daa ora unitaria è immediato dovendo essere ineare su tutta a unghea nuo in e unitario in :

5 3/ / M () I momento reae (dovuto cioè ai carichi eettivamente agenti) coincide con ueo già cacoato ne materiae compementare aa video-eione 39: / / M (r) /8 Si appichi ora i PLV. I avoro virtuae esterno è dato da: () (r) () (r) () (r) (r) () (r) ϕ ϕ [ ϕ ϕ ] ϕ essendo ϕ ϕ ϕ rispettivamente a rotaione in de tratto de tratto e a oro rotaione reativa. I avoro virtuae interno è invece dato da: () (r) () (r) M M M χ d d. Ne segue: () (r) M M ϕ d. () (r) Utiiando a ormua di Simpson e rimuovendo per sempicità apice (r) si ottiene inine: ϕ

6 I segno positivo indica che a rotaione reativa ha o stesso verso dea coppia di momenti unitari ittii posti in. Si noti che i vaore coincide con ueo trovato attraverso integraione de euaione dea inea eastica ne materiae didattico compementare aa video-eione 39. ϕ Β ϕ Β ϕ Β