BOZZA. Lezione n. 7. Il metodo dell equilibrio: esempio #1 I vincoli ausiliari

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1 eione n. 7 Il metodo dell euilibrio: esempio #1 I vincoli ausiliari Nel corso della presente leione, attraverso l ausilio di un esempio, si introdurranno i concetti ondamentali legati al metodo di soluione di una struttura iperstatica nell ottica del metodo dell euilibrio. e caratteristiche del metodo che verranno delineate sono comunue del tutto generali, e possono essere utiliate anche nel caso di sistemi iperstatici diversi da uello esaminato. a struttura analiata è riportata nella igura seguente. Si tratta di una trave inlessa, a due campate, che può essere deinita come una travatura composta da due aste ( e ) e tre nodi (, e ). In generale verranno deiniti come nodi le seioni di una travatura in cui: - conluiscono più aste; - sono presenti dei vincoli. e due circostane si possono, evidentemente, presentare anche contemporaneamente, essendo inatti possibile che una stessa seione, per uanto sede di un vincolo, rappresenti anche la conluena di più aste. Per asta (rierendoci uindi a sistemi composti da tratti rettilinei) si intenderà un tratto di struttura in cui i vincoli siano presenti soltanto alle estremità. Inoltre, ualunue tratto tra due nodi, verrà identiicato come asta. Ogni singola asta è uindi rappresentata da un tratto rettilineo, vincolato soltanto alle estremità, soggetto ad una condiione di carico ualunue. a procedura di soluione nell ambito del metodo dell euilibrio consiste in tre asi, che verranno illustrate nel seguito, costituite da: - identiicaione dei movimenti indipendenti - ase I: soluione della struttura con movimenti indipendenti bloccati - ase II: soluione della struttura con movimenti indipendenti consentiti ed aioni soltanto nei nodi OZZ Identiicaione dei movimenti indipendenti a prima operaione che occorre eettuare consiste nell identiicaione degli spostamenti dei nodi che è necessario conoscere per avere inormaioni complete circa la deormata della struttura. Tali spostamenti verranno deiniti come movimenti indipendenti, e giocano un ruolo ondamentale nel metodo dell euilibrio, in uanto essi rappresenteranno le incognite del problema che ci accingeremo a deinire e risolvere. Il termine spostamenti è da intendersi in senso generaliato, ossia verranno compresi nel termine sia spostamenti che rotaioni. Questa ase è in ualche modo euivalente alla scelta della struttura principale nella soluione di una travatura iperstatica attraverso il metodo della congruena, dove si identiicavano le sollecitaioni (incognite) in una struttura ottenuta da uella di partena, resa isostatica attraverso l eliminaione di un numero opportuno di vincoli. Il modo di procedere consiste uindi nell identiicaione di uei valori degli spostamenti dei nodi della struttura che non sono deiniti a priori dalle condiioni vincolari. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni Revisione 9/10/01

2 eione n. 7 pag. VII. Nel caso in esame, trattandosi di una struttura costituita da tre nodi, dovranno, in generale, essere deiniti i valori dei seguenti nove spostamenti: nodo : w v ϕ nodo : w v ϕ nodo : w v ϕ dove con i termini w, v e ϕ si sono indicati rispettivamente gli spostamenti oriontali, uelli verticali e le rotaioni. Di tali nove grandee, sette risultano deinite a priori dalla presena di vincoli che impediscono uno o più gradi di libertà del sistema. In particolare, i due incastri in e bloccano tutti e tre gli spostamenti relativi a tali seioni, mentre l appoggio semplice in impedisce lo spostamento verticale v. Di conseguena, il numero degli spostamenti che occorre conoscere per disegnare la deormata della struttura si riduce a due, ossia il valore dello spostamento oriontale in (w ) e della rotaione nella stessa seione (ϕ ). nodo : wx vx ϕx nodo : w vx ϕ nodo : wx vx ϕx Quindi, ualunue sia il carico applicato sulla struttura in esame, si dovranno determinare i valori di tali spostamenti per deinire univocamente la deormata della struttura. Nell ottica del procedimento della linea elastica, la conoscena della deormata consentirà poi di risalire a tutte le caratteristiche di deormaione e di sollecitaione all interno della struttura, attraverso semplici operaioni di derivaione. lla luce della deiniione oerta in precedena, aermeremo dunue che la struttura in esame presenta, in generale, due movimenti indipendenti. analisi del tipo di carico presente nella struttura, l introduione di alcune ipotesi sempliicative (uale, ad esempio, l ipotesi di trascurabilità della deormabilità per soro normale), la presena di eventuali simmetrie strutturali (e di carico), consentono spesso di ridurre il numero dei movimenti che la semplice osservaione del grado di vincolo individuerebbe come indipendenti. Nel caso in esame, ad esempio, l assena di carico in direione dell asse della trave permette di aermare l assena di soro normale lungo la travatura e la conseguente assena di reaioni vincolari in direione oriontale. a travatura, di conseguena, non si deorma in direione del suo asse, per cui lo spostamento w, a priori incognito, assume un valore nullo. Tale consideraione consente di aermare che tale struttura può essere studiata acendo ricorso ad un solo movimento indipendente, la rotaione ϕ della seione in. E da porre attenione al atto che la struttura può essere studiata sruttando tale osservaione, ma in generale non sarebbe necessario: se venisse risolta impostando il problema con due movimenti indipendenti, si ricaverebbe alla ine che w 0, a riprova dell assunione che, in uesto momento, viene atta a priori. e osservaioni precedenti ci consentono uindi di aermare che lo stato di deormaione/sollecitaione nella struttura sarebbe completamente noto una volta che osse stato determinato il valore di ϕ. E semplice rendersi conto della validità di tale aermaione osservando che, suddividendo la struttura nelle aste che la compongono e immaginando di conoscer il valore di ϕ, sarebbe possibile procedere all integraione della linea elastica delle singole aste. Il momento lettente riportato nelle igure rappresenta il valore (incognito) dell unica caratteristica di sollecitaione che i due tratti si scambiano attraverso la seione in. OZZ Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

3 eione n. 7 pag. VII.3 ϕ ϕ ( ) 0 ( ) 0 v 1 v 1 ( IV EJ v ) v 1 ( ) 0 v 1 ( ) φ( ) 1 φ OZZ ( IV EJ v ) 0 ( ) 0 ( ) φ( ) v v φ ( ) 0 ( ) 0 v v Nota: nella convenione adottata nella linea elastica, le rotaioni sono positive se antiorarie e due euaioni diereniali sono integrabili in uanto, in entrambi i casi, sono deinite 4 condiioni al contorno. Una volta ricavate le espressioni per le linee elastiche delle due travi v 1 () e v (), si può risalire ai diagrammi delle caratteristiche di sollecitaione mediante le usuali operaioni di derivaione. In particolare, il valore del momento lettente (incognito) potrà essere ricavato attraverso una delle due espressioni seguenti EJ v 1 EJ v ( ) ( 0) E uindi possibile impostare la soluione della struttura cercando di ricavare il valore della rotaione ϕ. E opportuno notare che la struttura (5 volte iperstatica) può uindi essere risolta impostando un problema con una sola incognita, aniché 5 (o tre, se si srutta la circostana che sulla trave non è presente soro normale) come sarebbe stato necessario utiliando il metodo della congruena. Fase I: struttura con movimenti indipendenti bloccati In una prima ase, si studia la struttura in cui vengano impediti tutti i movimenti assunti come indipendenti. Sruttando la deiniione di vincolo (che rappresenta un meccanismo atto ad impedire lo spostamento, nella direione eicace del vincolo, in una seione della struttura), si può supporre di impedire i movimenti indipendenti attraverso l introduione di un numero opportuno di vincoli in aggiunta a uelli già presenti nella struttura. Tali vincoli prendono il nome di vincoli ausiliari e servono soltanto ad evideniare il atto che alcuni movimenti, iniialmente consentiti alla struttura, vengono temporaneamente impediti. Tali vincoli sono tanti uanti sono i movimenti indipendenti del problema che si sta studiando. Il vincolo che, nel caso in esame, occorre inserire è un vincolo che impedisca la rotaione in. Tale vincolo si deinisce come morsetto e si rappresenta con un uadratino in corrispondena della seione della uale si vuole impedire la rotaione. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

4 eione n. 7 pag. VII.4 a presena di tale vincolo, alle luce delle precedenti osservaioni, introduce di atto un incastro nella seione in, che era già impedita di traslare sia oriontalmente che verticalmente. E uindi possibile arontare lo studio di tale struttura suddividendolo nei due casi riportati in igura, corrispondenti alle due aste e. V V a seconda trave è ovviamente scarica; nella prima occorre identiicare i valori delle reaioni vincolari, che il semplice utilio delle relaioni di euilibrio non permette di valutare in uanto siamo in presena di una struttura iperstatica. oncentrando l attenione sul solo tratto, è possibile comunue sruttare la simmetria della struttura e del carico per aermare che: - le due reaioni V e V sono uguali tra loro e, per euilibrio, valgono /; - le due reaioni e hanno la stessa intensità e sono opposte tra loro (come riportato in igura); il loro valore rappresenta, operando secondo il metodo della congruena, il valore dell incognita iperstatica, che verrà uindi indicato con X. i siamo uindi ricondotti, nell ottica del metodo della congruena, alla soluione della trave riportata in igura, che può, a sua volta, essere scomposta nei due casi rappresentati, nei uali si è riportata anche la deormata ualitativa. / ϕ () X / OZZ ϕ () / + a congruena con il sistema di partena richiede che ( ) + φ ( X) 0 φ φ X V X / ϕ (X) ϕ (X) Data la simmetria dei due sistemi, imporre un valore nullo della rotaione in comporta anche l annullamento della rotaione in. Il valore di ϕ (X) può essere direttamente ricavato in uanto si tratta di una trave appoggiata con carico simmetrico. ome già notato, le due reaioni vincolari V e V sono nulle, la trave è V X Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

5 eione n. 7 pag. VII.5 soggetta ad un momento lettente costante (e uindi si deormerà con curvatura costante, atteggiandosi uindi secondo un arco di cerchio), e la rotaione vale X X φ ( X) R EJ Il valore di ϕ () può invece essere calcolato acendo ancora ricorso al PV, utiliando come sistema di spostamenti e deormaioni (reale) il primo dei due sistemi, e come sistema di ore e sollecitaioni (virtuale) un sistema come uello riportato in igura. / ϕ () ϕ () / Sistema reale di spostamenti e deormaioni (S.S.D.) 1* V OZZ V Sistema virtuale di ore e sollecitaioni (S.F.S.*) Data la simmetria del problema è possibile anche operare in maniera diversa. E inatti possibile assumere come sistema virtuale di ore e sollecitaioni, data l arbitrarietà della scelta, un sistema analogo al secondo in cui si ponga X1: / ϕ () max /8 ϕ () / () *() 1 * Sistema reale di spostamenti e deormaioni (S.S.D.) 1* * 1* Sistema virtuale di ore e sollecitaioni (S.F.S.*) a valutaione del lavoro esterno ornisce in uesto caso: * 1 φ ( ) 1 φ( ) φ ( ) e + dove si è sruttata la simmetria (per cui i due valori delle rotaioni sono uguali tra loro). Il termine di lavoro interno assume invece il valore: * 1 i ( 1* ) d EJ 4 EJ 6 EJ 1 EJ 0 Uguagliando i due termini si ottiene: Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

6 eione n. 7 pag. VII.6 φ ( ) 3 4 EJ euaione di congruena ornisce uindi: 3 X 0 φ ( ) + φ ( X) + 0 X 4 EJ EJ 1 che rappresenta la soluione della travatura iperstatica (*). Ricapitolando, si ha uindi il risultato riportato in igura /1 / /1 /1 Data la simmetria del diagramma, si ha che il valore massimo del momento è in corrispondena della meeria della trave e vale () + 1 (*) /4 OZZ /1 / max a trave può essere risolta seguendo una via leggermente diversa, sempre nell ottica del metodo della congruena. Per simmetria, la rotaione del punto di meo della trave (H) deve essere nulla. Sruttando le relaioni già richiamate nel caso della trave inlessa si ha che dφ() () () () dφ() () k, k d EJ d EJ Per integraione si ottiene () () () ξ () ξ φ φ 0 + dξ dξ EJ EJ 0 0 in cui si è sruttato il atto che ϕ(0)0 (ossia che la rotaione in è nulla). euaione del momento lettente ornisce ξ X / H X ξ () ξ X + ξ / ottenendo ( ) () φ H φ ξ dξ 1 EJ EJ 0 da cui X- /1. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni / / + + ξ 1 3 X X ξ dξ... EJ OZZ SOGGETT REVISIONE

7 eione n. 7 pag. VII.7 Osservaione: è importante sottolineare che il diagramma del momento lettente è ottenuto dalla somma del diagramma della trave semplicemente appoggiata con carico uniorme (andamento parabolico con momento nullo alle estremità e momento massimo pari a /8 in meeria) e del diagramma della trave soggetta ad un momento lettente uniorme di intensità pari a /1. a loro somma è evidentemente ancora rappresentata da una parabola uguale a uella della trave sottoposta a carico uniorme, traslata verso l alto di una uantità pari a /1: risulta chiaro allora che la somma dei valori assoluti dei momenti di incastro e del momento in meeria debba ancora valere /8 min + max /1 /1 /4 /1 /1 max /8 + /1 /1 Una volta risolto il tratto, è possibile rappresentare la soluione della trave completa in uella che è stata deinita come ase I, ottenendo i risultati riportati in igura in termini di reaioni vincolari, diagrammi del taglio, diagramma del momento e deormata; tali diagrammi sono stati ricavati aiancando uelli del tratto con uelli del tratto (in uesto caso scarico). Il momento lettente disegnato in tratteggio in corrispondena del vincolo ausiliario in rappresenta la reaione che tale vincolo esercita per mantenere nulla la rotaione in, ed è oerto dalla somma delle reaioni vincolari in nei due tratti considerati. /1 OZZ / / /1 ase I: diagrammi inali /4 / /1 / /1 T /1 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

8 eione n. 7 pag. VII.8 Fase II: struttura con movimenti indipendenti consentiti ed aioni soltanto nei nodi a seconda ase nella soluione della struttura consiste nella rimoione dei vincoli ausiliari posti in ase I e nella determinaione dei valori eettivi dei movimenti indipendenti. obiettivo è uello di deinire una struttura che consenta, per somma con la ase I, di ritrovare la struttura di partena. In altre parole, occorre costruire una struttura per cui le due strutture in ase I e ase II orniscano, sommando gli eetti, la soluione della trave iniiale. on rierimento all esempio che stiamo studiando, è evidente che la ase II è rappresentata da una trave con gli stessi vincoli di uella di partena (uindi in cui sia consentita la rotaione ϕ ), gravata della reaione, cambiata di segno, del vincolo ausiliario posto in ase I. Tale operaione è inatti euivalente alla rimoione del morsetto in inserito in ase I. struttura di partena ase I ase II ϕ? ϕ? + OZZ /1 /1 Questo modo di operare presenta il vantaggio che, in ase II, le aioni applicate sulla struttura sono in corrispondena soltanto dei movimenti indipendenti, e sono ad essi correlative. osì acendo, è agevole risolvere la struttura in uesta ase acendo ricorso soltanto ai concetti di rigidea e di coeicienti di trasmissione. a struttura della ase II può inatti essere risolta suddividendola iniialmente nei singoli tratti e che la compongono, ricavando le aioni necessarie a ar ruotare della uantità (per il momento ancora incognita) ϕ : Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

9 eione n. 7 pag. VII.9 t R ϕ ϕ trave incastro-appoggio: rigidea alla rotaione in : K 4R coeiciente di trasmissione: t+1/ 4R ϕ 4R ϕ OZZ ϕ t R ϕ trave incastro-appoggio: rigidea alla rotaione in : K 4R coeiciente di trasmissione: t+1/ on il doppio indice per le rigidee ed i momenti si intende evideniare la seione alla uale tali grandee si rieriscono (primo indice) ed il tratto al uale sono relative (entrambi gli indici). d esempio, rappresenta il momento applicato in e relativo al tratto. Il valore della rotaione in può essere ricavato imponendo la condiioni di euilibrio tra i due tratti in cui la trave è stata suddivisa e la struttura in ase II. Occorre inatti che, per euilibrio, + 1 essendo /1 il valore del momento applicato in. Si ottiene uindi, sostituendo le relaioni che legano il valore del momento a uello delle rotaioni, 3 1 4R φ + 4R φ 8R φ φ 1 1 8R 1 96 R 96 EJ Il valore ricavato rappresenta il risultato cercato: l imposiione della condiione di euilibrio in ase II ha uindi consentito la determinaione del valore dell incognita del problema. uesto punto, sostituendo il valore ottenuto nelle relaioni precedenti, si ottiene la soluione della struttura in ase II R ( /96R) /48 4R ( 4R ( /96R) R ( /96R) /96R) /4 /48 /4 ϕ ϕ /96R /96R /48 /16 /4 /16 /16 /4 /48 /16 nalogamente a uanto atto in precedena, la soluione dell intera struttura in ase II si ottiene combinando i risultati dei singoli tratti, ottenendo i graici riportati in igura in termini di reaioni vincolari, diagrammi del taglio, diagramma del momento e deormata. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

10 eione n. 7 pag. VII.10 /48 ase II: diagrammi inali /1 /48 /16 /48 /16 /1 ϕ /96R /4 /4 OZZ /16 omposiione delle due asi a struttura è a uesto punto risolta. a combinaione ( somma ) della ase I con la ase II permette di ricavare ualunue grandea di interesse nella trave. Nella igura seguente sono riportati i diagrammi in termini reaioni vincolari, diagramma del taglio, diagramma del momento e deormata. Si noti che la discontinuità presente nel diagramma dei momenti in ase II in corrispondena di si annulla componendo le due asi, come del resto era logico attendersi osservando che, in assena di momenti lettenti applicati, il diagramma dei momenti deve essere continuo in. Inoltre, il valore della rotaione in assume esattamente il valore ricavato in ase II, essendo il valore di pari a ero nella ase I. In altre parole, la deormata della struttura segue, nel suo complesso e relativamente agli spostamenti dei nodi, i valori ricavati nella sola ase II. Nei singoli tratti è ovviamente possibile scrivere in orma estesa le euaioni del taglio e del momento lettente. titolo di esempio, nel tratto, scegliendo un ascissa con origine in, si può scrivere: 9 T(), 5 9 () Il valore massimo del momento nel tratto coincide con l ascissa di taglio nullo, e uindi: 9 9 T ( ) 0 max ( ) /48 T Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE

11 eione n. 7 pag. VII.11 5 /48 diagrammi inali /48 9/16 5 /48 9/16 /16 8/16 7/16 /4 OZZ ϕ /96R /16 /48 T Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruioni OZZ SOGGETT REVISIONE