Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche

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1 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche [Ultimarevisione: revisione:1 1febbraio febbraio009] In questa leione si prosegue lo studio delle travature reticolari, affrontando il caso delle travature iperstatiche, in cui il numero delle caratteristiche della sollecitaione interna supera il numero di equaioni di equilibrio, e quindi non e' piu' possibile calcolare le c.s.i. utiliando solo consideraioni di equilibrio. Occorrera' far ricorso, a somigliana di quanto accade nella teoria del solido di Cauchy, alle equaioni che legano spostamenti a deformaioni, alle equaioni costitutive, ed alla condiioni di compatibilita'. Il metodo di soluione proposto e' dovuto ad S.R. Patnaik [Patnaik] Le equaioni di base Si consideri una travatura reticolare ad m aste ed N nodi, vincolata esternamente attraverso r vincoli semplici, e si supponga che essa sia i volte iperstatica, esternamente e/o internamente. Cio' significa che le incognite del problema, ossia gli M sfori assiali e le R reaioni, sono in numero maggiore delle N equaioni di equilibrio negli N nodi. Se n denota il grado di liberta' cinematico della struttura, ossia il numero di possibili spostamenti nodali, n = N-R, allora e' immediato raealiare che il grado di iperstaticita' e' dato da i = M-n. Nel seguito si assumera' quale travatura di esempio la travatura di Figura 1, e per essa si scriveranno le equaioni a disposiione, per poi discutere della strategia per la loro possibile soluione. In questo caso, e' immediato realiare che si e' in presena di una struttura due volte iperstatica, una volta internamente ed una volta esternamente, essendo N = 4, M = 6, R = 4, n = 4. Si possono definire i seguenti vettori: - il vettore N degli sfori assiali nelle aste, di ordine M: N T = HN 1, N, N 3, N 4, N 5, N 6 L (1) - il vettore d dei gradi di liberta', di ordine n: d T = Hd 1, d, d 3, d 4 L = Hu x HL, u y HL, u x H3L, u y H3L L () il vettore R delle reaioni, di ordine R: R T = HR 1, R, R 3, R 4 L = HR x H1L, R y H1L, R x H4L, R y H4L L (3) - il vettore P dei carichi nodali, di ordine n: P T = H0, 0, 0, FL (4)

2 93 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche.nb F Figura 1 - Una travatura reticolare di esempio à Le equaioni di equilibrio Il primo gruppo di equaioni e' costituito dalle n equaioni di equilibrio in corrispondena dei nodi, sena considerare i gradi di liberta' soppressi dalle reaioni. Queste equaioni legano il vettore degli sfori assiali al vettore dei carichi nodali, e puo' scriversi matricialmente come: BN = P Si noti subito che per una travatura iperstatica la matrice B risulta rettangolare "sdraiata", con n righe ed M colonne. Nel caso in esempio, occorre equilibrare i due nodi e 3 rispetto alle traslaioni oriontali e verticali, ottenendo quattro equaioni in sei incognite: (5) N 1 N N 3 N N 4 N 6 N 3 N 6 = 0 = 0 = 0 = F e quindi la matrice B e' fornita da: (6)

3 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche.nb 94 i 1! y 0! B = ! k ! Si osservi che la quinta colonna e' nulla, segnalando che l'asta cinque e' vincolata agli estremi, e potrebbe anche essere eliminata dall'analisi. (7) 4 R 4 N 4 4 N 4 F 3 R 3 N 5 N N 6 N N 5 R N N N N 1 1 N 1 R Figura - Il diagramma per la scrittura delle equaioni di equilibrio à Le equaioni di congruena Le eqauioni di congruena, che legano gli allungamenti b delle singole aste agli spostamentui nodali d, sono del tutto analoghe a quelle illustrate per le travature isostatiche. Per ispeione diretta, oppure con cosideraioni energetiche, si giunge a scrivere: β = B T d avendo definito il vettore b di ordine M, che contiene gli allungamenti Dl delle singole aste. (8)

4 95 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche.nb à Le equaioni costitutive Per scrivere le equaioni costitutive, che legano gli sfori assiali N i ai corrispondenti allungamenti b i, si consideri che dovra' essere: N i = σ i A i dove A i e' l'area della seione retta dell'ima asta, mentre s i e' la tensione normale agente su di essa. Per la legge di Hooke si ha anche: N i = σ i A i = E i A i e i (9) (10) dove E i e' il modulo di Young del materiale di cui e' formata l'asta i-ma, ed e i e' la deformaione nell'asta. Poiche' infine e i = b i l i, ed l i e' la lunghea dell'asta i-ma, si ha infine: β i = N i l i E i A i Matricialmente, si potra' scrivere: (11) β = GN dove G e' una matrice diagonale di ordine M, contenente lungo la diagonale i coefficienti di flessibilita': (1) G = diag 9 l 1 E 1 A 1, l E A,, l M E M A M = (13) à Le condiioni di compatibilita' Analogamente alle condiioni di compatibilita' interna di De Saint-Venant, e' possibile scrivere anche in quest'ambito alcune condiioni cui gli allungamenti b i devono sottostare. Per ottenerle, basta eliminare dalle M equaioni (8), gli n spostamenti nodali, scrivendo i equaioni negli allungamenti b. Nel caso in esame si ha: β 1 β + β 3 + β 4 β 6 = 0 β 5 = 0 (14) Si noti che il comando Eliminate, in Mathematica, permette di calcolare automaticamente le condiioni di compatibilita'. Matricialmente, le (14) si scrivono: Cβ = 0 dove C e' una matrice rettangolare ad i righe ed M colonne. (15) Nota - Inserendo la (8) nella (15) si ottiene subito: CB T d =0 e quindi la matrice CB T deve annullarsi: CB T = BC T = 0 E' questa la relaione tra la matrice di equilibrio B e la matrice di compatibilita' C. (16) (17)

5 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche.nb 96 Il metodo integrale delle fore Secondo questo approccio, le equaioni di compatibilita' sono espresse in termini di sfori assiali, utiliando le equaioni costitutive: CGN = 0 (18) e poi le M equaioni nelle M incognite, costituite dalle equaioni di equilibrio e dalle (18) possono risolversi a calcolare gli sfori assiali. Si noti l'analogia formale con l'approccio di Beltrami per ottenere le equaioni dell'equilibrio elastico in termini di tensione. Si ha, in definitiva: SN = Q avendo definito la matrice quadrata S, di ordine M: S = J B 0 0 CG N ed il vettore esteso dei termini noti: (19) (0) Q = J P 0 N (1) Calcolati gli sfori assiali, e' possibile dedurre tensioni, deformaioni, allungamenti e spostamenti. Nel caso della travatura in esame, si ipotii di poter scrivere: i k β 1 β β 3 β 4 β 5 β 6 y = 1 E i k y i sicche' le condiioni di compatibilita' si scrivono, in termini di sfori assiali: N 1 N +N 3 +N 4 N 6 = 0 N 5 = 0 La matrice S e' quindi fornita da: i 1! y 0! S = ! ! k ed il sistema (0) si risolve a fornire gli sfori assiali: k N 1 N N 3 N 4 N 5 N 6 y () (3) (4)

6 97 Complementi 11 - Le travature reticolari iperstatiche.nb N T = H , 64.84, , , 0., L (5) Graf1 Notebook Mathematica