ADATTATORI di IMPEDENZA

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1 ADATTATORI di IMPEDENZA 1. Carta di Smith PREMESSA: per motivi che saranno chiari in seguito si ricorda che nel piano complesso, l equaione della generica circonferena di centro w 0 ( C ) e raggio R ( R) vale: (w w 0 ) (w w 0 ) R R w 0 w w - w 0 w - w 0 w + w 0 w 0 R w w - w 0 w - w 0 w R - w 0 w Considerata una linea di trasmissione, a partire dall impedena di ingresso sulla seione ( Z IN () ) e immediato definire l impedena normaliata sulla seione : n () r() + jx() ZIN Zc () 1+ ρ() 1 ρ() (1.1) E quindi evidente, da tale relaione, che ogni valore di impedena normaliata n corrisponde ad un valore di ρ e quindi ad un punto nel piano complesso {, }. In particolare si vuole studiare, in tale piano, il luogo geometrico dei punti corrispondenti ad impedene normaliate aventi r costante. A tal fine, omettendo la dipendena da per alleggerire la notaione, e utile riscrivere: n 1+ ρ 1- ρ r + jx 1 ρ 1 ρ 1- ρ ρ + ρ ρ 1- ρ 1- ρ ρ 1- ρ ρ ρ + 1- ρ (1.) dove si e sfruttata la relaione ( ) ρ ρ 1+ ρ R ρ 1 1+ ρ ρ ρ Il primo addendo della somma ottenuta nella (1.) e' un numero reale, il secondo e' invece puramente immaginario; quindi 1- ρ ρ r 1- ρ ρ ρ jx 1- ρ (1.3.a) (1.3.b) dalla (1.3.a) e allora possibile riscrivere (1-ρ ) (1-ρ) r 1-ρ ρ (1-ρ-ρ +ρ ρ) r 1-ρ ρ

2 (r +1) ρρ + r 1 - ρ r - ρ r 0 ρ ρ r ρ ρ r + 1 r + 1 r 1 + r + 1 r 0 (1.4) Confrontando tale equaione con l equaione della circonferena nel piano complesso (vedi premessa) e immediato verificare che la (1.4) rappresenta una circonferena di centro w 0 r / (r +1) e raggio R 1 / (r +1). In sostana, nel piano complesso {, }le impedene normaliate n aventi r costante sono rappresentate r 1 da circonferene di centro nel punto, 0 e raggio R r + 1 r + 1 r 0 ( reattane pure ) r 1 Tutte le impedena (normaliate) passive r ( r > 0 ) sono contenute nella cfr r 0. Per ottenere invece il luogo geometrico dei punti del piano complesso corrispondenti ad impedene normaliate aventi x costante, e sufficiente procedere in maniera analoga a partire dalla (1.3.b) jx (1-ρ) (1-ρ ) ρ - ρ jx (ρρ ρ - ρ ) ρ - ρ jx ρρ - jx ρ - jx ρ + jx ρ - ρ jx ρρ - (1+jx) ρ + (1-jx) ρ + jx jx jx 1 ρ ρ ρ ρ jx jx (1.5) che rappresenta l equaione di una circonferena di centro w 0 (jx 1) / jx 1 + j / x R 1 / x. Quindi, e raggio

3 nel piano complesso {, }le impedene normaliate n aventi x costante sono rappresentate 1 1 da circonferene di centro nel punto 1, e raggio R x x x 1 Reattane Positive ( x > 0 ) x ± x 0 x -1 Reattane negative ( x < 0 ) Riportando in un unico grafico le circonferene a r costante e quelle a x costante, per vari valori di r e x, si ottiene la cosiddetta carta di Smith per le impedene, usualmente limitata alla parte interna della circonferena r 0. x 1 r 0 r 1 x 0 r x ± x -1 3

4 Carta di Smith per le impedene 4

5 OSSERVAZIONI: Il punto ρ 1 e individuato dall interseione fra la circonferena r e quella x ; viene pertanto indicato come punto di circuito aperto. Analogamente il punto ρ -1 e individuato dall interseione fra la circonferena r 0 e quella x 0 ; viene pertanto indicato come punto di corto circuito. Ricordando che in assena di perdite ρ () ρ e jβ e immediato osservare che se dalla seione 1 ci si sposta verso il carico fino alla seione 1 + Δ, allora ρ ( ) ρ e jβ ρ e jβ(1 +Δ) ρ e jβ1 e jβδ ρ( ) jβδ 1 e essendo Δ > 0, la moltiplicaione per il termine e jβδ equivale nel piano complesso ad una rotaione in senso antiorario di un angolo θ β Δ 4π Δ / λ. Analogamente e immediato verificare che ad uno spostamento di Δ lungo la linea verso la sorgente corrisponde nel piano complesso ad una rotaione in senso orario di un angolo θ β Δ 4π Δ / λ. Riassumendo, 4π Spostamento di Δ verso il carico rotaione antioraria di θ Δ λ 4π Spostamento di Δ verso la sorgente rotaione oraria di θ Δ λ Sena alcuna difficolta e possibile definire ed osservare che Ammettena normaliata sulla seione : y () g() + jb() n n 1 () yn 1 1 ρ 1+ ρ 1+ ρ 1 ρ yn ( ρ) ( ρ) (1.6) n Tale risultato permette di affermare che la carta di Smith per le ammettene si ottiene per simmetria rispetto all origine da quella per le impedene. 5

6 b-1 g1 g0 b b0 g b+1. Adattatori di impedena Una linea di trasmissione serve, come è stato ampiamente argomentato, per portare un segnale, e quindi potena, dalla sorgente di campo all iniio della linea al carico (rappresentato dall impedena di carico Z ), mediante la propagaione di onde elettromagnetiche lungo l asse della struttura. Il fenomeno della riflessione al carico è pertanto usualmente indesiderato, poiché la potena riflessa, non essendo assorbita dal carico, è stata evidentemente spesa inutilmente dalla sorgente; in quest ottica risulta quindi di fondamentale importana la condiione di adattamento in uniformità che assicura che il carico assorba tutta la potena ricevuta (sena cioè alcuno spreco ). E stato tuttavia dimostrato che condiione necessaria e sufficiente perché la linea sia adattata (in uniformità) è che l impedena di carico coincida con l impedena caratteristica della linea, cioè Z Z C. Tale importante condiione non risulta però automaticamente verificata poiché ogni possibile carico è caratteriato da una diversa impedena Z e non è ovviamente pensabile di realiare una linea di trasmissione ad hoc (cioè con l adeguato valore di Z C ) per ogni possibile valore di Z. Quando Z Z C è comunque possibile ottenere la condiione di adattamento utiliando un opportuno adattatore di impedena. Con tale termine si indica un quadripolo passivo (tipicamente sena perdite) tale che, collegati i morsetti di uscita con un carico di impedena Z, l impedena sui morsetti di ingresso assuma un prefissato valore. Si tratta cioè di un Z IN assegnata ADATTATORE Z Trasformatore di impedena 6

7 Dato allora un carico Z collegato alla sorgente per meo di una linea di trasmissione di impedena caratteristica Z C ( Z ), per ottenere adattamento in uniformità occorre interporre fra linea e carico un opportuno adattatore di impedena tale che dai suoi morsetti di ingresso si veda una impedena uguale a Z C. Z C Z NO ADATTAMENTO Z C Z IN Z C ADATTATORE Z ADATTAMENTO.1 Adattatore a quarto d onda (a λ/4) Abbiamo già visto che un tronco di linea privo di perdite di lunghea λ/4 chiuso su di un carico generico Z si comporta da invertitore di impedena, cioè presenta una impedena ai morsetti di ingresso λ R Z IN Z IN 4 Z C Tornando al problema dell adattamento, è allora immediato osservare che se il carico è puramente resistivo (Z R ) e se la linea di trasmissione è priva di perdite (Z C R C ), è possibile ottenere adattamento in uniformità interponendo fra linea e carico un elemento di linea di lunghea λ/4 e privo di perdite realiato in maniera tale che la sua resistena caratteristica R C a soddisfi alla seguente relaione: λ R C Z IN 4 R R R a a a ( R ) C C a Ca (.1) λ/4 R C Z IN Z C R C a Z Tale elemento di linea di lunghea λ/4 interposto fra linea e carico è perciò detto adattatore a λ/4. 7

8 Si osservi tuttavia che se il carico non è puramente resistivo oppure la linea di trasmissione ha perdite non nulle, allora la condiione di adattamento non è più perseguibile utiliando solo un semplice adattatore a quarto d onda. In tal caso, infatti, dalla (.1) si ottiene che (R C a ) dovrebbe uguagliare un numero complesso, il che è impossibile essendo l adattatore per ipotesi privo di perdite. Nel caso in cui il carico non fosse puramente resistivo e la linea di trasmissione non fosse priva di perdite, allora l adattamento sarebbe possibile solo per quei particolari valori complessi di Z C e Z per cui Z C Z R. Si può concludere pertanto che l adattatore a λ/4 è un adattatore completo solo per carichi resistivi e linee prive di perdite. OSSERVAZIONE: se il carico non è puramente resistivo, è tuttavia possibile ottenere adattamento in uniformità utiliando un adattatore a λ/4, a patto di adottare alcuni accorgimenti: A volte è possibile aggiungere in serie al carico una pura reattana Z -jx, in modo da ottenere complessivamente un bipolo puramente resistivo, e poter procedere quindi all adattamento mediante l adattatore a λ/4; Ricordando che ad uno spostamento verso la sorgente (allontanandosi, quindi, dal carico) corrisponde sulla carta di Smith una opportuna rotaione oraria, si può certamente pensare di anteporre al carico un tratto di linea avente lunghea tale da corrispondere, sulla carta di Smith, ad una rotaione che porti il vettore ρ sull asse reale. Z Z IN R IN Z θ β Poiché a valore reale di ρ corrisponde valore reale dell impedena normaliata, ne segue che l impedena ai morsetti di ingresso dell elemento di linea introdotto a monte del carico risulta essere reale, e quindi puramente resistiva. E allora possibile procedere all adattamento mediante adattatore a quarto d onda. λ/4 R C Z R C R 8

9 . Adattatore a stub E costituito da un elemento di linea di lunghea, privo di perdite e di impedena caratteristica R C al quale e connesso in parallelo, sulla seione di ingresso, uno stub (cioe un tronco di linea) di lunghea ' privo di perdite ed uguale impedena caratteristica R C. o stub puo essere indifferentemente aperto o cortocircuitato. APERTO o C.CIRCUITATO ' R C ADATTATORE A R C Una linea adattata per meo di un adattatore a stub si schematia quindi come segue: A R C R C Z B R C ' Da un punto di vista circuitale, dai morsetti di uscita della linea (seione A-B) si vede il parallelo di due ammettene, una relativa allo stub (Y ), l altra relativa all elemento di linea chiuso sul carico (Y 1 ); risulta cioe : A Y Y 1 Y ( ',,Y ) Y ( ' ) + Y (, Y ) AB 1 B Per ottenere adattamento occorre quindi dimensionare l adattatore (scegliere cioe i valori di e di ' ) in modo da ottenere Y AB Y C. Per far questo e indispensabile fare riferimento alla carta di Smith per le ammettene. 9

10 Assegnato il carico normaliato y n (0) Y /Y C e possibile individuare il corrispondente punto sulla carta di Smith per le ammettene. Il valore da assegnare a e quello corrispondente alla rotaione (ovviamente oraria) che porta il vettore associato all ammettena normaliata sulla circonferena g 1. P g 1 θ P 1 b Misurato cioe l angolo θ, il valore di viene cioe determinato dalla relaione: θ β 4π λ λ θ 4π (.) In virtu di tale scelta l ammettena normaliata y 1 ha certamente conduttana uguale a 1 (proprio perche il vettore associato giace sulla circonferena g1), cioe y j b dove il valore di b deve essere ricavato sulla carta di Smith dalla circonferena a suscettana costante passante per P 1 (b > 0). Tale suscettana deve essere allora annullata dallo stub, perche sia y AB 1, che rappresenta la condiione di adattamento in termini di ammettena normaliata. Poiche lo stub per definiione e aperto o cortocircuitato, l ammettena ai morsetti di ingresso e una pura suscettana, cioe: y ( ' ) y ( ' ) j tg( β ' ) n se aperto y ( ' ) y ( ' ) j cot g( β ' ) se cortocircuitato n Risulta pertanto y y + y 1+ jb + jb AB 1 10

11 che ritorna valore 1 solo se b -b. a condiione per determinare il valore di ' e quindi tg ( β ' ) b (se aperto) cotg ( β ' ) b (se cortocircuitato) OSSERVAZIONE: Si e detto che il valore di viene determinato ruotando il vettore associato all ammettena di carico normaliata fino a portarlo sulla circonferena g 1. E evidente che esistono sempre due distinte possibilita per ottenere tale risultato, indicate con P 1 e P sulla figura precedente. Tali situaioni sono entrambe corrette e alternative. Cambiando l angolo di rotaione, cambia ovviamente il valore di ; poiche varia anche il valore di b (da positivo a negativo, o viceversa), cambia di conseguena anche il valore di '. 11