Rappresentazione matriciale di Doppi Bipoli

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1 Rappresentazione matriciale di Doppi Bipoli

2 Caratterizzazione matriciale di reti multi-porta V I I 1 V Circuito a -porte 2 I 2 3 V 2 V 3 v v V v v 2 3. I i1 i 2 i 3. i I 5 V I 3 I 4 V 4 Se la rete è lineare vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti, quindi il vettore I può essere espresso in funzione di V (e viceversa): V=ZI Z = Matrice di Impedenza I=YV Y = Matrice di Ammettenza

3 Definizione degli elementi di Z v z i z i z i... z i 1 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1, v z i z i z i... z i 2 2,1 1 2,2 2 2,3 3 2,... v z i z i z i... z i,1 1, 2 2,3 3, z i,i = Impedenza alla porta i con le altre in circuito aperto z i,j = Rapporto tra la tensione alla porta i e la corrente impressa alla porta j con tutte le porte in circuito aperto esclusa la j.

4 Definizione degli elementi di Y i y v y v y v... y v 1 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1, i y v y v y v... v v 2 2,1 1 2,2 2 2,3 3 2,... i y v y v y v... y v,1 1, 2 2,3 3, y i,i = Ammettenza alla porta i con le altre in corto circuito y i,j = Rapporto tra la corrente alla porta i e la tensione impressa alla porta j con tutte le porte in corto circuito esclusa la j.

5 Proprietà di Z e Y 1. Reciprocità: eccitazione ed effetto si possono scambiare. Si verifica quando: z i,j =z j,i (y i,j =y j,i )

6 Proprietà di Z e Y 2. Passività: la rete ad porte non contiene generatori (la potenza può solo essere dissipata all interno). Se la rete è passiva la matrice Q=Z+Z* (=Y+Y*) risulta definita positiva: Determinante, autovalori e diagonale principale di Q sono reali e positivi

7 Proprietà di Z e Y 3. Assenza di perdite: se la rete non presenta dissipazioni al suo interno Q=0, quindi z i,j =(z j,i )*. Se la rete è anche reciproca si ha quindi che tutti gli elementi di Z devono essere immaginari. Se la reciprocità non è verificata, la diagonale principale è immaginaria mentre per gli altri elementi si ha: r i,j =-r j,i, x i,j =x j,i (z i,j =r i,j +jx i,j ). Lo stesso vale per gli elementi di Y.

8 Rete a 2 porte In assenza di perdite, tutti gli elementi di Z e Y sono immaginari. Inoltre, se la rete è reciproca, z 12 =z 21, y 21 =y 12 Rappresentazione equivalente: z A z B z C z 11 =z A +z C, z 22 =z B +z C, z 12 =z 21 =z C z A =z 11 -z 12, z B =z 22 -z 12, z C =z 12, y C y 11 =y A +y C, y 22 =y B +y C, y 12 =y 21 =-y C y A y B y A =y 11 +y 12, y B =y 22 +y 12, y C =-y 12,

9 Circuiti a microonde 1 Circuito a microonde 2 3 Sezioni di riferimento (Bocche) 5 4 Un circuito a microonde è costituito dall interconnessione di elementi distribuiti e concentrati; l interazione con il mondo esterno avviene tramite linee di trasmissione (bocche), ad una sezione di riferimento specificata

10 Inadeguatezza delle matrici Z e Y Per misurare le matrici Z e Y bisogna connettere alle bocche dei circuiti aperti ideali (o corto circuiti) non facilmente approssimabili a frequenze elevate Se la misura è relativa a dispositivi attivi, il collegamento in ingresso o in uscita di un corto circuito o di un circuito aperto è in generale non consentito (potrebbe distruggere il dispositivo) Le matrici dipendono dalle sezioni di riferimento in modo complicato (non è facile muovere le sezioni e ricalcolare le nuove matrici) Le matrici Z e Y dipendono da tensioni e correnti. A frequenze elevate è meglio fare riferimento a onde normalizzate (V e I non sempre sono univocamente definite)

11 Definizione delle onde di potenza a i b i Impedenza Di riferim Zc Bocca i-esima Circuito (1/2) a i 2 : Onda di potenza incidente = Potenza disponibile da un generatore con impedenza interna pari a Zc (1/2) b i 2 : Onda di potenza riflessa = Differenza tra la potenza disponibile e quella assorbita dalla bocca

12 Relazione tra le onde di potenza e Ie tensioni e correnti convenzionali V g,i Z c,i a i I i V i Circuito 1 ai 2 1 bi Potenza disponibile dalla sorgente Potenza riflessa all'ingresso b i a i a i V Z I V Z I, b 2 Re 2 Re * i c, i i i c, i i i Zci, Zci, I Y V, b I Y V 2 Re 2 Re * i c, i i i c, i i i Yci, Yci, Y ci, 1 Z ci, 2 2 * 1 1 a b Re V I P 2 2 i i i i I, i

13 Parametri di Scatter Z c,5... Z c, Z c,4 Circuito a microonde Z c,1 Z c,3 Z c,2 Per un circuito a microonde composto da elementi lineari si può scrivere la seguente relazione: b s a s a... s a b s a s a... s a b s a s a... s a In forma matriciale: b S a S s s s1 s 11 1

14 Significato dei parametri S s ii bi a i a ki 0 Coefficiente di riflessione alla bocca i esima con le altre bocche adattate (chiuse sulle loro impedenze di riferimento) s ij bi a j a k j 0 Coefficiente di trasmissione dalla bocca j esima alla i esima con le altre bocche adattate (chiuse sulle loro impedenze di riferimento). Si noti che s ij 2 rappresenta il guadagno trasduttivo di potenza tra le due bocche

15 Proprietà della matrice S Per una rete reciproca S è simmetrica (s ij =s ji ) * Per una rete priva di perdite S è unitaria ( ) Spostando le sezioni di riferimento alle bocche di una distanza d i si ottiene una nuva matrice S data da S Φ S Φ, con matrice diagonale i cui elementi sono costituiti da exp(jd i ) Dalla matrice S, definita rispetto alle impedenza Z c,i, si può ottenere la matrice S rispetto a differenti impedenze Z c,i mediante le seguenti formule: S A SΓ U Γ S A 1 * 1 * con Γ e A matrici diagonali date da: S S U * 1 1 * 2, diag A, ii Aii ii ii ii Γ Z Z Z Z A Z diag Z ci,, Z diag Z ' ci, 12

16 Legame tra S e Z * ai, bi a R vfi b R vf i 1 R diag 2 ReZ ci,, F diag Z ci, v Zi (Z matrice di impedenza) * * b Sa R vf i SR vfi R ZF SR ZF Formule analoghe si ricavano per la matrice Y: * 1 1 1, 1 * SR ZF ZF R Z R U-S SFF R * 1 1 1, 1 * SG H Y HY G Y G US H SH G 1 G diag, H diag Yci, 2 ReY ci,

17 Caso particolare: Z c,i reale Quando Z c,i (Y c,i ) è reale le onde di potenza coincidono con le onde di tensione (o corrente) normalizzate che si propagano sulle linee di trasmissione. Il legame della matrice di scatter S con le matrici Z e Y in questo caso si semplifica come segue: 1 1, S Z U Z U Z U-S SU 1 1, S UY UY Y US US Dove Z e Y sono definite come segue: Z z y i, j i, j, Y Zci, Zc, j Yci, Yc, j