L analisi nel regime permanente

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1 L analisi nel regime permanente

2 Definizione ed obiettivi Finalità: conoscere le tensioni in modulo e fase in tutti i nodi della rete, a fronte di una assegnata distribuzione dei carichi e delle potenze generate. Note le tensioni, è possibile: conoscere le correnti nelle linee e nei trasformatori e quindi la distribuzione dei flussi di potenza attiva e reattiva in tutta la rete accertare se i valori delle grandezze elettriche che caratterizzano il funzionamento dei componenti del sistema siano compresi nelle tolleranze ammissibili. Esercizio (operation), Programmazione a medio termine (operationplanning), Pianificazione del sistema elettrico (planning). 2

3 Ipotesi alla base dello studio La rete elettrica in regime permanente può considerarsi elettricamente e materialmente simmetrica poiché: i generatori sincroni, caratterizzati da simmetria costruttiva, forniscono terne sinusoidali simmetriche, di sequenza diretta; i trasformatori trifase, costituiti da un banco di tre trasformatori monofasi identici o da trasformatori trifase con nucleo magnetico simmetrico, sono simmetrici. Gli altri trasformatori trifasi possono con buona approssimazione considerarsi simmetrici; i banchi trifase di condensatori sono costituiti da tre banchi monofase identici. i banchi trifase di induttanze, se non costituiti da banchi monofase identici, possono, come i trasformatori, considerarsi simmetrici; le linee elettriche, se non perfettamente simmetriche, possono considerarsi simmetrizzate per effetto della trasposizione dei conduttori di linea; i carichi possono, nel complesso, considerarsi equilibrati avendo cura, l ente distributore, di ripartire adeguatamente i carichi monofase. 3

4 Circuiti equivalenti CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE CIRCUITO EQUIVALENTE DELL AUTOTRASFORMATORE 4

5 Circuiti equivalenti CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA LINEA A PI-GRECO C.E IN FUNZIONE DELLE COSTANTI DEL QUADRIPOLO LINEA RIDOTTA A QUADRIPOLO EQUIVALENTE LINEA RIDOTTA A QUADRIPOLO NOMINALE K COSTANTE DI PROPAGAZIONE DELLA LINEA l LUNGHEZZA DELLA LINEA Z π =Z l Y π =Y l (IMPEDENZA LONGITUDINALE COMPLESSIVA DELLA LINEA) (AMMETTENZA TRASVERSALE COMPLESSIVA DELLA LINEA) 5

6 Schema elettrico equivalente Tensioni di nodo tensione di nodo e i è la d.d.p. al nodo i-esimo, fra il morsetto di fase ed il neutro, positiva con freccia entrante nel morsetto di fase. Correnti di nodo corrente di nodo I è la corrente erogata dal generatore o assorbita dal carico, connesso al nodo i-esimo, positiva se entrante nel morsetto di fase. un nodo in cui convergono generatori e carichi, presenta corrente di nodo pari alla somma algebrica delle corrispondenti correnti. un nodo di interconnessione presenta sempre corrente di nodo nulla. Correnti di ramo corrente di ramo è la corrente che fluisce in un qualsiasi ramo della rete connesso ai nodi stessi (correnti delle linee, dei trasformatori, delle reattanze, dei banchi dei condensatori), positiva se convergente al morsetto di fase. 6

7 Ipotesi alla base dello studio Regime permanente sinusoidale di sola sequenza positiva alla frequenza nominale; Tensioni e correnti simmetriche ed equilibrate; Per ciascun componente: circuito equivalente alla sequenza diretta; Trasformazione ai valori relativi: rete di potenza rappresentata attraverso il corrispondente circuito equivalente alla sequenza diretta, ottenuto collegando tra loro in maniera opportuna i circuiti equivalenti dei singoli componenti; alla rete reale costituita da n sbarre corrisponde un circuito equivalente alla sequenza diretta costituito da n+1 nodi, essendo, per convenzione, il nodo n+1 la terra o punto neutro (reale o fittizio ed a potenziale zero) del sistema trifase di partenza. 7

8 Ipotesi alla base dello studio G1 1 T1 2 3 T2 4 L1 G

9 Ipotesi alla base dello studio J bj y bj V bj J S bj 5 Fig. 1.1.c 9

10 Studio dei flussi di potenza Lo studio dei flussi di potenza consiste nella determinazione: delle potenze e delle correnti che fluiscono attraverso tutti i componenti della rete; delle potenze e delle tensioni di nodo non assegnate. Le condizioni di funzionamento a regime sono completamente definite quando sono note tutte le tensioni e le correnti complesse di nodo. Per ciascun nodo, la relazione complessa esprimente la tensione, o la corrente, di nodo equivale a due relazioni reali. 10

11 Metodologia di analisi Metodo delle ammettenze nodali: semplicità di costruzione automatica della matrice delle ammettenze nodali; possibilità di portare facilmente in conto modifiche di struttura della rete; semplicità di integrazione dei modelli dei componenti della rete nella matrice delle ammettenze nodali; corrispondenza diretta tra le grandezze elettriche che caratterizzano il funzionamento della rete reale (tensioni di fase e correnti iniettate o assorbite ad una sbarra) e quelle corrispondenti nella rete equivalente (tensioni e correnti nodali) 11

12 Applicazione metodo delle ammettenze nodali 12

13 Equazioni ai nodi Si applica il 1 principio di Kirchhoff agli n nodi (escluso quello di terra) e si esprimono le correnti dei rami convergenti nel nodo come prodotto delle ammettenze di ramo per le d.d.p. ai loro capi (differenza di tensione nodali): I1 = E1y10 + ( E1 E2) y12 + ( E1 E4) y14 I2 = ( E2 E1) y12 + ( E2 E3) y23 + ( E2 E4) y24 I3 = E3 y30 + ( E3 E2) y23 + ( E3 E4) y34 I = E y + ( E E ) y + ( E E ) y + ( E E ) y riordinando: I1 = E1( y10 + y12 + y14) E2y12 E4y14 I2 = E1y12 + E2( y12 + y23 + y24) E3y23 E4 y24 I3 = E2y23 + E3( y30 + y23 + y43) E4y43 I4 = E1y14 E2y24 E3 y43 + E4( y40 + y14 + y43 + y24) 13 13

14 Equazioni ai nodi Indicando con E s il coefficiente della tensione nell equazione r-esima (r,s=1..4): I = Y E + Y E + Y E + Y E I = Y E + Y E + Y E + Y E I = Y E + Y E + Y E + Y E I = Y E + Y E + Y E + Y E Per una rete ad n nodi diventa: I1 = Y11E1+ Y12E2 + + Y1nEn I2 = Y 21E1+ Y 22E2 + + Y 2nEn I3 = Y 31E1+ Y 32E2 + + Y 3nEn I4 = Y 41E1+ Y 42E2 + + Y 4nEn dove i coefficienti Y rs hanno le dimensioni di una ammettenza. 14

15 Significato fisico dei coefficienti Yij IN FORMA COMPATTA: IN FORMA MATRICIALE: IN FORMA MATRICIALE COMPATTA: n I = Y E, j = 1, 2,, n j ji i i = 1 I Y Y Y E n 1 I Y Y Y E = * n 2 I Y Y Y E n n1 n1 nn n I = Y * E Tali equazioni, dette equazioni ai nodi o alle ammettenze, definiscono le 2n grandezze elettriche della rete (n tensioni + n correnti), delle quali n possono fissarsi arbitrariamente, rimanendo le altre univocamente determinate, dal precedente sistema lineare di n equazioni in n incognite. 15

16 Significato fisico dei coefficienti Yij AUTOAMMETTENZA se tutte le tensioni impresse ai nodi sono nulle, salvo E 1, dalla prima equazione si ricava: da cui: ( ) I Y E E E E n 1 = = 3 = = = 0 Y 11 I1 = E 1 = = = = 0 E2 E3 En la Y 11 è l ammettenza della rete vista dal nodo 1 quando tutti gli altri nodi sono in cortocircuito, chiamata autoammettenza, coincide, numericamente con la corrente da imprimere al nodo 1 affinché la sua tensione nodale diventi unitaria. In modo analogo si definiscono le altre Y ii. 16

17 Significato fisico dei coefficienti Yij MUTUA AMMETTENZA Se tutti i nodi della rete, eccetto il nodo 2, sono cortocircuitati a massa, la prima delle (1) diventa: da cui: ( ) I Y E E E En 1 = = 3 = = = 0 Y 12 I = 1 E 2 = = = = 0 E1 E 3 E n La Y i2 è chiamata mutua ammettenza e coincide, numericamente, con la corrente da imprimere al nodo 1 affinché la tensione al nodo 2 diventi unitaria. In modo analogo si definiscono le altre Y ij. 17

18 Significato fisico dei coefficienti Yij MATRICE DELLE AMMETTENZE DI UNA RETE RIDOTTA A QUADRIPOLO Se la rete viene ridotta al quadripolo equivalente lineare passivo di figura: La matrice alle ammettenze, del secondo ordine, ha i seguenti coefficienti: Y pp = y po + y pa Y = Y = y Y aa = yao + y pa pa ap pa 18

19 Calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze DEFINIZIONE. Due nodi si dicono adiacenti se collegati da una ammettenza finita (linea, trasformatore, ecc.). Con riferimento allo stralcio di rete di figura, si deducono la regola generali per il calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze. 19

20 Calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze L AUTOAMMETTENZA di un nodo è pari alla somma di tutte le ammettenze che confluiscono nel nodo a i Y y y = + ii i0 is s= 1 20

21 Calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze MUTUA AMMETTENZA Tra due nodi non adiacenti r e k La mutua ammettenza tra due nodi non adiacenti è nulla poiché essendo cortocircuitati tutti i nodi della rete tranne k, la corrente Ir è nulla essendo nulle tutte le correnti confluenti nel nodo r. 21

22 Calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze MUTUA AMMETTENZA 1/2 fra due nodi adiacenti si calcola dallo schema di figura, dove sono stati cortocircuitati al neutro tutti i nodi della rete tranne il nodo

23 Calcolo dei coefficienti della matrice delle ammettenze MUTUA AMMETTENZA 2/2 Si ricava I = y E I1 = Y12E2 Y = y Y ij = Y ji = yij la mutua ammettenza fra due nodi adiacenti è pari all ammettenza che collega i due nodi stessi, cambiata di segno. La matrice delle ammettenze è una matrice simmetrica 23

24 Calcolo dei flussi di potenza In una rete ad n nodi (escluso il nodo di neutro), le n tensioni e le n correnti nodali sono legate da n equazioni (alle ammettenze o alle impedenze) costituenti le condizioni di vincolo interno. Possono quindi fissarsi arbitrariamente, fra tensioni e correnti, n grandezze complesse dette variabili di stato, imponendo in tal modo le condizioni di vincolo esterno. La soluzione del relativo sistema di equazioni lineari fornisce i valori delle restanti n grandezze elettriche incognite. 24

25 Calcolo dei flussi di potenza Note le tensioni e correnti di nodo, si ricavano tutte le altre grandezze elettriche interessanti i nodi ed i rami della rete (potenze attive e reattive immesse o prelevate dai nodi, potenze e correnti nei rami della rete, perdite di potenza attiva e consumo (o generazione di potenza reattiva). Nella realtà le condizioni di esercizio imposte alle reti, si esprimono fissando numerose potenze attive e reattive ai nodi, con la conseguente perdita di linearità del relativo sistema di equazioni. Ricordando che una relazione complessa equivale a 2n relazioni reali (riguardanti la parte reale ed immaginaria o il modulo e l argomento della relazione) ne consegue che delle 4n grandezze reali incognite, 2n possono fissarsi arbitrariamente, restando le residue 2n grandezze univocamente determinate. 25

26 Definizione del problema di load flow NODI DI CARICO vengono fissate: la potenza attiva P c e la potenza reattiva Q c, grandezze poco influenzate dalla tensione di nodi della rete AT, per effetto della regolazione della tensione. NODI DI GENERAZIONE vengono fissate: la potenza attiva P g immessa in rete, in base al valore di potenza che ciascuna centrale è chiamata ad erogare secondo il piano di ripartizione del carico globale della rete. 26

27 Nodi di generazione Il valore efficace della tensione nodale Eg, variabile fra Vn e 1.1 Vn, in relazione all ubicazione della centrale nella rete ed alla distanza dai carichi. I nodi di generazione svolgono in tal modo la funzione di caposaldi, sparsi, che impongono alla rete il livello di tensione. Non conviene fissare il valore della potenza reattiva poiché la regolazione dell eccitazione dei generatori (sottoeccitazionesovraeccitazione) copre un range di variazione della potenza reattiva abbastanza ampio da contenere, solitamente, il valore di potenza reattiva ottenuto dal calcolo. 27

28 Nodo di riferimento Vengono fissati: il valore efficace della tensione En e la sua fase il nodo di riferimento sarà pertanto, un importante nodo di generazione. ϑ : ϑ = 0 n n La tabella che segue riassume le grandezze imposte e da calcolare per i differenti tipi di nodo. 28

29 Calcolo dei flussi di potenza 1/4 Operando con i numeri complessi in forma polare, indicati gli argomenti della corrente, della tensione e dei coefficienti di ammettenza con: ϕ, ϑ, γ Si ha: k k ik I = I e E = E e Y = Y e jϕ jϑ jγ k k k k ik ik k k ik Denotando con * le grandezze complesse coniugate, la potenza complessa al nodo k diventa: * j ( ϑk ϕk ) k = k+ k= k k = k k = k k k k + k k k k N P jq E I E I e E I cos( ϑ ϕ ) je I sin( ϑ ϕ ) 29

30 Calcolo dei flussi di potenza 2/4 Imponendo al generico nodo k, la potenza attiva e reattiva e la tensione P k0, Q k0, E k0. Le condizioni di esercizio diventano: P = EI cos( ϑ ϕ ) = P k k k k k k0 Q = EI sin( ϑ ϕ ) = Q E k k k k k k0 k = E k0 Esprimendo le correnti di nodo in funzione delle tensioni nodali e dei coefficienti di ammettenza: n j k j( ki i ) Ik = Ike = YkiEie γ ϑ k = n i = 1 ( 1,..., ) 30

31 Calcolo dei flussi di potenza 3/4 Sostituendo al corrente nelle espressioni della potenza complessa al nodo k si ottiene: n * * * k k k k k k i ki i = 1 N = P + jq = E I = E E Y = n j ( ϑk ϑi γki ) EEYe k i ki k= n i = 1 ( 1,..., ) Le precedenti, tenuto conto che per il nodo di saldo sono note le coordinate polari della tensione, sono complessivamente 2(n-1) equazioni in altrettante incognite: i valori efficaci e le fasi delle tensioni nodali E, ϑ i = 1,..., n 1 ( ) i i 31

32 Calcolo dei flussi di potenza 4/4 N P = E EY cos( ϑ ϑ γ ) = P n Q = E EY sin( ϑ ϑ γ ) = Q Ek = Ek0 k k i ki k i ki k0 i = 1 k k i ki k i ki k0 i =

33 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Siano assegnate n equazioni non lineari nella forma: f ( x, x,..., xn) = y f ( x, x,..., xn) = y... f ( x1, x2,..., x ) = y n n n Si attribuisca alla n-pla di incognite un valore arbitrario: x, x,..., xn (0) (0) (0)

34 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Sostituendo nel sistema di equazioni: f ( x, x,..., xn ) = y f ( x, x,..., xn ) = y... f ( x1, x2,..., x ) = y (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) n n n si ottengono dei termini noti diversi dai valori iniziali: y1, y2,..., yn 34

35 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Questi valori iniziali del termine noto si ottengono sommando algebricamente a: x, x,..., xn (0) (0) (0) 1 2 opportune correzioni da determinare: Δx1, Δx2,..., Δxn (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) f ( x +Δ x, x +Δ x,..., x +Δ x ) = y k n n k k = 1, 2,..., n 35

36 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Sviluppando in serie di Taylor intorno al punto: (0) (0) (0) si ottiene: x1, x2,..., xn (0) (0) (0) f ( x +Δ x, x +Δ x,..., x +Δ x ) = k n n (0) (0) (0) fk fk fk( x1, x2,..., xn ) + Δ x1 + Δ x2 +.. x x fk... +Δ xn +Φ 1 ( k = 1, 2,..., n) x n dove Ф 1 tiene conto dei termini di ordine superiore e si può trascurare se Δx k è sufficientemente piccolo. 36

37 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Si ricava che: (0) fk fk yk yk = Δ x1 + Δ x2 + x x fk... +Δ xn ( k = 1, 2,..., n) x n 0.. In forma matriciale: Δ = Δ (0) y J x 0 37

38 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Si definisce matrice Jacobiana delle n funzioni f k (0) (0) (0) calcolata nel punto x x x :,,..., n 1 2 f f f... x x x n 0 J 0 = f f f... x x x n f f f... x x x n n n n 0 38

39 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Il sistema così ottenuto è un sistema di equazioni lineari che si risolve con i metodi iterativi. Si ottengono così le correzioni: Δx1, Δx2,..., Δx n ( h ) ( h ) ( h ) da aggiungere ai valori iniziali delle incognite. 39

40 Calcolo dei flussi di potenza con il metodo di Newton-Raphson Si considerino le seguenti corrispondenze: y P, Q, E x k k0 k0 k0 E, ϑ i i i Δx ΔE, Δϑ i i i fk Pk Pk Qk Qk,,, x E ϑ E ϑ i i i i i Le equazioni linearizzate da risolvere nelle incognite Δ, Δϑ si riducono a (2n-1-n g ) E i i 40

41 Calcolo dei flussi di potenza con il metodo di Newton-Raphson Il sistema linearizzato assume la seguente forma: P P ΔP E ϑ ΔE = ΔQ Q Q Δϑ E ϑ Si assegnano i valori arbitrari di: E i i,ϑ Si calcolano i nuovi valori noti ed i relativo scostamenti: P, Q e Δ P = P P, Δ Q = Q Q (0) (0) (0) (0) (0) (0) k k k k0 k k k0 k 41

42 Calcolo dei flussi di potenza con il metodo di Newton-Raphson Si calcolano i coefficienti della matrice Jacobiano e risolvendo le equazioni si ricavano le correzioni: Δ, Δϑ (0) (0) E i i da apportare ai valori iniziali: (0) (0) E i, ϑ i Quindi si procede con le successive iterazioni fino a quando: ( r ) ΔP k ΔQ ( r ) k ε ε 42

43 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON Il procedimento iterativo di si articola nei seguenti passi: calcolo matrice ammettenze e scelta nodo di saldo; scelta arbitraria dei valori efficaci e delle fasi delle tensioni non imposte ai nodi; scelta del numero di iterazioni di arresto del procedimento di calcolo; scelta degli scostamenti di potenza attiva e reattiva P k e Q k di arresto del procedimento di calcolo; calcolo di P k0 e Q k0 e quindi degli scostamenti P k0 e Q k0 da confrontare con le tolleranze stabilite; calcolo delle derivate parziali, per le tensioni scelte al primo tentativo; 43

44 Soluzione numerica tramite il metodo di NEWTON-RAPHSON calcolo delle correzioni E i0 θ i0 ; calcolo valori di prima correzione delle incognite E i0 θ i0 ; iterazione del procedimento, per m volte, fino ad ottenere scostamenti inferiori alle tolleranze stabilite. arresto del procedimento; calcolo dei flussi di potenza attiva e reattiva alle estremità delle linee ed ai morsetti dei trasformatori, calcolo delle perdite di potenza attiva e reattiva; calcolo delle perdite totali, in rete, di potenza attiva e reattiva, calcolo della potenza attiva e reattiva al nodo di saldo. se i risultati del calcolo risultano insoddisfacenti, occorre reimpostare le variabili di stato (grandezze imposte ai nodi) e/o modificare la configurazione della rete, e quindi procedere ad un nuovo calcolo. 44

45 Load flow disaccopiato La soluzione del problema di load flow viene notevolmente semplificata osservando che per le linee di trasmissione: le potenze attive iniettate ai nodi dipendono prevalentemente dalle fasi delle tensioni di sbarra; le potenze reattive iniettate ai nodi dipendono prevalentemente dai moduli delle tensioni; sono relativamente deboli i legami tra gli insiemi di grandezze: P E e Q ϑ 45

46 Load flow disaccopiato La matrice Jacobiana diventa (approssimazione di Carpentier): J 0 = Q E P ϑ Si ottengono 2 sistemi di equazioni lineari nelle incognite ΔE, Δϑ che possono essere risolte indipendentemente. 0 46

47 Load flow disaccopiato Le derivate parziali che compaiono nella matrice Jacobiana disaccoppiata sono: Pk ϑ k Pk ϑ i Q E k k Q E k i n = EEYsen( ϑ ϑ γ ) i = 1 i k k i ki k i ik = EEYsen( ϑ ϑ γ )( i k) k i ki k i ik = 2 EY senγ + EY sen( ϑ ϑ γ ) k kk kk i ki k i ik i = 1 i k = EY sen( ϑ ϑ γ )( i k) k ki k i ik n 47

48 Load flow in corrente continua Per certi scopi è sufficiente la sola determinazione dei flussi di potenza attiva nelle reti di trasmissione. Questa semplificazione può risultare vantaggiosa nei seguenti casi: Pianificazione preliminare delle reti di trasmissione; Programmazione dell esercizio a breve termine Controllo in linea inteso a verificare a breve intervallo di tempo (3-5 min) le conseguenze (es. sovraccarichi) della perdita improvvisa di componenti critici. 48

49 Load flow in corrente continua Il calcolo della sola potenza attiva si fonda su alcune semplificazioni: Si considera R<<X in linee e trasformatori: ciò è accettabile, quando si rinuncia al calcolo delle perdite perché il rapporto X/R 10 per linee di trasporto e X/R 50 per i trasformatori. Si trascurano le ammettenze trasversali dei componenti di rete: Le capacità per linee AT causano notevoli variazioni di potenza reattiva ma non attiva. 49

50 Load flow in corrente continua Con queste semplificazioni, la rete viene ridotta ad una maglia di sole reattanze induttive, pari alle reattanze serie equivalenti delle linee e dei trasformatori. Viene anche eliminato il neutro in quanto non risulta connesso ai nodi in tensione visto che non ci sono ammettenze trasversali. Il flusso di potenza attiva nel lato che collega il nodo i al nodo k vale: P VV = i k θ θ ik X i k ik sen( ) 50

51 Load flow in corrente continua Avendo trascurato le resistenze serie e le potenze reattive, risultano trascurabili anche le d.d.p. tra le estremità delle linee e si può porre: Si ottiene: Vi 1 pu.. sen( ) θ θ θ θ i k i k 1 P = ( θ θ ) ik X i k ik 51

52 Load flow in corrente continua posto risulta Pbj = P ik, Gbj = 1/Xik e φ bj =θi θk. P = G φ bj bj bj j= 1,2,... che costituiscono le equazioni di lato di una rete di conduttanze (in c.c.) in cui: P bj θ, θ sono le tensioni dei nodi i e k rispetto al nodo n-esimo, i k per il quale θ n = 0 = P è la corrente che fluisce nel lato j, tra i nodi i e k, sotto ik la tensione di lato φ bj =θi θk. 52

53 Load flow in corrente continua Per la rete in corrente continua valgono le relazioni: LKC LKT essendo: P = P = G b b AP = P b t A θ = Φ [ P, P,..., P,...,P ] 1 2 i n 1 Φ b b θ = θ, θ,..., θ,..., θ 1 2 i n 1 Pertanto: con P= Gθ G = AG b A t 53