Modello per lo studio di due linee accoppiate

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1 Linee Accoppiate In una struttura costituita da almeno due conduttori distinti (più uno di riferimento), la propagazione guidata dai singoli conduttori viene influenzata da quelli adiacenti. Si parla in tal caso di propagazione su linee accoppiate La propagazione può essere descritta in questo caso attraverso la combinazione lineare di più modi, caratterizzati ciascuno da una costante di propagazione e da un impedenza caratteristica. Ogni modo definisce una specifica configurazione del campo che si propaga (e quindi delle tensioni e delle correnti)

2 Modello per lo studio di due linee accoppiate I (z) I (z) V (z) V (z) L a Accoppiamento magnetico L L a C a Accoppiamento elettrico C C a Elemento dz linea Elemento dz linea V jl I jl I, V jl I jl I L L L L L L I jc V jc V, I jc V jc V C C L C C L

3 Equazioni della propagazione I (z) I (z+dz) L I (z) I (z+dz) V (z) L a V (z+dz) L a V (z+dz) C a V (z) C a I ( z dz) I ( z) jc dz V z jc V z dz I ( z dz) I ( z) jc dz V z jc V z dz V ( z dz) V ( z) jl dz I z jl I z dz V ( z dz) V ( z) jl dz I z jl I z dz di dz dv dz C per dz 0 : di jcvjcv jcvjc V dz dv jl I jl I jlvjlv dz

4 Soluzione nel caso di due linee uguali (L =L, C =C ) Soluzioni cercata del tipo: j z V ( z) V e, 0 Affinchè esistano tali soluzioni, la costante di fase deve soddisfare le seguenti equazioni (con L=L =L, C=C =C ): V LILI V LILI I CV C V I C V CV Questo sistema ha soluzioni solo per 4 possibili valori di : L C LL CC LC L C Il segno ± davanti a indica la direzione di propagazione delle onde (- verso le z crescenti, + verso le z decrescenti). I segni ± all interno delle radici definiscono due possibili modi di propagazione (modo pari e modo dispari). Per C /C=-L /L i due modi hanno lo stesso (e quindi stessa velocità di fase). Ciò si verifica quando le due linee, prese separatamente, supportano un modo TEM. C vp vd LC C C L L C

5 Per le simmetrie della struttura è facile capire che al modo pari sono associare due tensioni uguali e in fase, mentre per il modo dispari le due tensioni sono uguali e di fase opposta; quindi: V V, V V p p d d In generale, le tensioni lungo le due linee, assumendo la sola onda progressiva, possono quindi essere espresse come una combinazione lineare dei due modi: jpz jdz jpz jdz p0 d0, p0 d0 V z V e V e V z V e V e Come nelle linee isolate, i rapporti tra tensioni e correnti delle onde incidenti (o riflesse) definiscono le impedenze caratteristiche dei rispettivi modi: L V I L, V I L L p p cd d d CC CC Si noti che non può mai essere = cd ; quindi vi sarà sempre sulle due linee un onda riflessa su almeno uno dei due modi.

6 Linee isolate di tipo TEM (C =C =C) Si è visto che in questo caso C /C=-L /L e quindi:. vp vd v LC C C L C C L, C C C C C C C C cd e cd possono essere espresse in funzione di capacità equivalenti p.u.l.: Cpari CC vc v pari cd Cdispari CC vc v dispari cd

7 Modello con capacità (o induttanze) p.u.l C e C (L e L ) rappresentano parametri equivalenti associati alle matrici e Y delle linee accoppiate. Si possono esplicitare parametri circuitali associati direttamente alle linee. C C a C a C C C C a C L a L L a L L L L a L Con le formule precedenti si possono ricavare C pari e C dispari : C CC C pari C CC C C dispari Inoltre, dalla condizione di propagazione TEM (C /C=-L /L), si ottiene: L C L C a a a, a

8 Verifica con il modello capacitivo delle linee accoppiate: Circuito aperto Modo pari C pari =C a C a C C C a C a Corto Circuito Modo dispari C a C C C a C a C C dispari =C a +C

9 Significato fisico dei modi pari e dispari Poichè nel modo pari le tensioni sulle due linee sono uguali e in fase, deve esistere un piano magnetico lungo l asse di simmetria tra le due linee. Nel modo dispari sarà invecie presente un piano elettrico lungo tale asse. Per il calcolo delle impedenze e cd si può quindi far riferimento alle due linee equivalenti che si ottengono imponendo tali piani: Modo pari Piano Magnetico vc pari Asse di Simmetria Modo dispari Piano Elettrico cd vc dispari Le due linee hanno la stessa velocità di fase pari a quella imposta dal mezzo che riempe lo spazio tra i conduttori (con costante r ): v c LC C C r

10 Modello circuitale di due linee accoppiate per un tratto di lunghezza finita L, cd 3 4 Obbiettivo: calcolare la matrice (oppure Y, oppure S) alle 4 porte. Ipotesi semplificante: struttura con linee uguali ( piani di simmetria) Metodo di calcolo: valutazione degli elementi della matrice dagli autovalori

11 Autovalori e autovettori di una matrice Gli autovalori M di una matrice quadrata M sono le soluzioni dell equazione: det M U 0 M Gli autovettori x associati a M soddisfano il sistema di equazioni omogenee: M x M x Una matrice di ordine n possiede n autovalori ed n autovettori (ogni autovettore contiene n elementi). Gli autovettori sono definiti a meno di una costante. Proprietà Se si eccita la rete con un autovettore, ogni porta della rete vede la stessa impedenza (ammettenza, coeff. di riflessione), il cui valore coincide con l autovalore corrispondente. Se la rete è simmetrica si possono facilmente individuare gli autovettori da cui si definiscono delle autoreti che consentono il calcolo degli autovalori. Gli autovalori di, Y e S sono legati dalle stesse relazioni che esistono tra impedenza (ammettenza) e coefficiente di riflessione.

12 Determinazione degli autovettori Piano simmetria Piano simmetria 3 4 Gli autovettori determinano un piano elettrico o magnetico lungo gli assi di simmetria. Risultano quindi definiti come segue: I I I I 3 4,,,,,,,,,,,, Piano : Magnetico, Piano : Magnetico Piano : Magnetico, Piano : Elettrico Piano :Elettrico, Piano : Magnetico Piano : Elettrico, Piano : Elettrico

13 Determinazione degli autovalori dalle autoreti Autovalore : /, OPEN j cot OPEN Autovalore : /, SHORT j tan OPEN Autovalore 3 : /, cd OPEN 3 j cd cot 3 SHORT Autovalore 4 : /, cd SHORT 4 j cd tan 4 SHORT

14 Calcolo della matrice Dalla definizione di, imponendo le eccitazioni corrispondenti agli autovettori, si ottengono i 4 elementi indipendendi di : V 3 4 I0 V 3 4 I0 V I0 V I Passando dagli autovalori di a quelli di Y o S si possono determinare con la stessa formula gli elementi di quelle matrici

15 Espressione degli elementi di j cot tan cot tan 4 cd cd cot tan cd cot cd tan 4 3 cot tan cd cot cd t 4 an 4 cot tan cd cot cd tan 4

16 Espressione degli elementi di e Y 3 4 j j j j cd cot cd sin cd cot cd sin Y Y Y Y 3 4 j Y Y j Y j j Y Y cot Ycd sin Y cd cd cot Ycd sin

17 Porte terminate in cc o in ca 3 Circuito a porte I YVY 0YVY 0YVYV I YVY 0YVY 0YVYV Y Ycd Y Y Y j cot, Y Ycd Y Y3 j cot V I 0 0 I I I V I 0 0 I I I Circuito a porte 4 cd j cot, j 4 cd sin

18 Casi particolari Lunghezza =80 Gli autovalori di sono [0,, 0, ], e S i = [-,, -, ]. Gli elementi della matrice S risultano quindi: S 0, S, S 0, S La seconda linea risulta disaccoppiata indipendentemente da 0! Carico 0 Esiste un valore di 0 che adatta le quattro porte (indipendentemente dalla lunghezza ). E dato da: = 0, cd, Attenzione! Questo non significa le le due linee sono adattate: l onda riflessa è nulla solo alle porte, non al variare della coordinata z. Vedere le simulazioni

19 Condizioni per l adattamento alle 4 porte Autovalori di S S i jx jx i i jx j cot jx j tan 0 jx j cot jx j tan 0 3 cd 0 4 cd 0 Autovalori di Parametro S: S S S S3 S4 4 Solo in due casi la relazione precedente può essere soddisfatta indipendentemente dal valore di, cioè: S S S S X X X X cd 0 NON AMMISSIBILE S S S 4 S X X X 4 X 3 cd cd 0 0 AMMISSIBILE