Soluzioni Eletromagnetiche per l Hi-Tech

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1 Soluzioni Eletromagnetiche per l Hi-Tech Materiale di supporto: cavi coassiali e guide circolari Prof. Luca Catarinucci Innovation Engineering Department University of Salento - Lecce - Italy

2 Cavo coassiale I valori di induttanza, capacità, resistenza e conduttanza per unità di lunghezza si possono ricavare in funzione dei parametri geometrici ( a e b ) e costruttivi (e, s, m). R e G sono solitamente trascurabili. 2

3 Cavo coassiale La velocità di propagazione in un cavo coassiale è pari alla velocità della luce nel mezzo che riempie il cavo. L impedenza caratteristica dipende solo dal rapporto b/a. A parità di impedenza caratteristica, tutti i cavi sono uguali? No! Ad esempio, si dimostra che a parità di Impedenza Caratteristica, aumemntare a (e quindi proporzionalmente b ) aumenta la massima potenza trasportabile. Contemporaneamente, cavi più sottili lavorano meglio fino a frequenze più alte. 3

4 Cavo coassiale Si noti che l impedenza caratteristica dei cavi commerciali è o intorno a 50W, o intorno a 75W. Perché? 4

5 Cavo coassiale Perché tutti i cavi coassiali sona a 50W o a 75W? Fonte: Considerando un cavo vuoto (dielettrico aria) e variando il diametro del conduttore interno al fine di modificarne l impedenza, si ottengono i seguenti due grafici rispettivamente per l attenuazione (a 10 GHz nell esempio) e la massima potenza supportabile 50W è un buon compromesso tra massima potenza e minime perdite (nel caso in aria). Al variare del materiale è ragionevole pensare che si abbassi il punto di minimo delle perdite ma aumenti quello della potenza 5

6 Cavo coassiale Perché tutti i cavi coassiali sona a 50W o a 75W? 75W è un buon valore per minimizzare le perdite e si usa quindi quando non è richiesta una potenza elevata (TV, TVCC, etc). Tuttavia, al variare del dielettrico, varia il punto di minimo delle perdite! So why 75 ohms? Here's our guess. Often the center conductor of cheap cables is made of a steel core, with some copper plating. The lower the impedance, the bigger the diameter of the center core. An impedance 75 ohms probably was a compromise between low loss and cable flexibility. Fonte: 6

7 Si dimostra che la generica soluzione del campo EM in un sistema guidante può essere matematicamente vista come la somma di infinite soluzioni (detti MODI) con caratteristiche particolari. Sol_EM = TEM + TE + TM MODO TEM=trasverso elettromagnetico (componenti longitudinali di E ed H nulle). MODO TE=trasverso elettrico (componente longitudinale di E nulla (e di H non nulla). MODO TH=trasverso magnetico (componente longitudinale di H nulla (e di E non nulla). 7

8 Si dimostra anche che il numero massimo di modi TEM in una guida a simmetria cilindrica è pari ad (Nc-1), dove Nc è il numero di conduttori in una sezione della guida. Esempio: Un cavo coassiale può avere un MODO TEM. Per studiare tutti i possibili segnali che possono propagarsi in un sistema guidante, si studiano tutti i possibili modi TEM, tutti i possibili MODI TM e tutti i possibili MODI TE. Traendo vantaggio dalle caratteristiche dei tre modi, si risolvono tre problemi più semplici anziché uno sensibilmente più complicato. La struttura a simmetria cilindrica del sistema guidante (propagazione solo lungo z e sezione costante al variare di z) è un altro fattore che si sfrutta per semplificare il sistema. 8

9 Procedura: Equazioni di Maxwell + Caratteristiche del campo EM in guida a simm. cilindrica + Caratteristiche dei MODI TEM, TE e TM Condizioni al contorno dovute alla geometria TEM + TE + = Campi EM in guida TM 9

10 Funzioni di Bessel di prima specie 10

11 Modi TE in guida circolare Soluzione per ogni Kc (numero d onda di cutoff). Esistono infiniti a due Kc! p nm è l m-esima radice della derivata prima dell n-esima funzione di Bessel! 11

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13 Esistono quindi infinite a 2 soluzioni di tipo TE al variare degli indici n ed m, con m che varia da 0 ad infinito (la prima funzione di Bessel è la funzione J0) ed n che va da 1 ad infinito (la prima radice ). Ma quanto vale b? Si dimostra che b dipende da Kc, pertanto ogni modo (al variare di m ed n ) ha una sua costante di fase bmn. Chiamato k il numero d onda: Si ha: 13

14 Cosa vuol dire? Vuol dire che dati m ed n, e quindi data la forma del MODO, al variare della frequenza la costante di fase può essere o puramente reale, o puramente immaginaria. Se è puramente reale, si ha propagazione senza attenuazione. Se è puramente immaginaria si ha attenuazione senza propagazione. 14

15 Da quale frequenza si ha la propagazione? Da quella al di sopra della quale l argomento della radice nell equazione della costante di fase inizia ad essere positivo (quindi radice reale) Si definisce MODO TE Dominante il primo MODO di tipo TE che si propaga. In che ordine si propagano i modi TE? 15

16 Il MODO TE dominante è il TE11 poiché è quello con la frequenza di cutoff inferiore. Il secondo è il TE21, poi il TE01 e così via. 16

17 Modi TM in guida circolare Soluzione per ogni Kc (numero d onda di cutoff). Esistono infiniti a due Kc! pnm è l m-esima radice dell n-esima funzione di Bessel! 17

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19 Esistono quindi anche infinite a 2 soluzioni di tipo TM al variare degli indici n ed m, con m che varia da 0 ad infinito (la prima funzione di Bessel è la funzione J0) ed n che va da 1 ad infinito (la prima radice ). Anche in questo caso si dimostra che b dipende da Kc, pertanto ogni modo (al variare di m ed n ) ha una sua costante di fase bmn. Si ha: 19

20 Ed anche in questo caso si ha la propagazione a partire da una ben specifica frequenza di cutoff, diversa da MODO a MODO. Si definisce MODO TE Dominante il primo MODO di tipo TE che si propaga. In che ordine si propagano i modi TE? 20

21 Il MODO TM dominante è il TM01 poiché è quello con la frequenza di cutoff inferiore. Il secondo è il TM11, poi il TM21 e così via. 21

22 MODO DOMINANTE IN GUIDA E PRIMO MODO DI ORDINE SUPERIORE Banda MONOMODALE 22

23 Nel progetto della vostra antenna in guida circolare dovete essere sopra cutoff e possibilmente in regime di funzionamento monomodale. MODI in guida circolare 23

24 Quanto vale la lunghezza d onda in guida? In generale si ha che: g 2 b Nel caso di modi TM, ad esempio, la costante di fase vale: In caso di propagazione in spazio libero, b k me 2 2 f me c f In guida si ha una costante di fase minore e quindi una lunghezza d onda maggiore dipendente sia dal MODO che si propaga, sia dal diametro della guida! Infine, anche la velocità di fase dipende dalla costante di fase. MODI di versi avranno velocità di fase diverse! Da preferire regime monomodale! 24