Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio

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1 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio ü [A.a : ultima revisione 28 ottobre 212] In questa lezione si deducono le cosiddette equazioni indefinite dellequilibrio, e si dimostra limportante proprieta di simmetria della matrice delle tensioni. Ambedue questi risultati vengono raggiunti imponendo lequilibrio di un tetraedro elementare isolato allinterno del corpo [Cauchy] Le forze agenti Si consideri un corpo B e si isoli, idealmente, al suo interno, un parallelepipedo infinitesimo, con gli spigoli paralleli agli assi coordinati x 1, x 2, x 3. Le componenti di tensione agenti sulle sei facce del parallelepipedo sono riportate in Figura 1, positive secondo la convenzione illustrata nelle lezioni precedenti. Ad esempio, la faccia EFGH ha normale uscente discorde allasse coordinato x 1, e di conseguenza le tre componenti s 11, s 12 e s 13 sono positive se controverse agli assi coordinati, come riportato in figura. Se gli spigoli del parallelepipedo sono lunghi, e dx 3, rispettivamente, allora sulla faccia EFGH agiranno le forze di intensita s 11 dx 3, s 12 dx 3, s 13 dx 3. Sulla faccia parallela ABCD la normale uscente e equiversa allasse x 1, e quindi le componenti di tensione saranno positive se equiverse agli assi. Le forze agenti su questa faccia saranno s 11 dx 3, s 12 dx 3 e s 13 dx 3, dove le tensioni s 11, s 12, s 13 sono legate alle s 11, s 12 e s 13 dalle relazioni: σ 11 = σ 11 + σ 11 σ 12 = σ 12 + σ 12 (1) σ 13 = σ 13 + σ 13 Analogamente, sulla faccia ACEF agiranno le forze s 21 dx 3, s 22 dx 3, s 23 dx 3, mentre sulla faccia parallela BDHG agiranno le s 21 dx 3, s 22 dx 3, s 23 dx 3, con: σ 21 = σ 21 + σ 21 σ 22 = σ 22 + σ 22 (2) σ 23 = σ 23 + σ 23 Infine, sulla faccia ABGF agiranno le forze s 31, s 32, s 33, mentre sulla faccia parallela CDEH agiranno le s 31, s 32, s 33, con: σ 31 = σ 31 + σ 31 dx 3

2 64 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio.nb σ 32 = σ 32 + σ 32 dx 3 σ 33 = σ 33 + σ 33 dx 3 Le relazioni (1-3) sono giustificate nellambito di uno sviluppo in serie troncato al primo termine. X 3 E H σ 33 σ 32 σ 11 σ 31 σ 12 C σ 22 σ 21 F σ 13 D σ 23 σ 22 G X 2 σ σ σ 23 σ 31 σ 12 σ 11 σ 32 σ 33 A B X 1 Figura 1. - Le componenti di tensione positive agenti sulle sei facce del tetraedro Le equazioni di equilibrio alla traslazione Se il parallelepipedo infinitesimo e soggetto alla forza di massa X, di componenti X 1, X 2 ed X 3, dovra essere garantito lequilibrio alla traslazione tra le forze esterne e quelle interne. In direzione x 1, ad esempio, sara: σ 11 dx 3 σ 21 dx 3 σ 31 + σ 11 dx 3 + σ 21 dx 3 + σ 31 + X 1 dx 3 = ed utilizzando le (1) si ha: (4)

3 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio.nb 65 σ 11 dx 3 + σ 21 dx 3 + σ 31 dx 3 + X 1 dx 3 = Poiche la quantita dx 3 e sicuramente non nulla, dovra essere necessariamente: (5) σ 11 + σ 21 + σ 31 + X 1 = Del tutto analogamente, lequilibrio alla traslazione in direzione x 2 ed in direzione x 3 conduce alle altre due equazioni di equilibrio: (6) σ 12 + σ 22 + σ 32 + X 2 = σ 13 + σ 23 + σ 33 + X 3 = Le tre equazioni (6-8) vanno sotto il nome di equazioni indefinite dellequilibrio. (7) (8) Le equazioni di equilibrio alla rotazione Si imponga ora che il parallelepipedo sia in equilibrio rispetto alle rotazioni intorno ai tre assi, scegliendo come polo dei momenti il baricentro del parallelepipedo. Questa scelta elimina dal gioco le forze di massa, applicate proprio nel baricentro, ed anche le tensioni s 11, s 22 e s 33, il cui braccio e nullo, dato che le tensioni si suppongono applicate nei baricentri delle facce del parallelepipedo. Cio premesso, si consideri ad esempio lequazione di equilibrio alla rotazione intorno allasse x 3. Si ha: σ 12 dx σ dx 12 1 dx 3 2 σ 21 dx 3 2 σ dx 21 2 dx 3 2 = ed utilizzando le (1) e (2) si ha: (9) σ 12 dx σ 12+ σ 12 dx 3 2 σ 21 dx 3 2 σ 21+ σ 21 dx 3 2 = Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si giunge alla relazione: (1) σ 12 = σ 21 Imponendo lequilibrio alla rotazione anche intorno agli altri due assi si ha, del tutto analogamente: (11) σ 13 = σ 31 (12) σ 23 = σ 32 (13) Ne segue, in definitiva, che la matrice delle tensioni e simmetrica, e che le componenti di tensioni si riducono a sei. Le tre tensioni ad indici uguali, s 11, s 22 e s 33 si dicono tensioni normali, mentre le tre

4 66 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio.nb tensioni ad indici disuguali, s 12, s 13 e s 23 si dicono tensioni tangenziali. La notazione matriciale ed indiciale Come si e visto, le equazioni di equilibrio alla rotazione implicano la simmetria della matrice delle tensioni S, e di conseguenza si potra scrivere: S = σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 Molto conveniente risulta lintroduzione del vettore s delle sei componenti di tensioni: (14) σ = σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 13 σ 23 (15) Utilizzando tale notazione, le equazioni indefinite dellequilibrio potranno sinteticamente scriversi come: δσ+x = avendo introdotto la matrice di operatori differenziali: δ = ed il vettore delle forze di massa: (16) (17) X = X 1 X 2 X 3 (18) Alternativamente, le equazioni indefinite dellequilibrio potranno scriversi, in notazione indiciale, come: σ ij x j + X i = (19) Un approccio alternativo Le equazioni di equilibrio appena dedotte in modo diretto possono anche trarsi - in modo matematicamente piu corretto - facendo uso del teorema della divergenza [Divergenza]. Ed infatti, si consideri un volume, con frontiera d, contenuto allinterno del corpo, e si esprimano le condizioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione: X + t n s = δ (2)

5 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio.nb 67 r X + s t n s = δ Si espliciti la (2), utilizzando il teorema di Cauchy-Poisson: (21) X i + σ ji n i s =, i = 1,... 3 δ ed utilizzando il teorema della divergenza: (22) σ ji X i + =, i = 1,... 3 x j Per larbitrarieta del volume, ne seguono le (19). (23) Esplicitando le (21) si hanno invece le tre equazioni scalari: Hr 2 X 3 r 3 X 2 L + Hs 2 t n3 s 3 t n2 L s = δ Hr 3 X 1 r 1 X 3 L + Hs 3 t n1 s 1 t n3 L s = δ Hr 1 X 2 r 2 X 1 L + Hs 1 t n2 s 2 t n1 L s = δ Utilizzando il teorema di Cauchy-Poisson, la (24) diviene: (24) (25) (26) Hr 2 X 3 r 3 X 2 L δ s 2 Hσ 13 n 1 +σ 23 n 2 +σ 33 n 3 L s 3 Hσ 12 n 1 +σ 22 n 2 +σ 32 n 3 LD s = e per il teorema della divergenza: (27) Hr 2 X 3 r 3 X 2 L + B Hr 2 σ 13 L + Hr 2 σ 23L + Hr 2 σ 33L Hr 3 σ 12L Hr 3 σ 22 L Svolgendo i prodotti si ha: Hr 3 σ 32L F = (28) Hr 2 X 3 r 3 X 2 L + σ 13 σ 23 σ 33 σ 12 Br 2 + r 2 +σ 23 + r 2 r 3 (29) r 3 σ 22 r 3 σ 32 σ 32 F = Infine, utilizzando le (19) si ottiene, per larbitrarieta del volume: σ 23 = σ 32 (3) Dalle altre due equazioni si ottiene s 12 = s 21 e s 13 = s 31

6 68 Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio.nb Note [Cauchy] - La deduzione delle condizioni di equilibrio si trova in "Sur les relations qui existent, dans létat déquilibre dun corp solide ou fluide, entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices" Exercises de Mathématiques, 2, pp [Torna al testo] [Divergenza] - Se e una regione dello spazio, e se f e un campo scalare continuo e derivabile, si ha f n i s = f x j dove n e il versore della normale uscente al contorno. [Torna al testo] (31) Figure