FORZE. SistemidiForze Definizione 1 Si definisce Momento di una Forza applicata in un punto P rispetto ad un polo O, la seguente quantità

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1 FOZE Nozione di Forza La Forza è un ente, assunto come primitivo, atto a rappresentare l azione su un corpo da parte di altri corpi e capace di produrre sul corpo effetti meccanici quali: 5 1. Variazione dello stato di quiete o di moto 2. Deformazioni Postulato 1 Una forza è individuata da un vettore applicato punto di applicazione. ³ F,P dove P èil Postulato 2 omposizione e scomposizione delle forze. Se più forze sono applicate allo stesso punto, esse equivalgono ad un unica forza (ovvero ne producono gli stessi effetti) detta isultante applicata allo stesso punto. Il vettore isultante si ottiene sommando vettorialmente i vettori delle singole forze. Viceversa ad una forza applicata in un punto P si possono sostituire più forze applicate allo stesso punto, la cui somma vettoriale sia il vettore della forza sostituita. SistemidiForze Definizione 1 Si definisce Momento di una Forza applicata in un punto P rispetto ad un polo O, la seguente quantità M O := P O F. (1) Osservazione 1 M O π, doveπ èilpianochecontieneo e la retta di applicazione (retta passante per P e parallela ad F. Osservazione 2 M O = P O F sin θ = Fb b èilbraccio.

2 6 Osservazione 3 Se la retta d applicazione passa per il polo O = M O =0. Osservazione 4 Il momento rispetto ad O non varia se si fa scorrere la forza lungo la sua retta d applicazione (non varia il braccio) = il momento di una forza non dipende dal punto di applicazione, ma dalla retta di applicazione. Per calcolare il momento di una forza si può traslare la forza lungo la sua retta di applicazione. Si definisce Momento di una Forza F rispetto ad un asse a, il prodotto scalare M a := M O a, (2) dove O è un punto dell asse e a il versore dell asse. Il momento di una forza rispetto ad un asse a non dipende dalla scelta del punto O dell asse. Dimostrazione. Sia O 0 un altro punto dell asse a tale che O O 0 = λ a. alcoliamo M O 0 := P O 0 F = h 0i P O + O O F = M 0 O + O O F. (3) Moltiplicando scalarmente per il versore a, otteniamo h M O 0 a = M 0 i O a + O O F a, (4) ma h 0 i O O 0 è parallelo ad a = O O F a =0 M a = M O a = M O 0 a. (5) onsideriamo il piano π passante per P, perpendicolare ad a e scompongo F in una componente parallela ad a ed una perpendicolare ad a,ovvero F = F k + F.

3 7 alcoliamo M a h i h ³ M a = P Q F a = P Q F k + F i a h i h i = P Q F k a + P Q F a. (6) Il primo termine si annulla a causa del parallelismo tra F k e a. Legge di cambiamento del polo AduncorposonoapplicateN forze F i (i =1,...,N) nei punti P i (i =1,...,N). La risultante viene definita come P = N F i. (7) non è un vettore applicato. Definiamo anche il momento risultante rispetto ad un polo O M O := N P ome si modifica M O se cambiamo il polo da O a O 0? P M O 0 := N 0 P i O F P i = N h P i O + = N P = N P P i O P i O F i. (8) P i O F i + F i + 0 P O O N O O 0i F i F i O O 0 = M O + O 0 O. (9) Si può notare l analogia formale tra la formula dell atto di moto rototraslatorio e la legge di cambiamento del polo. Se conosciamo M O e, possiamo conoscere il momento rispetto ad un altro polo P, P. Osservazione 5 Se =0, M non dipende dal polo. Osservazione 6 Il prodotto scalare I = M O non dipende dal polo (invariante scalare). Osservazione 7 I momenti sono costanti su rette parallele al risultante. Osservazione 8 Esiste sempre una retta parallela a, i cui punti sono poli rispetto ai quali il momento è parallelo ad. Questa retta prende il nome di asse centrale (analogo dell asse del Mozzi). Osservazione 9 Se 6= 0e I =0, l asse centrale è costituito da punti rispetto aiqualiilmomentoènullo. Inquestocasol assecentraleprendeilnomedi retta di applicazione del risultante (analoga all asse d istantanea rotazione). L equazione dell asse centrale è analoga all equazione cinematica P O = M O 2 + λ. (10)

4 8 oppia di Forze Una coppia è un sitema di due forze a risultante nullo con diversa retta di applicazione. Poichè =0 M P = M O + O P = M O P. (11) Per semplicità calcolo il momento rispetto ad A ( M non dipende dal polo) M A = M = A B F + B B F = A B F. (12) Ilsuomodulovale M = A B F sin θ = Fb b = A B sin θ. (13) Operazioni invariantive elementari Sono operazioni su un sistema di forze che non alterano M O e. Più precisamente: 1. lo scorrimento di una forza lungo la sua retta di applicazione. 2. la composizione di più forze applicate nello stesso punto con il loro risultante. 3. la scomposizione di una forza in più forze applicate nello stesso punto. Definizione 2 Due sistemi di forze si dicono equipollenti se si può passare dall uno all altro mediante operazioni invariantive elementari. Postulato 3 Dato un orpo igido, due sistemi di forzeequipollenti applicati al corpo producono gli stessi effetti meccanici. Teorema 1 (Fondamentale dei sistemi di Forze).N.S affinchè due sistemi di forze siano equipollenti è che abbiano lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un polo O = 0 M O = M 0 O. (14) Problema 1 Dato un sistema di forze su un.., trovare il più semplice sistema equipollente ad esso. iconosciamo 4 casi:

5 9 1. ½ =0 M O =0. (15) Il sistema è equipollente al sistema nullo, ovvero privo di forze. 2. ½ =0 M O 6=0. (16) Il sistema è equipollente ad una coppia (da scegliersi in modo opportuno in un piano π normale a M O. 3. ½ 6= 0 un polo O tale che M O =0. (17) Ilpiùsemplicesistemaequipollentea3)èunaforzadivettore applicata ad O oppure ad un punto qualunque della retta r passante per O e parallela ad. ½ 6= 0 / un polo O tale che M O =0. (18) Si può dimostrare che un sistema con 6= 0èditipo3)seesoloseI =0; infatti se il sistema è di tipo 3), un polo O tale che M O =0= I = M O =0. Viceversa se un sistema ha 6= 0e I =0, esiste una retta di punti rispetto ai quali il momento ènullo (retta di applicazione del risultante. I sistemi di tipo 3) sono equipollenti ad una sola forza, il risultante, applicato ad un punto della retta di applicazione del risultante. Infatti il sistema della sola applicata in O ( O r retta di applicazione del risultante) ha lo stesso risultante del sistema originario e M O della forza applicata è nullo, come per il sistema originario. I sistemi di tipo 4) hanno 6= 0e I 6= 0. Il sistema più semplice equipollentea quello dato, è costituito da una forza, il risultante, applicato in un punto O dell asse centrale e una coppia in un piano normale al risultante di momento M O

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7 SISTEMI DI FOZE PAALLELE 11 aso notevole, poichè i pesi formano un sistema di forze parallele. Su un.. agisca un sistema di forze parallele F i (i =1,...,N) con versore comune κ econ risultante non nullo. Supponiamo che il.. venga schematizzato da un insieme di N punti P i (i =1,...,N) al quale viene applicato il sistema di forze considerate esiaf i = F i κ dove F i èlacomponentedif ³ i secondo κ F i = F i κ. Il risultante è dato da µ P = N P N F i = F i κ = κ. (19) Supponiamo 6= 0allora I = M O =0. Dimostrazione. Per definizione M O = N P P i O F i = N P P i O F i κ = N P F i P i O κ. (20) alcoliamo I = M O P N = F i P i O κ {z } κ κ =0. (21) Questo sistema è del tipo 3). Il sistema si può ridurre ad una sola forza, il risultante, applicato ad un punto P qualunque della retta di applicazione del risultante. P O P = N P i O F i P O P O κ = N P P κ = N P i O F i κ F i P i O κ

8 12 P O N P F i P i O κ =0. (22) Questa equazione è soddisfatta da ogni punto P (e solo da quelli) della retta di applicazione del risultante. A questa retta appartiene P tale che P O = N P F i P i O = P O = NP F i P i O. (23) P rispetto a tutti i punti della retta di applicazione del risultante ha la particolarità di non dipendere da κ, ovvero di essere indipendente dall orientamento delle forze. Se variamo κ lasciando invariate le componenti delle forze, varia la retta di applicazione del risultante ma passa sempre per P. P si chiama centro del sistema di forze parallele. Osservazione 10 onsideriamo un sistema di N punti materiali. Per effetto della gravità ciascuno di essi è soggetto ad una forza: il peso. Questa forza è diretta secondo la verticale discendente ed ha intensità costante. Dunque il sistema è soggetto ad N forze parallele con risultante non nulla. Queste forze sono equipollenti ad un unica forza, il peso del sistema, applicata ad un punto della retta di applicazione del risultante. Baricentro Denotiamo con G il baricentro o centro delle forze peso agenti su un corpo. Quindi il baricentro è il punto in cui è possibile applicare la forza peso risultante indipendentemente dalla posizione del corpo rispetto alla verticale. Per un sistema discreto di punti Per un sistema continuo G O = G O = NP p i P i O. (24) NP p i κ (P ) P O d κ (P ) d. (25) κ (P ) dτ rappresenta il peso totale e κ (P ) d il peso elementare, mentre κ (P ) è il peso specifico. κ (P ) è una funzione non negativa definita in tutti i punti del campo. d è un elemento infinitesimo di volume se il corpo è tridimensionale d è un elemento infinitesimo di superficie se il corpo è bidimensionale d è un elemento infinitesimo di linea se il corpo è monodimensionale. κ (P ) è costante se il corpo è omogeneo. In coordinate cartesiane x G = xκd κd, y G = yκd κd, z G = zκd. (26) κd

9 Proprietà del Baricentro 1. Distributiva Suddividiamo idealmente in N parti P i. P i èilbaricentrodi P i e p i è il suo peso κ (P ) P O d S G O = = N P i κ (P ) d G O = 13 NP P i κ (P ) P O d κ (P ) d. (27) Quindi il baricentro del corpo èilbaricentrodin punti materiali P i (corrispondenti ai singoli baricentri delle parti P i ), dotati di peso p i.prendiamo il corpo in figura e dividiamolo idealmente in due parti A e B. Sia P (A) il baricentro di A esia P (B) il baricentro di B, allora p (A) G O = ³ P (A) O + p (B) p (A)+p (B) ³ P (B) O, (28) dove p (A) èilpesodia e p (B) è il peso di B. La dimostrazione di questa proprietà è descritta nell Eq.(27). 2. Simmetria Se il corpo possiede un piano di simmetria materiale π il baricentro appartiene a π. icordiamo che simmetria materiale vuol dire che se P, anche il suo simmetrico P 0 e κ (P )=κ (P 0 ). Dimostrazione. Sia z l asse normale al piano di simmetria π, allora z G = zκd =0. (29) κd L integrale a numeratore è nullo perchè l integranda è dispari. Infatti z G = zκd κd = zκd+ zκd zκd+ + zκd κd = + + κd =0, (30) poichè Z Z zκd = + zκd. (31)