Lezione 24 - Sforzo assiale e flessione

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1 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione ü [.a : ultima revisione 17 gennaio 011] Si studiano in questa lezione i casi di sollecitazione caratterizzati dall'assenza di tensioni tangenziali, e quindi dalla presenza della sola tensione normale s 33. Piu' in particolare, si studieranno i casi in cui s 33 e' costante, e quelli in cui varia linearmente con x 1 o con x. Lo sforzo assiale Si esamini un solido del tipo trave, e si ponga l'origine del riferimento nel baricentro della sezione di sinistra. Si ipotizzi che le tensioni all'interno della trave, a distanza superiore a quella di estinzione, siano date da: S = σ 33 (1) e ches 33 = s 0 sia costante. Nello spirito del metodo semi-inverso, da questa ipotizzata distribuzione di tensioni si vuol dedurre la corrispondente distribuzione di deformazione e di spostamenti, e si vuol sapere a quale caratteristiche della sollecitazione esterna sulle basi essa corrisponda. In altri termini, invece di assegnare le forze applicate alle basi, e ricavare le tensioni, si segue la via inversa, partendo dalle tensioni, e ricavando a posteriori quell'insieme di caratteristiche che producono le assegnate tensioni. Dalla (1) si puo' trarre lo stato deformativo, applicando le (10) della lezione 3: e 11 = ν E σ 0 e = ν E σ 0 e 33 = σ 0 E e 1 = e 13 = e 3 = 0 e quindi esistono solo deformazioni normali. Per ricavare gli spostamenti, si parta dalle prime tre delle (), ottenendo: () e 11 = u 1 = 0 u 1 = ν E σ 0 x 1 + φ 1 Hx, x 3 L e = u = 0 u = ν E σ 0 x + φ Hx 1, x 3 L (3) e 33 = u 3 = 0 u 3 = σ 0 E x 3+ φ 3 Hx 1, x L

2 19 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb Sostituendo nelle altre tre equazioni () si ha: e 1 = 1 u 1 + u = 0 1 φ 1 + φ = 0 e 13 = 1 u 1 + u 3 = 0 1 φ 1 + φ 3 = 0 (4) e 3 = 1 Le (4), unite alle ovvie relazioni: u + u 3 = 0 1 φ + φ 3 = 0 φ 1 = 0; φ = 0; φ 3 = 0; (5) portano a concludere che il campo di spostamenti f = φ 1 φ φ 3 genera deformazioni nulle, e quindi e' un moto rigido. Supponendo, come usuale, che i vincoli siano tali da impedire moti rigidi, la terna definitiva di spostamenti connessi con le () sara' allora: u 1 = ν E σ 0 x 1 u = ν E σ 0 x (6) u 3 = σ 0 E x 3 Poiche' le (6) sono lineari, le equazioni di Cauchy-Navier (15) della lezione 3 sono identicamente soddisfatte. Inoltre, poiche' le tensioni tangenziali sono nulle, soddisfatta e' anche la condizione ai limiti (4) della lezione 3, sulla superficie laterale. Ne segue che la distribuzione di tensioni (1) da' luogo ad una possibile soluzione del problema della trave. ediamo quali caratteristiche della sollecitazione esterna applicate alle basi producono la distribuzione (1) delle tensioni. pplicando le definizioni della lezione si hanno le caratteristiche della sollecitazione esterna sulla faccia di destra: F HL 1 = σ 13 d = 0; F HL = σ 3 d = 0; F HL 3 = σ 33 d = σ 0 ; (7) M HL 1 = σ 33 x d = σ 0 x d = 0 ; M HL = σ 33 x 1 d = σ 0 x 1 d = 0; (8) M HL 3 = Hσ 3 x 1 σ 13 x L d = 0; dove si e' fatto uso dell'annullarsi del momento statico rispetto ad assi baricentrici. nalogamente, si ha, sulla faccia di sinistra: F H1L 1 = F H1L = 0; F H1L 3 = σ 33 d = σ 0 ; H1L = M H1L = M 3 H1L = 0; (9) (10)

3 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 193 Quindi, le caratteristiche della sollecitazione esterna sulle due basi si riducono a due forze uguali e contrarie: F 3 HL = F 3 = σ 0 ; F 3 H1L = F 3 (11) e la sollecitazione si chiama sollecitazione semplice di sforzo assiale di trazione (se F 3 > 0) o di compressione (se F 3 < 0). Figura 1 - La sollecitazione di trazione e compressione (adattato da G. Fichera "Problemi analitici nuovi nella Fisica Matematica classica) L'unica caratteristica di sollecitazione interna e' lo sforzo normale N, positivo se F 3 e' positiva, negativo se F 3 e' negativa. Esso e' costante lungo la trave, e vale, secondo la (1) della lezione : da cui: N = σ 33 d = σ 0 (1) σ 0 = σ 33 = N Sostituendo nella terna di spostamenti si ha infine: u 1 = ν N E x 1 u = ν N E x u 3 = N E x 3 (13) (14)

4 194 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb L'energia di deformazione L'energia di deformazione L di un tronco di trave lungo l, soggetta a sforzo normale puo' agevolmente calcolarsi in base alla definizione: L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = N E v = N l E Un'utile espressione alternativa si ottiene esprimendo l'energia elastica in funzione degli spostamenti: (15) L = 1 σ 33 e 33 v = E 33 e v = E l du 3 0 dx 3 x 3 (16) Flessione retta nel piano Si esamini un solido del tipo trave, si ponga l'origine del riferimento nel baricentro della sezione di sinistra, e si orientino gli assi x 1 ed x secondo gli assi principali di inerzia della sezione, portandoli quindi a coincidere con gli assi centrali di inerzia. Si ipotizzi che le tensioni all'interno della trave, a distanza superiore a quella di estinzione, siano date da: S = σ 33 (17) e che stavolta s 33 = c x, ossia che la tensione vari linearmente secondo l' asse x. à La deduzione degli spostamenti Dalla (17) si puo' trarre lo stato deformativo, applicando le (10) della lezione 3: e 11 = ν E c x e = ν E c x (18) e 33 = c E x e 1 = e 13 = e 3 = 0 e quindi anche in questo caso esistono solo deformazioni normali. Gli spostamenti sono allora ricavabili con un procedimento simile a quello gia' illustrato per il caso dello sforzo normale. Partendo dalle espressioni delle deformazioni normali si ha: e 11 = u 1 = 0 u 1 = ν E c x 1 x + φ 1 Hx, x 3 L e = u = 0 u = ν E c x + φ Hx 1, x 3 L (19) e 33 = u 3 = 0 u 3 = c E x x 3 + φ 3 Hx 1, x L e sostituendo nelle altre tre equazioni (18) si ha:

5 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 195 e 1 = 1 e 13 = 1 e 3 = 1 u 1 + u = 0 1 u 1 + u 3 = 0 1 u + u 3 = 0 1 φ 1 ν E c x 1+ φ = 0 φ 1 + φ 3 = 0 φ + φ 3 + c E x 3 = 0 Dalla prima e dalla terza si ricavino le derivate della f : φ = ν E c x 1 φ 1 φ = c E x 3 φ 3 (1) Dalla prima delle (1) si ottiene, integrando: φ = ν E c x 1 + ψ Hx 1, x 3 L ed infine, dalla seconda delle (1): ψ = c E x 3 + χ Hx 1, x 3 L In definitiva, quindi, si ha una terna di spostamenti pari a: () (3) u 1 = ν E c x 1 x + φ 1 Hx, x 3 L u = ν E c x + ν E c x 1 c E x 3 + χ Hx 1, x 3 L (4) u 3 = c E x x 3 + φ 3 Hx 1, x L Sara' ora possibile verificare che l'annullarsi delle tre deformazioni taglianti implica: e 1 = 1 u 1 + u = 0 1 φ 1 + χ = 0 e 13 = 1 u 1 + u 3 = 0 1 φ 1 + φ 3 = 0 (5) e 3 = 1 u + u 3 = 0 1 χ + φ 3 = 0 portando a concludere che il campo di spostamenti f * = φ 1 χ φ 3 genera deformazioni nulle, e quindi e' un moto rigido. Supponendo, come usuale, che i vincoli siano tali da impedire moti rigidi, la terna definitiva di spostamenti connessi con le (18) sara' allora:

6 196 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb u 1 = ν E c x 1 x u = cν E x + x 3 ν x 1 (6) u 3 = c E x x 3 à La deduzione delle caratteristiche pplicando le definizioni della lezione si ha: F HL 1 = σ 13 d = 0; F HL = σ 3 d = 0; F HL 3 = σ 33 d = c x d = 0; (7) M HL 1 = σ 33 x d = c x d = c I 11 ; M HL = σ 33 x 1 d = c x 1 x d = 0; (8) M HL 3 = Hσ 3 x 1 σ 13 x L d = 0; dove si e' fatto uso dell'annullarsi del momento statico rispetto ad assi baricentrici e del momento centrifugo rispetto a due assi principali di inerzia. Inoltre l'integrale: I 11 = x d e' il momento di inerzia della sezione retta rispetto all'asse x 1. (9) nalogamente, si ha, sulla faccia di sinistra: F 1 H1L = F H1L = 0; F 3 H1L = M H1L = M 3 H1L = 0; (30) H1L = HL = ci 11 (31) Quindi, le caratteristiche della sollecitazione esterna sulle due basi si riducono a due coppie uguali e contrarie: HL = = c I 11 ; H1L = (3) e la sollecitazione si chiama sollecitazione semplice di flessione, o anche flessione retta, relativa all'asse x 1

7 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 197 Figura - Flessione nel piano L'unica caratteristica di sollecitazione interna e' il momento flettente, costante lungo l'asse della trave, e pari a:: da cui: = σ 33 x d = c I 11 (33) ed infine: c = I 11 (34) σ 33 = I 11 x (35) Nota - E' questa la fondamentale formula di Navier: essa assicura che le tensioni si annullano sull'asse x 1, sono costanti in corrispondenza di ogni corda parallela all'asse x 1, proporzionali alla distanza da questo. Per > 0 le tensioni sono positive, ossia di trazione, per x > 0, negative, ossia di compressione, per x < 0, come illustrato in Figura 3. "Osservando la trave disposta con l'asse x 3 orizzontale e l'asse x verticale ed orientato verso il basso, il momento flettente e' positivo se le due coppie applicate sono dirette in senso orario sulla estremita' di sinistra ed in senso antiorario su quella di destra, e le tensioni che ne derivano sono positive al di sotto dell'asse neutro x 1, e negative al di sopra. Si spiega cosi' la dizione comune, secondo cui in una trave ad asse orizzontale il momento flettente positivo tende le fibre inferiori e comprime quelle superiori". [ Franciosi.] Di basilare importanza e' la seguente:

8 198 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb Definizione. - Il piano su cui si annullano gli spostamenti si dice piano neutro, e la traccia di tale piano sulla sezione retta si dice asse neutro. Ne segue, in questo caso, che il piano neutro coincide con il piano X 1 - X 3, e l'asse neutro coincide con l'asse X 1 G X 3 X 1 + X X Figura 3. - Momenti flettenti positivi e diagramma di tensioni alla Navier à nalisi degli spostamenti Utilizzando la (34), gli spostamenti da flessione si scrivono: u 1 = u 1 Hx 1, x L = ν E I 11 x 1 x u = u Hx 1, x, x 3 L = ν x + x 3 E I 11 ν x 1 (36) u 3 = u 3 Hx, x 3 L = x x 3 E I 11 ü Le sezioni rette Si consideri ora un punto, di coordinate Hx 1, x, x 3 L, e si deducano le coordinate Hx 1, x, x 3 L del suo trasformato ': ξ 1 = x 1 + u 1 ξ = x + u = x 1 ν E I 11 x 1 x = x ν x + x 3 E I 11 ν x 1 (37) ξ 3 = x 3 + u 3 = x 3 + E I 11 x x 3 Quindi, i punti della sezione retta, di equazione x 3 = k, si troveranno, a deformazione avvenuta, sulla superficie di equazione: ξ 3 = k 1 + E I 11 x = kb1 + E I 11 Hξ u LF (38) In prima approssimazione si puo' trascurare u rispetto ad x, e quindi confondere x con x, e quindi la (38) diviene:

9 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 199 ξ 3 = k 1 + E I 11 ξ (39) T EI 11 G X 3 X Figura 4. - La planeita' delle sezioni rette E' questa l'equazione di un piano, e quindi si giustifica l'affermazione che nella sollecitazione di flessione le sezione rette si conservano piane. Inoltre, la traccia del piano di equazione (39) sul piano HX - X 3 L interseca l'asse X nel punto T di coordinate (0, - EI 11 ê ) come, illustrato in Figura 4 ed in Figura 5. Poiche' quanto detto non dipende da k, e quindi e' valido per qualsiasi sezione retta, si puo' concludere che a seguito della deformazione i punti della generica sezione retta apparterranno al fascio di piano con sostegno la retta passante per T ed ortogonale al piano HX - X 3 L. La quantita' r = -EI 11 si dice raggio di curvatura, ed il suo inverso ρ = 1 r = EI 11 (40) e' detta curvatura. Si puo' quindi concludere che le rette del piano X 1 - X 3, e quindi anche l'asse X 3, si trasformano in archi di cerchio.

10 00 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb Figura 5. - La planeita' delle sezioni rette (adattato da G. Fichera "Problemi analitici nuovi nella Fisica Matematica classica) ü Le deformazioni nel piano Le sezioni rette di equazione x 3 = k restano piane, come si e' appena visto, ma cio' non significa che non esistano deformazioni nel piano delle sezioni rette stesse. Ed infatti, si consideri il piano di equazione x 1 = h, i cui punti si portano, a deformazione avvenuta, sulla superficie di equazione: ξ 1 = x 1 + u 1 = h 1 ν EI 11 x h 1 ν EI 11 ξ (41) Nell'ordine di approssimazione che ha condotto a confondere x con x la (41) e' ancora un piano, parallelo all'asse X 3, la cui traccia sulla generica sezione retta interseca l'asse X in un punto T' di coordinate (0, E 11 n ). La quantita' r' = EI 11 n e' ancora un raggio di curvatura, ed il suo inverso r' = nr e' detto curvatura anticlastica. Complessivamente, un tronco di trave soggetto a flessione si deforma come illustrato in Figura 6

11 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 01 Figura 6 - La deformazione di un tronco di trave soggetto a flessione ü L'asse Si consideri l'asse della trave, di equazione x 1 = x = 0. seguito della deformazione, i suoi punti subiranno gli spostamenti: u 1 = 0 u = u 3 = 0 E I 11 x 3 Pertanto l'asse si trasforma in una parabola, di curvatura: (4)

12 0 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb χ = d u dx 3 K1+J du N 3ê O dx 3 (43) D'altro canto, nella solita ipotesi di piccoli gradienti di spostamento e' lecito approssimare ad 1 il denominatore, ritrovando la (40): χ d u dx 3 Sono utili le due seguenti: = E I 11 = ρ (44) Def - Il piano che contiene la deformata dell'asse si chiama piano di flessione, ed in questo caso coincide con il piano X - X 3. La traccia del piano di flessione sulla sezione retta, si chiama asse di flessione, ed in questo caso coincide con l'asse X. Def.- Il piano ortogonale all'asse momento della coppia applicata si chiama piano di sollecitazione, ed in questo caso coincide con il piano X - X 3. La traccia del piano di sollecitazione sulla sezione retta si chiama asse di sollecitazione, ed in questo caso coincide con l'asse X. à L'energia di deformazione L'energia di deformazione L di un tronco di trave lungo l, soggetta a sforzo normale puo' agevolmente calcolarsi in base alla definizione: L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = EI 11 l x dx 3 = 0 Σ l EI 11 (45) Un'utile espressione alternativa si ottiene anche in questo caso esprimendo l'energia elastica in funzione degli spostamenti, utilizzando la (44): L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = EI l 11 d u 0 dx 3 dx 3 (46) Flessione retta fuori del piano nalogamente al caso precedente puo' trattarsi il caso in cui la tensione normale s 33 sia l'unica componente di tensione presente, e che sia distribuita con legge lineare lungo l'asse X 1. E' questa la terza sollecitazione semplice di De Saint-enant, per cui quindi: S = con s 33 = c x σ 33 (47)

13 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 03 à La deduzione degli spostamenti Ripetendo i passaggi analitici gia' illustrati per la sollecitazione semplice di flessione nel piano si ottengono le deformazioni: e 11 = ν E c x 1; e = ν E c x 1; e 33 = c E x 1; e 1 = e 13 = e 3 = 0 (48) che in termini di derivate di spostamenti si scrivono: u 1 = ν E c x 1; u = ν E c x 1; u 3 = c E x 1; u 1 + u = 0; u 1 + u 3 = 0; u + u 3 = 0; Le prime tre condizioni (49) forniscono: (49) u 1 = ν E c x 1 + φ 1 Hx, x 3 L u = ν E c x 1 x + φ Hx 1, x 3 L (50) u 3 = c E x 1 x 3 + φ 3 Hx 1, x L che utilizzate nella quarta condizione fornisce: φ 1 νc E x + φ = 0 φ 1 = νc E x φ φ 1 = νc E x + ψ 1 Hx, x 3 L Ne segue che ora la prima componente di spostamento si scrivera': u 1 = ν E c x 1 + ν E x + ψ 1 Hx, x 3 L Introducendo anche questa espressione nella quinta condizione si ha: (51) (5) ψ 1 + c E x 3+ φ 3 = 0 ψ 1 = c E x 3 φ 3 ψ 1 = c e quindi la terna di spostamenti diviene: E x 3 + χ 1 Hx, x 3 L (53) u 1 = ν E c x 1 + νc E x c E x 3 + χ 1 Hx, x 3 L u = ν E c x 1 x + φ Hx 1, x 3 L (54) u 3 = c E x 1 x 3 + φ 3 Hx 1, x L E' possibile ora verificare che il campo di spostamenti ( c 1,f, f 3 ) non causa deformazioni, e quindi si potra' assumere la terna di spostamenti:

14 04 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb u 1 = cν E x 1 + x 3 ν x u = ν E c x 1 x u 3 = c E x 1 x 3 à La deduzione delle caratteristiche pplicando le definizioni di caratteristiche di sollecitazione esterna si ottiene, ponendo l'origine nel baricentro ed orientando gli assi secondo le direzioni centrali di inerzia F HL 1 = σ 13 d = 0; F HL = σ 3 d = 0; F HL 3 = σ 33 d = c x 1 d = 0; (56) M HL 1 = σ 33 x d = c x 1 x d = 0; M HL 3 = Hσ 3 x 1 σ 13 x L d = 0; (57) M HL = σ 33 x 1 d = c x 1 d = c I ; dove l'integrale: I = x 1 d e' il momento di inerzia della sezione retta rispetto all'asse verticale x. (58) nalogamente, sulla faccia di sinistra si annullano tutte le c.s.e. a parte la coppia risultante M H1L : F 1 H1L = F H1L = 0; F 3 H1L = H1L = M 3 H1L = 0; (59) M H1L = M HL = ci (60) Quindi, le caratteristiche della sollecitazione esterna sulle due basi si riducono a due coppie uguali e contrarie: M HL = M = c I ; M H1L = M (61) e la sollecitazione si chiama sollecitazione semplice di flessione, o anche flessione retta, relativa all'asse x.

15 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 05 Figura 7- La flessione fuori del piano M G X 3 X 1 + M X X Figura 8 - Momenti flettenti positivi per la flessione fuori dal piano L'unica caratteristica di sollecitazione interna e' il momento flettente M : da cui: M = σ 33 x 1 d = c I (6) ed infine: c = M I (63) σ 33 = M I x 1 (64) Nota - Si e' giunti quindi ad una formula analoga alla formula di Navier: Essa assicura che le tensioni si annullano sull'asse X, sono costanti in corrispondenza di ogni corda parallela all'asse X, proporzionali alla distanza da questo. Per M > 0 le tensioni sono positive, ossia di trazione, per x 1 < 0, negative, ossia di compressione, per x 1 > 0. In questo caso, quindi, il piano medio e' il piano X - X 3, mentre l'asse neutro coincide con l'asse X.

16 06 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb nalisi degli spostamenti E' possibile dimostrare che anche in questo caso le sezioni rette si trasformano in piani, e quindi e' preservata la planeita' delle sezioni rette. Inoltre, l'asse della trave si tramuta in una curva contenuta nel piano X 1 - X 3, che quindi e' in questo caso il piano di flessione, mentre l'asse di flessione sara' la traccia del piano di flessione sulla sezione retta, e quindi sara' l'asse X 1. Cio' giustifica il nome corrente di flessione fuori del piano. Infine, la relazione tra la caratteristica della sollecitazione interna M e la curvatura dell'asse della trave si scrivera' in questo caso: χ = d u 1 dx 3 = M E I (65) Il piano ortogonale all'asse momento della coppia applicata si chiama piano di sollecitazione, ed in questo caso coincide con il piano X 1 - X 3. La traccia del piano di sollecitazione sulla sezione retta si chiama asse di sollecitazione, ed in questo caso coincide con l'asse X 1. à L'energia di deformazione L'energia di deformazione L di un tronco di trave lungo l, soggetta a sforzo normale puo' agevolmente calcolarsi in base alla definizione: L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = M EI l x 1 dx 3 = 0 Σ M l EI (66) ed ancora: L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = EI l d u 1 0 dx 3 dx 3 (67) L'ortogonalita' energetica Si immagini ora che il tronco di trave sia soggetto contemporaneamente ad una forza assiale F 3 HL e a due coppie flettenti HL e M HL. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, la tensione normale s 33 sara' fornita da: σ 33 = N + I 11 x M I x 1 Ne segue che l'energia di deformazione sara' fornita da: (68) L = 1 σ 33 e 33 v = 1 E σ 33 v = 1 E N + I 11 x M I x 1 v (69) L'integrando non dipende dalla variabile x 3, e quindi potra' scriversi, indicando con l la lunghezza della trave:

17 Lezione 4 - Sforzo assiale e flessione.nb 07 L = l E Σ N + I 11 x M I x 1 N l E + l + M l + l N EI 11 EI E l E N M I Σ x 1 l E = I 11 Σ x M x 1 x I 11 I Σ Se gli assi X 1 ed X sono coincidenti con gli assi centralli di inerzia, allora gli ultimi tre integrali si annullano, e quindi: L = N l (71) E + l + M l EI 11 EI L'energia di deformazione di un tronco di trave soggetto contemporaneamente a sforzo normale, flessione retta nel piano e flessione retta fuori del piano e' pari alla somma delle energie elastiche dovute alla presenza di solo sforzo normale, di solo momento flettente nel piano, e di solo momento flettente fuori del piano. In altri termini, le energie mutue di deformazione si annullano, e le tre sollecitazioni sono ortogonali in senso energetico. Note [Franciosi.] - Fondamenti di Scienza delle Costruzioni ol. II, pag. 137, Liguori, Napoli, 1987 [Torna al testo] Grafici à Figura 3 à Figura 4 à Figura 8