Cerchio di Mohr. n y. n x

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1 t nm m t n P n s n Sia P un punto generico del continuo e z una generica retta passante per esso. Fissato un riferimento cartesiano {,, z}, siano n=[n n 0] T ed m=[m m 0] T due versori ortogonali nel piano {, }. m m m n n n z Il cerchio di Mohr consente di conoscere la tensione normale s n e la componente della tensione tangenziale t nm su uno qualunque degli elementi piani del fascio di sostegno z; ciò una volta note le suddette tensioni su due qualunque piani ortogonali al fascio. 1

2 Se la coppia di versori {m, n} si sovrappone alla coppia di versori {i, j} degli assi ed mediante la rotazione oraria j, le componenti del versore n si possono esprimere come segue: n = cos( j) = m ; n = sin( j) =- m ; n = 0 = m z z Si ricavano così le equazioni parametriche del cerchio di Mohr nel piano delle tensioni {s n, t nm }: s = n s n = s cos ( j) + s sin ( j) + 2t sin( j)cos( j) T 2 2 n = [ s + s ] + [ s - s ]cos(2 j) + t sin(2 j) T 2 2 tnm = m s n = [ s - s]sin( j)cos( j) + t é cos ( j) sin ( j) ù ë - û =- [ s - s ]sin(2 j) + t cos(2 j) 1 2 avendo utilizzato le identità: 1- cos(2 j) 1+ cos(2 j) = = = sin( j)cos( j) sin(2 j) ; sin ( j) ; cos ( j) 2

3 Elevando al quadrato ambo i membri delle precedenti equazioni.( sn =... ; tnm =...) e sommandoli si ricava l equazione in forma implicita del cerchio di Mohr: æ s s s s s + ö æ t - ö ç t è 2 ø çè 2 ø n - + nm = ç + t nm da cui si possono evincere le coordinate del centro O: s + s O º,0 2 { } O r s n ed la misura del raggio r: r 2 æs - s ö º ç + çè 2 ø t 2 3

4 I punti del cerchio di Mohr rappresentano tutti i possibili stati di tensione sulle giaciture aventi normale n appartenente al piano {, }. Nel rappresentare il cerchio di Mohr si adottano le seguenti convenzioni: 1. la tensione normale s n è positiva se di trazione; 2. la componente della tensione tangenziale t nm è positiva se tende a far ruotare in senso orario l elemento di volume a cui è applicata. Così facendo alla rotazione oraria j della giacitura di normale n corrisponde sul cerchio di Mohr una rotazione oraria 2j del punto A n rappresentativo dello stato di tensione su tale giacitura. s t s m n j + s j = 0 n t nm m + n + n t nm s n m j = 2 p 4

5 Costruzione del cerchio di Mohr Note le componenti s, s e t il cerchio di Mohr corrispondente al fascio di piani aventi per sostegno l asse z si può costruire come segue: 1. Nel piano {s n, t nm } si individua il punto X {s, -t }, rappresentativo dello stato di tensione nel piano ortogonale all asse. 2. Si individua il punto Y {s, t }, rappresentativo dello stato di tensione nel piano ortogonale all asse. 3. Si traccia il diametro XY. Si individua, quindi, il punto medio O (all intersezione con l asse delle ascisse), centro del cerchio di Mohr. 4. La retta orizzontale passante per il punto X e la retta verticale passante per il punto Y si intersecano nel punto N del cerchio di Mohr, detto polo delle normali. 5. Il punto M, diametralmente opposto sul cerchio di Mohr, è detto polo delle giaciture e si trova all intersezione tra la retta verticale passante per il punto X e la retta orizzontale passante per il punto Y. 5

6 Polo delle normali L individuazione del polo delle normali N consente di valutare la tensione normale s n e la componente della tensione tangenziale t nm su una generica giacitura di normale n=[cos(j) sin(j) 0] T, inclinata dell angolo j rispetto all asse. Infatti, conducendo da N una retta inclinata dell angolo j rispetto all orizzontale si intercetta sul cerchio di Mohr il punto A n {s n, t nm }, rappresentativo dello stato di tensione sulla giacitura ad essa ortogonale (di normale n). Polo delle giaciture Analogamente, conducendo da M una retta inclinata dell angolo j rispetto alla verticale si intercetta sul cerchio di Mohr il punto A n {s n, t nm }, rappresentativo dello stato di tensione sulla giacitura ad essa parallela. 6

7 t nm Cerchio di Mohr j Y º { s, t } A º { s, t } n n nm O 2j n s n s t N j X º { s,- t } i s 7

8 t nm Cerchio di Mohr j Y º { s, t } M j O 2j A º { s, t } n n nm s n N n X º { s,- t } i 8

9 Direzioni delle tensioni normali estreme È possibile determinare graficamente le giaciture su cui, al variare dell angolo j, si hanno le tensioni normali massima s 1 e minima s 2. Queste giaciture, in cui risulta t nm =0, sono ortogonali ai segmenti che congiungono il polo delle normali N con i punti A 1 {s 1, 0} ed A 2 {s 2, 0} in cui il cerchio di Mohr interseca l asse delle ascisse. Direzioni delle tensioni tangenziali massime È anche possibile determinare le giaciture su cui si ha la tensione tangenziale massima t ma =r/2. Queste giaciture sono ortogonali ai segmenti che congiungono il polo delle normali N con i punti A 3 {(s +s )/2, t ma } ed A 4 {(s +s )/2, -t ma }. 9

10 t nm Cerchio di Mohr s 2 s 1 Y º { s, t } n 2 n 1 A º { s,0} 2 2 O A º { s,0} 1 1 s n N X º { s,- t } 10

11 t nm Cerchio di Mohr n 3 t ma Y º { s, t } s + s A º, 3 2 { } t ma O s n N X º { s,- t } s + s A º,- 4 2 { } t ma n 4 11

12 j z s z m n t nm t nm s m Se la retta z, sostegno del fascio di piani di normale n, coincide con una direzione principale di tensione, allora le tensioni normali massima s 1 e minima s 2 fornite dal cerchio di Mohr al variare dell angolo j, sono tensioni principali. Solo così, infatti, risulta t nz =0: nella giacitura di normale n, cioè, risulta nulla la componente della tensione tangenziale parallela alla retta z. Si definiscono, quindi, cerchi principali di Mohr quelli relativi ai fasci di piani che si appoggiano alle direzioni principali di tensione. In questo caso le tensioni s n e t nm descrivono completamente il vettore tensione: t n = n s n + m t nm. s n 12

13 Siano s, s h, e s z le tre tensioni principali nel generico punto P del continuo. È possibile costruire nel piano {s n, t nm } i tre cerchi principali di Mohr, ciascuno dei quali relativo alle tre direzioni principali di tensione, h, e z. I tre cerchi hanno centro nei punti: O 1 º{s +s h,0}, O 2 º{s h +s z,0} ed O 3 º{s z +s,0} e, rispettivamente, hanno raggio: r 1 º½s -s h ½/2, r 2 º½s h -s z ½/2 ed r 3 º½s z -s ½/2. L area delimitata dai tre cerchi principali di Mohr si chiama arbelo di Mohr (dal nome di un antico attrezzo artigianale greco per la lavorazione del cuoio, che aveva la lama di forma simile). Si dimostra che lo stato tensionale in termini di tensione normale s n e di tensione tangenziale t nm su una giacitura di normale n comunque orientata nello spazio, risulta descritto da un punto interno a questa regione. 13

14 t nm r 1 r 2 s z s O h O O s s n r 3 14

15 Stato tensionale piano Stato tensionale idrostatico s = z 0 s h s s = s = s ¹ h z 0 Stato tensionale monoassiale Stato tensionale cilindrico s h = s = 0 s s = s ¹ 0 s z h z 15

16 z Cerchio di Mohr h b Si vogliono tracciare i cerchi principali di Mohr per una parete muraria soggetta a: peso proprio; carichi verticali trasmessi dalle strutture orizzontali (solai e copertura). I paramenti laterali sono scarichi. La parete è snella, nel senso che lo spessore b è piccolo rispetto all altezza h: b h. Si assimila la parete ad un continuo omogeneo. 16

17 Con buona approssimazione si può assumere che in tutti i punti della muratura la tensione sul piano di normale sia nulla: s =t =t zz =0. Le componenti di tensione non nulla sono, quindi, le tensioni normali s e s z, nonché la tensione tangenziale t z. Essendo t =t zz =0, la tensione s =s è tensione principale. Inoltre, essendo s =0, lo stato tensionale è piano. Di conseguenza, il cerchio di Mohr tracciato attraverso le componenti di tensione s, s z, e t z è un cerchio principale, e consente la determinazione delle altre due tensioni principali s h e s z. Il disegno degli altri due cerchi principali è immediato, dovendo passare per i punti A h º{s h,0} e A z º{s z,0} e per A º{0,0}, coincidente con l origine degli assi. Infine, spesso le componenti di tensione s, e t z risultano trascurabili rispetto alla tensione normale s z : questo perché i carichi sono on genere verticali e pressoché costanti ad una data quota. 17

18 Sulla base delle precedenti considerazioni, lo stato tensionale nella parete muraria in esame si presenta in prima approssimazione come monoassiale, completamente definito dalla sola componente normale di compressione s z <0. Due cerchi principali di Mohr sono coincidenti: essi sono compresi nei quadranti di tensione normale di compressione e passano per l origine degli assi. Il terzo cerchio principale di Mohr degenera in un punto e coincide con l origine degli assi. 18

19 Analisi dello stato di deformazione Come fatto per lo stato di tensione, anche lo stato di deformazione può essere descritto mediante i cerchi di Mohr, riportando in ascisse la deformazione estensionale e n, secondo la direzione di normale n, ed in ordinate lo scorrimento angolare g nm /2, tra due direzioni ortogonali di normali n ed m. Le convenzioni da adottare sono analoghe a quelle per lo stato di tensione. Più precisamente: e n >0 per le dilatazioni e e n <0 per le contrazioni, così come s n >0 per le trazioni e s n <0 per le compressioni; g nm >0 se la corrispondente tensione tangenziale t nm tende a far ruotare in senso orario l elemento di volume a cui è applicata. Una volta tracciato il cerchio di Mohr, è possibile ottenere i valori estremi di deformazioni estensionali e scorrimenti angolari, nonché le giaciture su cui si manifestano. 19

20 Analisi dello stato di deformazione Esempio: Noto lo stato di deformazione rilevato sulla superficie di un componente metallico in acciaio: e = e = e z = g = calcolare le deformazioni principali e le massime deformazioni tangenziali. g nm /2 Xº{e,g } g ma = e min = Zº{e z,0} e ma = e n Yº{e,-g } 20