Lezione 29 - La teoria approssimata

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1 Lezione 9 - La teoria approssimata [Ultimarevisione: revisione:3 3marzo marzo009] Nella Lezione precedente si e' illustrata la trattazione del quinto e sesto caso di sollecitazione semplice di De Saint-Venant, giungendo a definire uno stato tensionale caratterizzato da una tensione normale variaile linearmente lungo l'asse della trave e da un campo vettoriale piano di tensioni tangenziali. Tuttavia, la determinazione effettiva di tale campo vettoriale riciede la conoscenza della funzione di taglio FHx, x L, soluzione di un prolema di Dini-Neumann definito sulla sezione retta, e tale strada risulta poco agevole, conducendo a formule troppo complesse da poter essere utilizzate nella pratica tecnica. Si illustra pertanto in questa Lezione una trattazione approssimata per la ricerca delle tensioni tangenziali, ce rinunzia a soddisfare la condizione di congruenza, sulla terza componente del rotore, limitandosi a soddisfare le condizioni di equilirio. Tale teoria, precedente la soluzione esatta di De Saint-Venant e' dovuta all'ingegnere russo D.J. Jourawski, ed e' ance talvolta attriuita al francese redt.[jourawsky] La trattazione di Jourawski Si consideri un solido del tipo trave, soggetto a momento flettente e taglio, e si isoli un elemento di trave dv, identificato da due sezioni rette qualsiasi a distanza x 3 ed x 3 + dx 3 dalla ase di sinistra. Poi si identifici la porzione dv' di dv, ottenuta segando dv con un piano CD parallelo al piano X 3 ce divide la sezione retta S mediante una corda, come illustrato in Figura. P S S S X 3 D C X x 3 dx 3

2 6 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n S' ê ê X Figura - Il volume dv', e la corrispondente sezione S' Come illustrato in Figura, l'elemento di volume dv' e' soggetto alle tensioni normali s 33, positive se di trazione, agenti sulle due facce verticali del volume, ad una distriuzione di tensioni tangenziali s 3 agenti sul piano CD, positive se dirette in senso contrario all'asse della trave (atteso ce la normale uscente dal piano e' orientata in senso contrario all'asse X ), e ad una distriuzione di tensioni tangenziali s 3 agenti sui piani verticali e dirette - secondo la convenzione sui segni - verso l'alto sulla sezione a distanza x 3 dalla ase, e verso l'alto sulla sezione a distanza x 3 + dx 3 dalla ase di sinistra. Imponendo l'equilirio del volume dv' alla traslazione lungo l'asse x 3 della trave si a: σ 33 Hx 3 L d + σ 33 Hx 3 + dx 3 L d σ 3 d = 0 Σ' Σ' CD dove S' e' l'area della sezione retta sottostante la corda. Si potra' poi sfruttare l'aritrarieta' di dx 3 per scrivere: () σ 33 Hx 3 +dx 3 L = σ 33 Hx 3 L + σ 33 Hx 3 L dx x 3 3 trascurando i contriuti di ordine superiore. Ne segue ce la () potra' scriversi: () Σ' σ 33 dx x 3 d σ 3 d = 0 3 CD (3)

3 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 7 C s 3 s 3 D V' Σ' dx 3 s 3 D s 3 s 3 s 33 s 33 +ds 33 dx 3 Figura - L'elemento di trave da equilirare alla Jourawski e le tensioni su di esso agenti e sfruttando la (69) della Lezione precedente:

4 8 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n si a: σ 33 = T x I Hl x 3 L (4) T dx I 3 x d σ 3 d = 0 Σ' CD Indicando con S ' il momento statico della parte di sezione retta S' rispetto all'asse x aricentrico si a poi: (5) T S' dx I 3 σ 3 d = 0 CD (6) Infine, si utilizza la fondamentale: Ipotesi di Jourawsky - La tensione tangenziale s 3 si puo' supporre costante sul piano CD In questa ipotesi, l'integrale e' facilmente risolviile, ottenendo: T S ' I dx 3 σ 3 dx 3 = 0 Data l'aritrarieta' di dx 3 si giunge infine alla formula di Jourawski: (7) σ 3 = T S ' I ce permette il calcolo approssimato della componente tangenziale di tensione s 3 senza conoscere la funzione di taglio F. L'altra componente di tensione, s 3, puo' calcolarsi in ase alla terza equazione indefinita dell'equilirio: (8) σ 3 + σ 3 + σ 33 = 0 x x x 3 e derivando rispetto ad x : (9) σ 3 x + σ 3 + σ 33 = 0 x x x x 3 (0) Utilizzando la (8) e la (4), si vede ce sia il secondo ce il terzo termine si annullano, e quindi si puo' dedurre ce s 3 e' lineare in x. Conoscendo due valori di s 3 lungo la corda, di conseguenza, si puo' ricavare la s 3 in qualsiasi altro punto. Ma nei punti estremi e della corda, (cfr. Figura 3) occorre ce sia verificata la condizione di equilirio: σ 3 n + σ 3 n = 0 () e quindi la tensione s t risultante di s 3 e s 3 dovra' essere tangente al contorno, come gia' noto dalla teoria generale di De Saint-Venant. Questo risultato permette di ricavare l'andamento di s 3. Se infatti le tangenti al contorno in ed in si incontrano nel punto Q, la s 3 in un qualsiasi altro punto R di puo' esser determinata dalla conoscenza della direzione del vettore s t, e del valore della sua componente verticale s 3. Se a e' l'angolo formato tra RQ e l'asse x, si a: σ 3 = σ 3 tan α ()

5 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 9 s 3 R s 3 s 3 s t st s t s 3 a Q X Figura 3. - Il calcolo della componente s 3 di tensione à Il caso generale La teoria fin qui discussa e' caratterizzata dall'aver scelto la corda = parallelamente all'asse neutro, e quindi un piano CD parallelo al piano coordinato - X 3. Tuttavia l'ipotesi di Jourawski puo' ritenersi valida su qualunque piano, come si illustrera' in questo paragrafo.

6 30 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n P S S S X 3 D C X x 3 dx 3 l S' ê ê m Figura 4 - Il caso della corda generica X Scelta allora una corda generica, atta ad identificare il volume di trave dv', si fissi un sistema di riferimento locale HO, l, m, x 3 L, con asse l lungo la corda, e l'asse m ad esso ortogonale, ed in modo ce la terna Hl, m, x 3 L sia levogira. Ne segue ce le componenti di tensione ce ora entreranno in gioco per l'equilirio del volume dv' lungo l'asse X 3 sono la tensione normale s 33 e la componente tangenziale s m3, come illustrato in Figura 5: σ m3 = T x S ' I (3)

7 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 3 C s m3 D s 3 m m l Σ' V' dx 3 Figura 5 -Le tensioni tangenziali nel caso della corda non parallela all'asse neutro Le componenti tangenziali s l3 lungo la corda possono calcolarsi, a somiglianza di quanto detto nel caso particolare, partendo dalla terza equazione indefinita dell'equilirio, ce ora si scrive: σ l3 l + σ m3 m + σ 33 = 0 x 3 Si dovra' ora derivare due volte rispetto ad l, ottenendo: (4) 3 σ l3 l σ m3 l m + 3 σ 33 l = 0 x 3 (5) Il secondo termine e' nullo, in quanto s m3 e' per ipotesi costante lungo la corda, mentre il terzo termine e' nullo perce' s 33 varia linearmente lungo la corda stessa. Ne segue ce dovra' essere: 3 σ l3 l 3 = 0 e quindi l'andamento di s l3 lungo la corda sara' paraolico: (6) σ l3 = al +l +c (7) Come gia' discusso, e' possiile conoscere i due valori della s l3 agli estremi della corda, sfruttando la conoscenza della direzione del vettore t. Occorre ora un terzo valore, ce potra' essere fornito dalla pendenza del diagramma in un punto qualsiasi. Tale pendenza si calcola, a partire dalla (4), come:

8 3 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n σ l3 l = σ m3 m σ 33 = x 3 T J I m J S ' N x N = T J I S ' m S ' m x N (8) Il fattore di taglio L'energia di deformazione tagliante si scrivera' ora, adottando le espressioni approssimate di Jourawski: L t = H σ 3 e 3 + σ 3 e 3 L V = V 3 VHσ + σ 3 L V = T l I S' Σ Volendo scrivere l'energia di deformazione tagliante nella forma: L t = κ T l occorrera' introdurre un fattore di taglio, fornito da: H +tg αl (9) (0) κ = S' I Σ H +tg αl () La sezione rettangolare Si consideri la trave a sezione rettangolare di luce l, e sia essa soggetta ad uno sforzo di taglio diretto secondo una delle direzioni centrali di inerzia, ad esempio la verticale, come illustrato in Figura 3. Ne segue ce la flessione ce sempre si accompagna allo sforzo di taglio sara' una flessione retta con asse di sollecitazione verticale, s = x ed asse neutro x. Identificata la generica corda parallela all'asse neutro, a distanza x da esso, il momento statico dell'area omreggiata rispetto all'asse e' fornito da: S ' = J x N J J x N +x N = J 4 x N e poice' il momento di inerzia aricentrico I dell'intera sezione rispetto all'asse e' pari a: () I = 3 si a suito, per la formula di Jourawski: (3) σ 3 = TS ' I = 6 T 3 J 4 x N (4)

9 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 33 S' T x -x 4 + x ÅÅÅ ê ê X Figura 6 - La sezione rettangolare soggetta a taglio La componente di tensione s 3 varia quindi linearmente lungo l'altezza, si annulla agli estremi, dove x = ± /, e raggiunge il valore massimo in mezzeria, ossia in corrispondenza dell'asse neutro, dove x = 0: σ 3 max = 3 T (5) T 3 T ÅÅ X Figura 7 - Il diagramma delle tensioni per la sezione rettangolare

10 34 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n La risultante delle tensioni s 3 e' una forza T r pari allo sforzo T, aricentrale e diretta verso il asso: T r = 0 ê ê σ 3 x x = 6 T 3 êj 0 ê 4 x N x x = T (6) La componente s 3 e' ovunque nulla, poice' e' ovunque a = 0, mentre il fattore di taglio puo' calcolarsi come: κ = S' I Σ 6 H +tg αl = Σ 4 J e svolgendo l'integrale si a, in definitiva: κ = x N = êj 4 5 ê 4 x N x (7) (8) Note [Jourawsky] - Traggo queste notizie da S.P. Timosenko, "History of Strengt of Materials", Mcraw-Hill ook Company 953, pagg. 4-4: Jourawsky [8-89] si diplomo' nel 84 presso l'istituto di Ingegneria delle Comunicazioni di S.Pietrourgo, dove ee per professori M.V. Ostrogradsky (matematica) e.t. Kupffer (resistenza dei materiali). Sviluppo' la teoria degli sforzi da taglio nelle sezioni rettangolari durante la progettazione dei ponti in legno per la ferrovia Mosca-S.Pietrourgo, negli anni , presentandola all'ccademia russa delle scienze nel 854. Per essa, ottenne il premio Demidoff. [Torna al testo] rafici