5. STRUTTURE IPERSTATICHE

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1 STRUTTURE PERSTTHE 5. STRUTTURE PERSTTHE metodi risolutivi generali sono due: 1. metodo delle forze. metodo degli spostamenti l primo è più intuitivo ed è preferibile per strutture poco iperstatiche. l secondo è più automatico ed è preferibile per strutture altamente iperstatiche (è uello solitamente usato nei programmi di calcolo automatico). Entrambi associano al sistema dato un altro sistema, detto sistema principale, che si sa risolvere con le conoscenze già acuisite e mediante il uale si giunge a risolvere il sistema dato. etodo delle forze l sistema principale è un sistema staticamente determinato, che si ottiene da uello dato togliendo vincoli fino ad avere una struttura isostatica etodo degli spostamenti l sistema principale è un sistema geometricamente determinato, che si ottiene da uello dato aggiungendo vincoli fino ad avere una struttura composta di travi perfettamente incastrate agli estremi Siste Sistema principale Sistema principale 37

2 STRUTTURE PERSTTHE l sistema principale è risolubile (sappiamo risolvere le strutture isostatiche). l sistema principale rispetta l euilibrio (è isostatico), ma non la congruenza (nei punti dove sono stati soppressi dei vincoli ho spostamenti e rotazioni diversi da uelli reali). Ritroviamo il sistema effettivo applicando al sistema principale le reazioni reali i dei vincoli che abbiamo soppresso (iperstatiche). l sistema principale è risolubile (sappiamo risolvere le travi incastrate). l sistema principale rispetta la congruenza (tutti i vincoli reali sono stati mantenuti), ma non l euilibrio (per tener bloccati i nodi occorre applicare ai nodi stessi forze e/o coppie che sono diverse da uelle reali) Ritroviamo il sistema effettivo applicando al sistema principale gli spostamenti e/o rotazioni reali ξ i dei nodi che abbiamo bloccato. i 38

3 STRUTTURE PERSTTHE ome determino le i? mpongo che producano nei punti del sistema principale dove abbiamo soppresso vincoli spostamenti e/o rotazioni che sommati a uelli provocati dal carico, ripristino i cedimenti reali (noti) di uei punti. Tutti uesti spostamenti e/o rotazioni si calcolano su un sistema che si sa risolvere (il sistema principale isostatico). uindi le euazioni determinatrici delle sono euazioni di congruenza. i ome determino le ξ i? mpongo che per produrli si applichino nei nodi del sistema principale forze e/o coppie che, sommate a uelle provocate dal carico, ripristinino le forze e/o coppie esterne realmente agenti sui nodi stessi (note). Tutte ueste forze e/o coppie si calcolano su un sistema che si sa risolvere (il sistema principale formato da un insieme di travi incastrate). uindi le euazioni determinatrici delle ξ i sono euazioni di euilibrio. alcolate le ξ i, si conoscono spostamenti e rotazioni agli estremi di tutte le travi e uindi con le formule della trave incastrata con cedimenti e rotazioni dei vincoli noti si possono determinare le N,, T. ETODO DEE FORZE ESEP Esempio 1 EJ cost. Sistema principale: Valutazione dell iperstatica : la rotazione α del sistema deve essere zero 0 x 39

4 STRUTTURE PERSTTHE α α + α N.. α e uindi devono evidentemente avere verso opposto (troveremo < 0 ) - Determinazione di α, ad esempio con le analogie di ohr (è il taglio in della trave ausiliaria) 0 EJ * EJ + 16EJ 16EJ α T 16EJ - Determinazione di α nello stesso modo + EJ * EJ α T 3EJ l 3EJ 6EJ 3 0 α α + α + ; (5) 16EJ 3EJ uindi: Esempio EJ EJ, E cost. E h Sistema principale: h 0

5 STRUTTURE PERSTTHE Determinazione dell iperstatica : l abbassamento dell estremo della mensola caricata da e da deve essere uguale all abbassamento dell estremo dell asta caricata da. - ensola: da esercizi precedenti: N - sta: ricordiamo che in una trave caricata assialmente e di luce, la d N dilatazione ε vale. E Nel nostro caso (in cui la lunghezza è denominata h e non ), l accorciamento complessivo h vale allora ε h Nh E 8EJ η ( ) 3 3EJ η ( ) x uindi: h η h h E η η η ; 3 h ; 8EJ 3EJ E J h uindi: 3 J 8 + h 3 3 J 8 + h 3 1

6 STRUTTURE PERSTTHE ETODO DEG SPOSTENT - ESEPO EJ cost. Sistema principale: Valutazione della rotazione β : il momento del sistema principale in deve essere zero + β 0 Per determinare, β, facciamo riferimento alle formule della trave incastrata che supponiamo nota Determinazione di : 8 EJ Determinazione di β : β β 8 EJ 0 + β + β uindi: β 3EJ 3EJ ncora con le formule della trave incastrata, posso ora determinare _ 3 l 16 _ EJ EJ 3 β 8 3EJ 16 +