BOZZA. Utilizzando il principio di identità, si può risolvere la struttura riportata in figura. q

Transcript

1 eione n. Richiami del metodo della congruena Utiliaione del principio di identità rascurabilità della deformabilità per sforo normale Utiliando il principio di identità, si può risolvere la uttura riportata in figura. Il sistema è una volta iperstatico (i), trattandosi di un unica asta con 4 gradi di vincolo (le due cerniere in e ). Data la simmetria della uttura e del carico (uttura simmetrica con carico simmetrico, o, più brevemente, uttura simmetrica), è possibile ridurre lo studio a uello di metà uttura, una volta che in si sostituisca il vincolo che rappresenta (staticamente e cinematicamente) la metà soppressa della uttura stessa. lla luce dei risultati ottenuti nella leione precedente, potremmo considerare la sola parte di sinia inserendo, al posto della metà uttura di dea, un bipendolo ad asse oriontale, che impedisce la rotaione e lo spostamento verticale della seione in, permettendone invece le traslaioni verticali (movimenti consentiti sull asse di simmetria in assena di vincoli). a uttura diventa uindi uella riportata in figura seguente. Siamo ancora in presena di una uttura una volta iperstatica (i), per cui l unico vantaggio nell utiliaione del principio di identità consiste, in uesto caso, nella possibilità di studiare soltanto metà uttura, estendendo in seguito i risultati alla porione non considerata, per simmetria dei diagrammi di sollecitaione, delle reaioni vincolari, degli spostamenti e delle deformaioni elastiche. a uttura, nell ottica del metodo della congruena, può essere risolta introducendo una incognita iperstatica conseguente alla soppressione di un vincolo. Eliminando, ad esempio, il vincolo alla rotaione offerto dal bipendolo in, l incognita X è rappresentata dalla reaione che tale vincolo esercitava sulla uttura di partena. OZZ Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni Revisione //

2 eione n. pag. III. ϕ X / Il valore di X verrà uindi ricavato imponendo la congruena tra i due sistemi, in uesto caso esplicitata dall euaione ϕ (annullamento del valore della rotaione in ), che rappresenta l euaione, da un punto di vista cinematico, del vincolo soppresso in. a rotaione dovrà essere calcolata nella uttura in cui tale movimento è consentito (cioè nella uttura principale ossia nella uttura ottenuta dalla uttura di partena per soppressione dei gradi di iperstaticità): annullare tale rotaione significa uindi imporre che il sistema dal uale siamo partiti sia euivalente in tutto e per tutto al sistema al uale siamo pervenuti. ale euivalena potrà essere istituita soltanto uando il valore dell incognita X garantirà l unica (per il teorema di Kirchhoff) soluione al tempo stesso euilibrata e congruente. Utiliando il principio di sovrapposiione degli effetti, la rotaione in è espressa, nella uttura principale gravata dei carichi esterni e dell incognita iperstatica X, dall euaione ϕ ϕ ( ) ϕ ( X) dove, rispettivamente, i due termini rappresentano la rotaione indotta dai soli carichi e uella indotta dal momento, per ora incognito, X. ncora per linearità, la rotaione indotta dalla coppia X può essere valutata attraverso l espressione ϕ ( X) X ϕ ( ) essendo ϕ () il valore della rotaione indotta in dall applicaione di una coppia con stessa direione e verso di X ma di intensità unitaria. In sostana, si ottiene uindi ϕ ϕ ( ) X ϕ ( ) Il vantaggio di tale posiione risiede nella tecnica di calcolo dei valori delle due rotaioni ϕ () e ϕ (). Il valore della rotaione ϕ () può infatti essere valutato facendo ricorso al principio dei avori Virtuali (PV) per travi deformabili: tale rotaione viene calcolata calcolando il lavoro che un opportuno sistema di fore fittiio compie rispetto agli spostamenti del sistema gravato dai carichi esterni. hiameremo tale sistema (uttura principale carichi esterni) sistema. Il sistema fittiio di fore è offerto, ad esempio, ancora dalla uttura principale in cui si ponga, come unica aione esterna, una coppia unitaria in, ossia una coppia che corrisponde, a meno del valore, proprio all incognita iperstatica del problema. Questo secondo sistema, che è uindi costituito dalla uttura principale gravata dalla aione della sola incognita iperstatica assunta, per il momento, unitaria, viene comunemente denominato come sistema. OZZ / Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

3 eione n. pag. III. X / sistema sistema Utiliando uindi il PV, possiamo valutare il lavoro che il sistema fitttiio di fore (sistema ) compie sul sistema reale di spostamenti (sistema ). Il lavoro virtuale esterno è offerto dalla relaione ( ) * e ϕ mentre il lavoro virtuale interno vale * i Da cui, uguagliando i due termini E ( ε γ k ) ds ds / χ G EJ ( ) χ ϕ ds E G EJ E sufficiente uindi risolvere le due utture che abbiamo indicato come sistema e sistema e valutare l integrale riportato per ottenere il valore della rotaione provocata in dai carichi. ale termine è sovente indicato, in termini generaliati, come η, intendendo, con tale notaione, di indicare il valore dello spostamento (generaliato, cioè può essere uno spostamento vero e proprio o una rotaione) in direione e verso dell incognita iperstatica X (da cui il pedice ) causata dall aione dei soli carichi esterni (il sistema, appunto, da cui il secondo pedice ). In maniera analoga, il valore della rotaione in causato dall aione di una coppia unitaria ancora applicata in, può essere ricavato ricorrendo al PV in cui il sistema fittiio di fore in uesto caso coincide con il sistema reale di spostamenti. Si ottiene cioè () * e ϕ mentre il lavoro virtuale interno vale OZZ * i o anche E χ G ( ε γ k ) ds ds ( ) χ( ) ( ) () ds E G EJ ϕ EJ Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

4 eione n. pag. III.4 Il termine, nella notaione utiliata nella scrittura dell euaione di üllerreslau, viene indicato con η, valore dello spostamento (generaliato) in direione e verso dell incognita iperstatica X (da cui il pedice ) causata dall aione dell incognita iperstatica posta uguale ad (ancora il sistema, per cui il secondo pedice è ). a risoluione dei due sistemi porge i risultati riportati nelle figure seguenti / V / sistema H SISE H Euilibrio alla rotaione (momenti rispetto ad ): H ( ) H Euilibrio alla traslaione verticale: V Euilibrio alla traslaione oriontale: H H ( ) H OZZ / / Euaioni dei diagrammi: () ( ) () ( ) /8 Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

5 eione n. pag. III.5 SISE V / sistema H Euilibrio alla rotaione (momenti rispetto ad ): / H OZZ H Euilibrio alla traslaione verticale: V Euilibrio alla traslaione oriontale: H H H / Euaioni dei diagrammi: () () Osservaione: i diagrammi precedenti sono stati disegnati utiliando le seguenti ben note convenioni per le aratteristiche di Sollecitaione (ds): Il verso di percorrena della uttura è concorde con e, di conseguena, si assumono positivi i momenti che tendono le fibre dalla parte tratteggiata. a convenione è euivalente a uella che si sintetia nella figura seguente, in cui sono riportate le caratteristiche di sollecitaione di segno positivo: Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

6 eione n. pag. III.6 a convenione consiste nell orientare la figura nella stessa direione dell asse della trave, lasciando il tratteggio dalla stessa parte di uello prescelto per la uttura. Sono positive le caratteristiche di sollecitaione se confrontate con uelle della figura, a seconda che si consideri la risultante delle fore a sinia della seione in cui si stanno calcolando (e allora i segni positivi sono uelli dati dalle ds come riportate a sinia) oppure delle fore a dea della seione (di conseguena i segni positivi sono uelli dati dalle ds come riportate a dea) Qualunue sia la convenione adottata, il diagramma dei momenti flettenti si disegna SEPRE dalla parte delle fibre tese. Una volta disegnati i diagrammi è possibile uindi ricavare le espressioni per gli spostamenti, attraverso le euaioni precedentemente scritte. ome già osservato, si trascurano i contributi deformativi dovuti al taglio supponendo la uttura sufficientemente snella. χ ϕ ( ) η ds E G EJ / d d E EJ 4 E 4 EJ ( ) χ( ) ( ) ϕ () η ds E G EJ / / d d E EJ Di conseguena si ha () 5 d EJ E 6 EJ φ φ 4 E 4 EJ E 5 ( ) X φ ( ) η X η X 6 EJ OZZ Per congruena, tale rotaione deve essere complessivamente nulla, per cui si ottiene 4 E 4 EJ X 5 E 6 EJ 6 J 6 J 4 EJ 5 J J 6 EJ 5 5 E a uesto punto interessante trarre un altra conclusione. I termini riportati all interno delle parentesi tonde sono, nel caso di utture snelle, spesso trascurabili rispetto all unità. Di uesto è facile rendersene conto pensando, ad esempio, ad una trave la cui seione sia rettangolare di dimensioni b h. In uesto caso si ha infatti b h J b h Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

7 eione n. pag. III.7 da cui J b h h b h Se, come supposto, la uttura è snella, il rapporto h/ assume valori molto inferiori ad (nel caso del solido del De Saint Venant, di solito, si assume che sia almeno un ordine di grandea maggiore rispetto alle dimensioni trasversali della seione, e, uindi, ad h). nche assumendo h/ /, si avrebbero valori del rapporto J/( ) nell ordine di /, e uindi assolutamente irrilevanti rispetto al valore. Di conseguena si può assumere per la uttura in figura, che X e consideraioni precedenti ci inducono a trarre uindi la conclusione che Per utture snelle il contributo deformativo dovuto allo sforo normale è, in generale, trascurabile rispetto a uello dovuto al momento flettente aturalmente l affermaione precedente cessa di avere validità nel caso in cui si considerino utture in cui il momento flettente è o totalmente assente o di gran lunga inferiore rispetto allo sforo normale presente. Il concetto di momento flettente inferiore rispetto allo sforo normale si può più correttamente esprimere valutando il rapporto tra () e () lungo lo sviluppo della uttura. Introducendo la grandea eccentricità definita, in ogni seione, dal rapporto () e () () dimensionalmente rappresentato da una lunghea, occorre uindi valutare che tale eccentricità sia sufficientemente grande, altrimenti il contributo deformativo dello sforo normale può risultare preponderante rispetto a uello offerto dal momento flettente. In generale, si affermerà uindi che il contributo deformativo offerto dallo sforo normale risulta trascurabile rispetto a uello del momento flettente se, lungo la trave, la disuguagliana seguente è verificata e() >> h a funione eccentricità rappresenta, lungo lo sviluppo della uttura, il luogo geometrico dei punti dai uali passa, in ogni seione, la risultante delle ds valutata in tale seione. ale luogo geometrico assume il nome di curva delle pressioni ed, in ogni punto, la risultante delle ds risulta tangente a tale curva. d esempio, in una uttura esclusivamente soggetta a sforo normale, l eccentrità è comunue nulla, e, di conseguena, la curva delle pressioni coincide con l asse geometrico della trave. Se, viceversa, considerassimo una uttura sottoposta a solo momento flettente, la curva delle pressioni tenderebbe ad assumere una distana infinita rispetto all asse. a posiione della curva delle pressioni rispetto all asse della trave assume uindi la funione di indicare la prevalena tra sforo normale e momento flettente, e di conseguena di giustificare o meno la trascurabilità delle deformaioni imputabili ad una piuttosto che all altra ds. OZZ Ricapitolando si può uindi affermare che Per utture snelle in cui la curva delle pressioni sia sufficientemente distante dall asse della trave, il contributo deformativo dovuto allo sforo normale è, in generale, trascurabile rispetto a uello dovuto al momento flettente Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

8 eione n. pag. III.8 ornando all eserciio proposto, possiamo concluderlo ricavando i valori delle sollecitaioni nella uttura. Il Principio di Sovrapposiione degli Effetti utiliato in precedena per ricavare il valore dell incognita iperstatica X può essere utiliato anche per tracciare i diagrammi finali. a uttura di partena può infatti essere pensata come la somma del sistema e del sistema moltiplicato per il valore di X. Si può, in sostana, affermare che ualunue effetto ξ() in ogni seione della uttura iperstatica può essere valutato come ξ () ξ () X ξ() dove ξ () rappresenta tale effetto valutato nel sistema mentre ξ () è lo stesso effetto nel sistema. on il termine effetto si possono identificare tutte le grandee statiche e cinematiche della uttura, uali reaioni vincolari, ds, deformaioni, spostamenti. d esempio, il diagramma del momento flettente può essere valutato come () () X () utiliando i diagrammi () e () già visti in precedena. elle figure seguenti sono uindi riportati i valori delle reaioni vincolari ed i diagrammi delle ds. / sistema effettivo 9/ / OZZ / / / / 9/ 8/8 Osservaione: i diagrammi del taglio e del momento hanno nel tratto verticale le euaioni 9 9 () ( ) () ( ) ottenute ancora per composiione lineare delle precedenti euaioni dei due sistemi. Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE

9 eione n. pag. III.9 Il valore massimo del momento flettente, si ottiene nella seione in cui la sua derivata (rappresentata dal diagramma del taglio) ha valore nullo. Quindi l ascissa di momento massimo vale 9 9 ( ) ( ) e il momento massimo assume di conseguena il valore max 8 ( ) Infine, le reaioni vincolari ed i diagrammi della uttura di partena possono essere ricavati per simmetria da uelli appena disegnati / 9/ / uttura di partena 9/ 9/ OZZ / 8/8 9/ 8/8 Gianni artoli ppunti di ecnica delle ouioni OZZ SOGGE REVISIOE