Il problema di de Saint Venant (1855)

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1 Il problema i e Saint Venant (855) Determinare lo spostamento, la tensione e la eformaione in tutti i punti i un solio elastico i forma cilinrica privo i carichi sulla superficie laterale (mantello) e sollecitato sulle basi a coniioni i carico globali. La conoscena i informaioni globali porta alla non unicità ella soluione el problema elastico; parleremo allora i "classe i soluioni equipollenti" che corrisponono al problema nella sua formulaione rilassata. Per affrontare lo stuio ell equilibrio elastico il e Saint Venant introuce un metoo, etto semi-inverso, che si avvale ell'assegnaione a priori i alcune proprietà ella soluione. Ipotesi e congetture alla base ella trattaione. a) la forma el solio consierato (allungato con seione compatta) e l'annullarsi elle componenti i carico sul mantello laterale suscitano l'intuiione che tra le fibre longituinali el cilinro si esercitino aioni mutue solo nella ireione elle fibre stesse mentre, nelle altre ireioni, le aioni tra le fibre risultano trascurabili. Poniamo quini nulle alcune componenti ella tensione: le tensioni normali lungo e e le relative tensioni tangeniali. forma el tensore elle tensioni b) la geometria particolare el corpo consente i supporre che la eformaione el cilinro ipena prevalentemente alle fore e ai momenti risultanti sulle basi e non alla ripartiione puntuale el carico sulle basi stesse; in altri termini, l'importana ell informaione puntuale nella istribuione el carico sulle basi tene a annullarsi allontananosi a esse. Il e Saint Venant espone nel moo seguente la sua congettura: Il moo i applicaione elle fore sulle facce estreme ei prismi è inifferente agli effetti sensibili prootti sul resto ella loro lunghea, i sorta che si può sempre, entro sufficiente approssimaione, sostituire le fore che sono applicate, con fore staticamente equivalenti, ossia otate egli stessi momenti totali e elle meesime risultanti, e istribuite secono la legge che è imposta alle formule ella traione, ella flessione e ella torsione, affinché esse siano perfettamente esatte.

2 Questa ipotesi, suggerita al e Saint Venant a consieraioni sui risultati sperimentali e affermata allo stesso come mera plausibile congettura, ha suscitato a parte i stuiosi l interesse per una formulaione e una imostraione rigorosamente matematica. La congettura i Saint Venant è stata elevata al rango i Principio i e Saint Venant. c) le ipotesi i linearità permettono i utiliare la proprietà i aitività elle soluioni el problema elastico e quini i proceere con una scomposiione ell'analisi ello stato elastico el solio cilinrico in quattro casi semplici: estensione, flessione pura, torsione, flessione e taglio. Questa scomposiione permette, per la semplicità ei singoli casi, una analisi più approfonita ella natura elle tensioni cui è sottoposto il solio cilinrico e il calcolo elle caratteristiche meccaniche che interessano il costruttore. La soluione generale si ottiene come combinaione ei quattro casi semplici. Per i casi i estensione e flessione pura la soluione trovata a e Saint Venant si presenta particolarmente semplice mentre per il caso i torsione e flessione e taglio la eterminaione ella soluione non è molto agevole a ecceione i forme particolari elle seioni trasversali. Caso per caso Saint Venant associa alle ipotesi i base (a) elle ipotesi aggiuntive, suggerite alla particolare coniione i carico, allo scopo i pervenire alle soluioni in forma esplicita.

3 Coniioni al contorno ( aa,, a, bb,, b, c ) Sul mantello: n = n,, n Le equaioni valie sulla superficie laterale (mantello) scarica assumono la forma n + n. Sul contorno ella seione trasversale la tensione tangeniale risultante è tangente alla seione, ossia ha componente nulla secono la normale. = n n Sulle basi: n = [,, ] n = [ ],, Sistema i carichi autoequilibrati,, n [ ] = l n = [ ],, = f = f = f = f = f = f l l l Caratteristiche i sollecitaione Sforo normale: N = agli: = = omento torcente: = ( ) L equilibrio alla traslaione lungo i tre assi e alla rotaione intorno a assume la forma: N = N cost = cost = cost = cost ( ) ( ) ( ) ( ) L equilibrio alla rotaione intorno agli assi e assume la forma: = + = ( ) ( ) omenti flettenti: = =

4 Soluione analitica in termini i tensioni Per affrontare la soluione el problema elastico scriviamo le equaioni inefinite i equilibrio, legame e congruena introuceno le ipotesi a); assumiamo inoltre fore i volume nulle. quaioni i equilibrio (): b,,, b,,, b,,, b,,, b,,, b,,,,, + +,,, = = = (, ) (, ) (, ) quaioni i legame (L): ε = ( ( + )) ε = ( ( + )) ε = ( ( + )) ( + ) ε = γ = ( + ) ε = γ = ( + ) ε = γ = > <.5 ( ( )) ε = + ε = + ε = + ( + ) ε = γ = ( + ) ε = γ = ( + ) ε = γ = ( ( )) ( ( )) ε = ε = ε = ε = γ ( + ) ε = γ = ( + ) ε = γ = Introuciamo le equaioni i compatibilità interna (coniioni i integrabilità) (C): ε + ε = ε + ε ij, hk hk, ij ik, jh jh, ik ( i =, j =, h = k = ) ( i =, j =, h = k = ) ( i =, j =, h = k = ) ( i = j =, h = k = ) ( i = j =, h = k = ) ( i = j =, h = k = ) In termini i tensioni: ε = γ + γ γ,,,, ε = γ γ + γ,,,, ε = γ + γ + γ,,,, γ = ε = ε + ε,,,, γ = ε = ε + ε,,,, γ = ε = ε + ε ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),,,,,,,,, +,,, + +,,, + +,, ε = γ + γ γ,,,, ε = γ γ + γ,,,, ε = γ + γ + γ,,,, ε = γ = ε + ε,,,, ε = γ = ε + ε ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),,,, ε = γ == ε + ε,,,, +,,, + +,,,,,,, Dalle ultime quattro equaioni i compatibilità possiamo eurre la forma elle tensioni normali: ( ) = a a a b b b con aa,, a, bb,, b costanti i integraione a eterminarsi con le coniioni al contorno.

5 Le equaioni che rimangono (una i equilibrio e ue i compatibilità) possono essere riscritte nel moo seguente:, +, = b+ b + b + = b ( )( ), ( )( ),, + = b,,, Il termine tra parentesi può essere integrato come segue (,, ) = ( b b ) + c + con c una nuova costante i integraione. La risoluione el problema è riconotta alla soluione el seguente sistema lineare i equaioni iffereniali, +, = b+ b + b,, = ( b b ) + c + Introuciamo aesso le coniioni al contorno per trovare le costanti.

6 Determinaione elle costanti ( aa,, a, bb,, b, c ) Il sistema i coorinate cartesiane è baricentrico e gli assi sono assi principali ineria per la seione; questa scelta rene particolarmente agevole la eterminaione elle costanti. ( ( )) ( ) N = a+ a + a b+ b + b = a b lcuni egli integrali sono nulli perché momenti statici ell intera seione rispetto a assi baricentrici. L equilibrio alla traslaione lungo l asse richiee che lo sforo normale sia inipenente a per cui b=. N a = In moo analogo: ( ( )) ( ) ( ) ( ) = a + a + a b + b + b = a b + a b = a b ( ( )) ( ) ( ) ( ) = a+ a + a b+ b + b = a b a b = a b Per trovare le quattro costanti applico la coniione sulla base = alle espressioni = ( a b) = a b ( ) Infatti: = a = a a cui a = = a Inoltre, l equilibrio alla rotaione intorno ai ue assi e comporta = + = ( a b ) = b a cui b = = ( a b) = b = + b =. Le costanti ipenono a un unica caratteristica i sollecitaione. Nel caso i assena i fore taglianti i momenti flettenti si mantengono costanti e l espressione ella tensione normale assume la forma nota anche come equaione i Navier. N = +

7 Determinaione elle costanti ( b, b, c ) Passiamo a risolvere il seguente sistema i equaioni iffereniali lineari in termini elle tensioni tangeniali:, +, = b+ b + b sistema a risolvere!!,, = ( b b ) + c + Poniamo la soluione i questo sistema come somma i ue termini: = + = + soluione el sistema omogeneo soluione particolare el sistema non omogeneo e e, +,, +, = b+ b + b,,,, = ( b b ) + c + Consieriamo il primo sistema omogeneo. Supponiamo la seione trasversale semplicemente connessa*, allora la secona equaione el sistema consente i introurre una funione ϕ (,) tale per cui = ϕ, e = ϕ., La prima equaione el sistema stabilisce che la funione introotta eve essere armonica Δ ϕ = ϕ, + ϕ, quaione i Laplace. La coniione al contorno valia sul mantello n + n, richiee che la funione introotta soisfi la seguente coniione sul boro ( ϕ ) ( ) n ϕ o anche ϕ, n + ϕ, n = n n e ancora, + +, + n n. n n ϕ = La eterminaione elle tensioni tangeniali è quini riconotta alla ricerca i una funione armonica in un ominio piano (la seione trasversale el solio) la cui erivata, calcolata rispetto alla normale al contorno, eve assumere un valore prescritto. La ricerca ella soluione si pone nella classica forma i Dini-Neumann: Δ ϕ in. ϕ = n n in n La funione ϕ (,) ipene alla forma ella seione trasversale!! Data la linearità el problema e possibile imostrare che il problema ella ricerca ella funione introotta può essere scisso in tre problemi istinti cui corrisponono tre ifferenti funioni armoniche: ϕ ϕ legata alla sollecitaione i taglio l egata alla sollecitaione i taglio : : b = b = ϕt legata alla sollecitaione i momento torcente : c = + ( ϕt, ϕt, ) Introuceno la efiniione i momento torcente è possibile eurre il valore ella costante c. *Un ominio si ice semplicemente connesso se non ha buchi ; più formalmente se ogni curva chiusa e regolare in si può riconurre a un punto i in moo continuo. Le tensioni tangeniali ipenono alle fore i taglio e al momento torcente!!

8 Determinaione elle costanti ( c ) b b c ϕ ϕ ϕ ϕ (, ) = (, ) (, ) + (, ) t Siccome le costanti b e b sono legate al taglio, nel caso i sola torsione l unica costante a eterminare è la costante c. Quini consieriamo la funione poteniale nella forma: c ϕ, = ϕ, ( ) ( ) t Una soluione particolare el sistema non omogeneo può essere scritta come segue: c c = = per cui il sistema a risolvere Δ ϕ in ϕ = n n in n iventa Δ ϕt in. (*) La funione ϕ t (,) ipene alla forma ella seione ϕt = ( n n) in trasversale!! n Ricoro che la funione è legata alle tensioni in tal moo c c = ϕt, e = ϕt, e quini la costante c è eterminata alla coniione sul momento torcente come segue: c c = ( ) = ( ϕt, ϕt, ) ( ) + + rovata la funione ϕ t (,) come soluione el sistema (*), etermino la costante c tramite la seguente relaione: c = + ( ϕt, ϕt, ) N.B. Per seione simmetrica sollecitata, oltre che a torsione, a taglio secono gli assi i simmetria è valia la relaione sovrastante che lega il momento torcente alla costante c roviamo per il caso i seione circolare la forma ella funione ϕ t (,). In una seione circolare i raggio r si ha: = rcosϑ e ancora n = cosϑ per cui = rsinϑ n = sinϑ Δ ϕt in ϕt costante ϕt = ( rsinϑcosϑ rcosϑsinϑ) in n per cui le soluioni el sistema omogeneo sono nulle e e rimane solo la soluione particolare c c = = c = per cui = = In coorinate polari la tensione lungo ϑ iventa = r