Calcolo della massa m di un solido

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1 Calcolo ella assa i un solio Consieriao un solio T i assa, volue e superficie. upponiao che il corpo abbia assa voluica (ensità) ipenente alle coorinate,, i un punto P interno o sulla superficie el solio, cioè supponiao che sia:,, Per una assa infinitesia occupante il volue infinitesio,, vale l uguagliana: e vogliao conoscere la assa totale el solio i volue obbiao effettuare una integraione su tutto il volue. Otteniao:,, e la assa voluica el solio è costante, cioè la assa è istribuita uniforeente, costante abbiao: e il solio si riuce a una superficie gobba abbiao:,,,, cioè la assa viene calcolato eiante un integrale i superficie. e il solio si riuce a una superficie piana abbiao, a esepio nel piano O abbiao: 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 1

2 ,,, D e il solio si riuce a una linea sgheba i lunghea abbiao:,,,, cioè il calcolo ella assa si effettua eiante un integrale i linea. Per linee piane abbiao:,, Calcolo el baricentro i un corpo Il baricentro i un corpo è il punto ove è applicata la sua fora peso. Nel baricentro,, possiao pensare concentrata tutta la assa el corpo. Risulta:,,,,,,,,,,,,,,,,,, Le coorinate el baricentro i un corpo biiensionale non piano si ottengono alle preceenti forule sostitueno gli integrali i volue con gli integrali i superficie:,,,,,,,,,,,,,,,,,, Per una superficie piana, giacente a esepio nel piano O abbiao: 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 2

3 ,,,,,, Per una linea sgheba abbiao:,,,,,,,,,,,, Per una linea piana a esepio nel piano O abbiao:,,,,,, e il corpo è oogeneo ha assa voluica (ensità) costante sibolo i integrale. Per un corpo solio abbiao: e può essere portata fuori al Per una superficie gobba abbiao: Per una linea sgheba abbiao: 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 3

4 Per una linea piana a esepio nel piano O abbiao: Le coorinate el baricentro i una linea piana o i una superficie piana possono essere calcolate utiliano uno ei ue teorei i ulino Pappo. Coorinate el baricentro i un arco i curva piana. Prio teorea i Pappo ulino: e un arco i curva piana ruota attorno a una retta el suo piano che non l attraversa, l area ella superficie generata all arco è uguale al prootto ella lunghea ell arco per la lunghea ella circonferena escritta al suo baricentro. Per eterinare le coorinate el baricentro i un arco i curva lungo basta consierare le superfici i rotaione, una volta intorno all asse (per avere ) e una volta intorno all asse (per avere ) Coorinate el baricentro i un oinio piano. econo teorea i Pappo ulino: e una superficie piana ruota attorno a una retta el suo piano la quale non l attraversa, il volue generato è uguale al prootto ell area ella superficie per la lunghea ella circonferena escritta al suo baricentro. 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 4

5 Per eterinare le coorinate el baricentro i un oinio piano A i area basta consierare i volui i rotaione, una volta intorno all asse (per avere ) e una volta intorno all asse (per avere ) Moenti i ineria Nello stuio elle rotaioni rigie il oento ineria assue un ruolo fonaentale, analogo a quello ella assa nella legge fonaentale i Newton: a parità i oento applicato un corpo assue un acceleraione angolare aggiore o inore a secona el valore el oento ineria rispetto all asse i rotaione. C è però una profona ifferena nel paragone tra il ruolo ella assa e el oento ineria. Mentre possiao associare a ogni corpo una certa assa, non ha senso parlare i oento ineria i un corpo i eterinata fora e ata assa, a bisogna specificare l asse i rotaione a cui si fa riferiento. Definiione: Il oento ineria i un punto ateriale i assa rispetto a un asse è uguale al prootto ella assa per il quarato ella sua istana all asse. 2 r r = oento ineria ella assa rispetto a una retta = oento ineria ella assa rispetto all asse = oento ineria ella assa rispetto all asse = oento ineria ella assa rispetto all asse Consieriao un corpo i assa, volue e assa voluica,, Il oento ineria el corpo rispetto a ciascun asse el riferiento O è rispettivaente: 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 5

6 Il oento ineria el corpo rispetto all origine egli assi cartesiani O è: Per una superficie sgheba tale forule iventa:,,,, Per una superficie piana, a esepio nel piano O, tale forule iventa:,, 2 Per una linea sgheba tale forule iventa:,, Per una linea piana, a esepio nel piano O, tale forule iventa:, I oenti ineria rispetto ai piani coorinati sono:,,,, M,, M M 03_Mateatica\07_Università\09_Baricentro_Massa_Moento_Ineria 6