Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Leione n Magnetiso nella ateria Diaagnetiso. Paraagnetiso Teoria acroscopica del agnetiso nella ateria Anno Accadeico 18/19

2 Modello qualitativo del diaagnetiso Supponiao di avere una particella di assa M e carica q che copie un oto circolare unifore in un'orbita di raggio r La fora centripeta è fornita da una fune r F q La tensione della fune è F, la velocità v v M Iniialente F v M r Supponiao adesso di stabilire nella regione un capo agnetico 1 diretto coe in figura 1 F Naturalente dobbiao passare da a 1 Avreo una capo agnetico variabile nel tepo v Avreo anche un capo elettrico indotto La variaione del flusso sull'orbita deterina la circuitaione del capo elettrico indotto Trascuriao il segno che fissereo alla fine con la legge di Len dφ d E d πre πr dt E πr d πre dt dt l E C E rd dt Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 89 E

3 Modello qualitativo del diaagnetiso Il capo elettrico indotto accelera l'elettrone E rd dt dv M qe dt M dv r q d dt dt L'equaione si integra facilente v F E Mdv r qd v 1 r dv q d M v+δv 1 F 1 Δ v qr M 1 v +Δv La velocità è auentata Se la velocità auenta deve auentare anche la fora centripeta ( v +Δv) v v Δv M + M + O( Δv ) F F M 1 r r r Nei casi di interesse Δv v Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 9

4 Modello qualitativo del diaagnetiso Oltre alla tensione della fune abbiao anche la fora di Lorent: F 1 F + F F qv F q ( v +Δv ) 1 MΔv F ( v +Δv ) r Trascuriao ancora una volta i terini in Δv Confrontiao con il risultato della diapositiva precedente F Mv r Δ v qr M Vediao l'interessante circostana che il capo agnetico fornisce anche la necessaria fora centripeta aggiuntiva Necessaria per antenere il raggio dell'orbita costante La tensione della fune non è cabiata Non dipende dal tipo di fora che lega la particella Funiona allo stesso odo con la legge di Coulob Δv v v Δv F M + M 1 r r q 1 1 MΔv r Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 91

5 Modello qualitativo del diaagnetiso Veniao al segno della fora elettrootrice In linea di principio Δv potrebbe essere negativa 1 indicando una deceleraione della carica Utiliiao la legge di Len La variaione velocità deve generare una variaione di flusso che si oppone alla variaione del flusso di 1 Se q > la variaione di velocità deve essere positiva: Δv > In terini di oento di dipolo agnetico Iniialente il oento di dipolo è (vedi diapositiva ) Dopo l'acceleraione il oento è auentato +Δ Dalle diapositive precedenti qr v qr Δ Δv F 1 Δ q v +Δv v Δv Δ v qr M 1 Δ qr 4M 1 Δ qr 4M 1 Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 9

6 Modello qualitativo del diaagnetiso Vediao pertanto che l'elettrone acquista un oento di dipolo agnetico aggiuntivo L'auento Δ è anti-parallelo al capo applicato 1 Il oento di dipolo aggiuntivo è nel verso opposto a quello di 1 anche quando l'elettrone ruota in senso inverso Succede per la legge di Len Per la legge di Len la variaione di velocità deve generare una variaione di flusso opposta a quella causata da 1 1 Δv e Δ coe nel caso precedente Concludiao che per entrabi i versi della velocità dell'elettrone c'è un oento di dipolo aggiuntivo Anche per un atoo con due elettroni con due orbite percorse in senso opposto Un atoo che iniialente ha oento angolare e oento agnetico nulli Acquista un oento di dipolo agnetico pari a Δ Δ Δ Δ Δ Analogo all'atoo sferico che si defora e acquista un dipolo elettrico q v qr 4M v 1 Δv +Δv qr 4M 1 Δv Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 93

7 Modello qualitativo del diaagnetiso Abbandoniao l'ipotesi che l'orbita sia perpendicolare al capo agnetico La proieione del capo agnetico sull'asse perpendicolare al piano dell'orbita è cosθ Nella soa dei oenti agnetici aggiuntivi riane solo la coponente di Δ La grandea r cosθ è la proieione del raggio dell'orbita sul piano x y Mediando su tanti atoi D'altro canto qr Δ 4M Δ Δcos θ r x + y + Utiliando questo risultato r cos θ qr 4M cos r cos θ x + y x + y Δ x y r 3x cos θ x r cos θ r 3 Δ qr 6M Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 94 θ θ x θ r 3

8 Modello qualitativo del diaagnetiso Infine consideriao un atoo in cui ci sono Z elettroni (q e, M e ) Il oento agnetico che l'atoo acquista è R r Z Δ Δ k 1 Possiao adesso calcolare il oento agnetico che acquista un volue V di ateria che contiene n atoi per unità di volue Il nuero di atoi è N Il oento agnetico è NΔ k ρ nv N V Av A Z erk 6 k 1 e M N A Av M ezr N Av A 6 Z rk ezr e 6 k 1 e e 6 Ricordiao che la fora su un oento agnetico è ( diapositiva 115) Notiao che il verso della fora dipende dal segno di 1 Z k Z k 1 ρ n N A Av M è la assa del volue V in g e Z 1 1 er MNAv A ( ) F e Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 95

9 Modello qualitativo del diaagnetiso Calcoliao la fora per le sostane citate nella diapositiva ( ) F 1 er MNAv 6 Osserviao che e La fora è proporionale alla assa e a Il gradiente del capo è negativo, la fora è diretta lungo il verso positivo dell'asse È una fora repulsiva Calcoliao il odulo F F Riproduce olto bene l'ordine di grandea delle fore Per valori più accurati occorre il valore esatto di R e er F MN Av N er MNAv 6 18 T/ 1.8 T R e M 1Kg e C N e Av < Kg Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 96

10 Teoria di Langevin del diaagnetiso La teoria del diaagnetiso descritta è adottata in olti testi È adottata da Purcell a non da Maoldi Maoldi presenta la teoria classica di Langevin basata sulla precessione del oento angolare L Il oento della fora sull'elettrone orbitante ne fa precessare il oento angolare ω L e La rotaione aggiuntiva genera una corrente Δi L Δ i ef e ω L π L'atoo acquista un oento agnetico aggiuntivo Δ ω e π r π L Δ Δiπr 1 e e r Osserviao che in entrabi i casi si tratta di teorie qualitative che ostrano una serie di inconsistene di natura terodinaica Una teoria rigorosa richiede la eccanica quantistica Δ er 4 Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 97

11 Paraagnetiso Abbiao descritto l'effetto del capo agnetico legato al oto orbitale degli elettroni Abbiao notato che quasi tutte le sostane (olecole) hanno un oento angolare orbitale nullo Abbiao inoltre notato che gli elettroni posseggono un oento angolare intrinseco (spin) la cui proieione lungo un asse assue due soli valori: ± / Il oento agnetico intrinseco dell'elettrone è μ J/T e ± μ e ± μ agnetone di ohr Per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni tendono a disporsi in coppie con oento angolare nullo Anche il oento agnetico sarà nullo In alcune olecole il nuero di elettroni è dispari (ad es. NO) oppure la configuraione elettronica è tale da non avere la cancellaione dello spin per due elettroni (O ) In queste sostane un capo agnetico esterno può allineare i oenti agnetici e far coparire un oento di dipolo Nello stesso verso del capo agnetico applicato Nel verso opposto rispetto al diaagnetiso Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 98

12 Paraagnetiso Abbiao visto che un dipolo agnetico in un capo agnetico possiede un'energia poteniale data da U In eccanica quantistica avviene la stessa cosa, ad esepio per lo spin di un elettrone atoico La proieione del oento agnetico lungo può avere solo valori: ±μ U ±μ In un ateriale a teperatura T gli elettroni hanno un'energia di agitaione terica KT Il nuero di elettroni che hanno un deterinato valore del oento agnetico si calcola utiliando la statistica di oltann Introducendo le energie dalla tabella n aexp μ / kt up a si deterina iponendo che il nuero totale di elettroni sia N n aexp U / kt n + n N up down Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 99 U j j j U up + / μ μ down / +μ μ n aexp μ / kt down + +

13 Paraagnetiso n aexp μ / kt up n aexp μ / kt down + Calcoliao la costante a n n N up μ + ( / kt + μ / kt) down a e + e N a e μ / kt + μ / kt Il oento agnetico degli N elettroni si calcola con la soa n + n up up down down e e + μ / kt μ / kt N μ e + e b μ / kt + μ / kt up N + e ( μ ) n ( μ ) n + + N μ down j U up + / μ μ down / +μ μ Nμ b tanh μ kt μ kt Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 3

14 Paraagnetiso La forula che abbiao trovato fornisce il oento agnetico di un blocco di ateria con N elettroni Ricordiao che il oento agnetico degli elettroni era "quantiato" nella direione del capo agnetico È nello stesso verso di Osserviao che per capi olto elevati o teperature basse il oento agnetico indotto satura Tutti i oenti degli spin si allineano nello stesso senso di N μ μ n aexp μ / kt up tanh 1 kt Per capi agnetici dell'ordine di 1T e teperatura abiente μ kt μ μ. tanh kt kt μ tanh kt Questo è il risultato che si ottiene se si assue che il dipolo agnetico può assuere tutti i valori di energia fra μ e +μ Nμ b Nμ kt N g e e μ kt S Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 31

15 Paraagnetiso La teoria descritta può essere estesa anche ad atoi e olecole con configuraioni di oento angolare più coplicate Il grafico ostra l'accordo fra calcoli teorici basati sui concetti descritti e dati sperientali Per atoi con oento angolare J 3/, 5/, 7/ Va sottolineato che la teoria che abbiao discusso descrive i concetti fondaentali necessari per descrivere il paraagnetiso Tuttavia per una trattaione rigorosa che riproduca esattaente i dati sperientali occorre esainare in aggiore dettaglio il oento angolare delle sostane che si vogliono descrivere Analisi del genere sono al di là degli obbiettivi del corso Il ferroagnetiso è un fenoeno legato anch'esso allo spin dell'elettrone La descriione icroscopica del fenoeno è olto coplicata Dareo dei cenni dopo la trattaione fenoenologica del agnetiso nella ateria μ T Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 3

16 Magnetiaione e suscettività Abbiao visto che in presena di capi agnetici esterni nella ateria vengono indotti oenti di dipolo agnetico Possono essere paralleli (paraagnetiso, ferroagnetiso) oppure anti-paralleli (diaagnetiso) Coe nel caso del capo elettrico, per descrivere il agnetiso nella ateria si introducono delle quantità acroscopiche Le quantità acroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantità icroscopiche realiando delle edie spaiali Su volui grandi se confrontati con i volui atoici Su volui piccoli se confrontati con i volui tipici del sistea acroscopico La pria quantità iportante (Magnetiaione) viene introdotta per descrivere il oento agnetico indotto in un volue ΔV di ateria Si definisce agnetiaione il oento agnetico totale per unità di volue Il oento agnetico dovuto ai dipoli atoici M 1 Δ V Nel caso generale la agnetiaione è una funione della posiione: M(r) Le unità di isura A Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 33 k JT 1 k M A 1 JT 1 3

17 Magnetiaione e suscettività Consideriao adesso ateriali diaagnetici o paraagnetici A teperature non troppo basse e capi agnetici non troppo intensi Abbiao visto che in entrabi i casi i oenti di dipolo agnetico indotti dipendono linearente dal capo ezr N Se nelle forule precedenti N diventa una densità di elettroni per unita di volue le espressioni danno la agnetiaione Si definisce suscettività agnetica χ di una sostana M 6 e χ μ La definiione precedente è quella "logica" a è differente da quella reale in funione del capo H Lo vedreo in seguito Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 34 Nμ Nμ μ tanh kt μ N kt μ kt

18 Densità di corrente superficiali Richiaiao la definiione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva ) Per definiione la corrente è il flusso della densità di corrente I ( ) ˆ J r n da S x Supponiao per seplicità che il conduttore d sia un parallelepipedo orientato coe in figura Per seplicità supponiao che la densità di corrente J non vari nella direione y y ˆn Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare L d posta a y y è dato da J (, ) n ˆ dx (, ) I x da S Definiao la densità superficiale di corrente K L d x d ( x) J(, ) La corrente trasportata dal conduttore è pertanto L ( ) I K x n ˆdx K d J n ˆ x d Se K non dipende da x I KL L y Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 35

19 Densità di corrente superficiali Riscriviao la forula per il poteniale vettore in funione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva 793 ) ( ) A r μ ( ) J r dv L y x L'integrale è esteso a tutto lo spaio d Ovviaente contribuiscono solo le regioni in cui J Se il conduttore è olto sottile, al liite infinitesio è conveniente utiliare la densità superficiale di corrente d K( x) J ( x, ) d A( r) ( ) Per copletea diao anche la forula del poteniale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di seione infinitesia ( L ) I J( r ) da A( r) S μ μ ( ) I r K r dl da μ I dl da dx dy Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 36

20 Capo da ateria agnetiata Consideriao un blocco di ateria uniforeente agnetiato Per seplicità supponiao che la agnetiaione M sia diretta lungo l'asse Non ci preoccupiao di coe la agnetiaione sia causata o antenuta Ricordiao che la agnetiaione M è la soa dei contributi di tutti i dipoli agnetici eleentari contenuti nel blocco di ateria Suddividiao adesso il blocco in "fette" di spessore d e perpendicolari a M M M d Possiao ulteriorente suddividere la fetta in tanti piccoli "cubetti" Il oento di dipolo del cubetto è Sappiao che ogni oento di dipolo è equivalente ad una spira di area da e corrente i Da cui otteniao MdV Mdad ida ( Md ) da i Md i da d Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 37

21 Capo da ateria agnetiata Osserviao che, dato che la agnetiaione M è costante, tutte le correnti delle piccole spire sono uguali fra di loro i Md Inoltre osserviao che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono Per la discontinuità del ateriale In definitiva l'intera "fetta" di ateriale genera lo stesso oento agnetico di un "nastro" di corrente superficiale i L'intero blocco è equivalente ad una densità superficiale di corrente I I K L M Md L Kd K M L i Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 38

22 Capo da ateria agnetiata Il capo agnetico generato dal ateriale agnetiato all'esterno del blocco è ( ) A r μ ( ) K r da A Si tratta di un capo acroscopico Non bisogna andare olto vicini alla superficie Molto vicino significa a distane dell'ordine delle diensioni atoiche Consideriao adesso il capo all'interno del blocco Si tratta di una discussione analoga a quella del capo elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 7, I parte) In quel caso avevao utiliato il fatto che il capo elettrostatico è conservativo Si potrebbe diostrare che il capo generato dalla corrente superficiale K è uguale alla edia del capo icroscopico all'interno del blocco Il capo è quello generato dai dipoli agnetici atoici È un capo con forti variaioni spaiali all'interno della ateria A livello acroscopico è iportante la edia spaiale Per questa diostraione si utilia il fatto che è solenoidale K M Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 39

23 Correnti di agnetiaione Abbiao visto che gli effetti della agnetiaione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K M Diostrereo che questo risultato si può espriere in generale coe ˆn K M ˆ n Il versore n è la norale alla superficie È facile verificare che per M costante la forula riproduce il risultato che abbiao utiliato fino ad ora ˆn M K M Se la agnetiaione non è unifore copaiono anche correnti all'interno del volue della ateria agnetiata Per diostrarlo consideriao un blocco di ateriale suddiviso in tanti blocchetti La agnetiaione può essere considerata unifore in ogni blocchetto x Assuiao che sia diretta lungo l'asse M varia spostandosi lungo l'asse y Δy y Δ Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 31

24 Correnti di agnetiaione Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente i M Δ La corrente nella pria spira è ( ) ( ) i y M y Δ La corrente nella seconda spira è La differena fra le correnti delle spire genera una corrente Δi lungo x Analogaente una coponente della agnetiaione lungo y che varia lungo genera un altro contributo di corrente lungo x Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 311 x Δi Δy M M y Δ + ΔyΔ y ( +Δ ) ( +Δ ) Δ ( ) i y y M y y Δ i i( y + Δy) i( y) M M( y) Δ + ΔyΔ M( y) Δ y M Δ i ΔyΔ y M y Δ i ΔyΔ y Δ

25 Correnti di agnetiaione Riassuiao il risultato M M Δ Δ Δ Δ Δ y y i y y Sappiao che una corrente è il risultato del flusso di una densità di corrente attraverso una superficie La corrente che abbiao calcolato è nella direione x Perpendicolare alla superficie ΔyΔ Definisce la coponente x del vettore densità di corrente M M Δ Δ Δ y y i y J ΔyΔ x M Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientaento dei dipoli atoici Una situaione analoga a quanto avveniva in elettrostatica per le cariche di volue ρ P P A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound) J M J x M y M J b M y Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 31

26 Capo da ateria agnetiata Anche nel caso appena descritto il capo agnetico generato dalla agnetiaione si può calcolare utiliando le forule introdotte per il capo agnetico generato da correnti reali Ricaviao adesso in odo più forale (ateatico) le relaioni che abbiao ricavato con ragionaenti fisici Supponiao di avere un blocco di ateria agnetiata dv caratteriata con un vettore di agnetiaione M(r) Consideriao un eleento di volue dv Ha un oento agnetico d M( r ) dv Ricordiao il poteniale vettore di un dipolo nell'approssiaione di grande distana (diapositiva ) Ar () μ r 3 r Dipolo nell'origine Dipolo in r Il poteniale vettore di tutto il corpo si calcola integrando Ar () μ d 3 Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 313 μ dar () r x μ r d Mr ( ) dv 3 y 3

27 Capo da ateria agnetiata () ( ) Ar μ Mr dv 3 r Utiliiao la relaione L'operatore agisce sulla variabile r μ 1 Ar () Mr ( ) dv Utiliiao la identità (vedi diapositiva ) Ar () Il prio integrale perette di introdurre J M r 3 μ 1 μ Mr ( ) ( M( r )) dv dv 1 r ( fc) f ( C) C ( f ) C ( f ) f ( C) ( fc) r 1 M ( ( )) ( M r dv ) dv J r M J M Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 314

28 Capo da ateria agnetiata Per il secondo integrale utiliiao la relaione Otteniao Definiao Ar () Otteniao infine μ ( ) J r M dv μ Mr ( ) dv Adv n Ada μ Mr ( ) μ Mr ( ) n dv da S Kr ( ) Mr ( ) n S Ar () μ J ( r ) μ M Kr ( ) dv + da S Elettroagnetiso Prof. Francesco Ragusa 315