Fisica Generale III con Laboratorio

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1 Fisica Generale III con Laboratorio Campi elettrici e magnetici nella materia Leione 5 Diamagnetismo e Paramagnetismo

2 Teorema di Larmor - I 1) Moto di precessione Grandea vettoriale generica, funione del tempo: A = kˆ () t, Se A e' un vettore di modulo costante rotante attorno all' asse con vel.angolare p es diretta lu ngo A= A A ˆ + k= A ˆ ˆ ˆ xi+ Ay j+ A k : da x A= A cos t = A sin t= A dt day Ay= A sint = A cos t= Ax dt A= A x y () t E.Menichetti - 010

3 Teorema di Larmor - II da da x ˆ da da y = = i+ ˆj = ˆ ˆ Ayi+ Ax j dt dt dt dt Si puo' scrivere: da ˆ ˆ = ˆ y A A y Ax x A x Ay y A x dt i+ j+ k = 0 = 0 da = A dt In generale: = 0 = 0 Ogni volta che un vettore () t soddisfa l'eq. differeniale di cui sopra, la sua evoluione temporale consiste in una precessione attorno alla direione di A con velocita' angolare 3 E.Menichetti - 010

4 Teorema di Larmor - III ) Precessione di Larmor Mom. meccanico su un dipolo magnetico immerso in un campo τ = µ B Eq. del moto: dl τ= dt Poiche': µ = γl, γ fattore giromagnetico dl = γl B= γb L dt = γ B Il dipolo precede con vel. angolare γb attorn o a B B : 4 E.Menichetti - 010

5 Teorema di Larmor - IV 3) Moto in riferimenti non ineriali Cambiamento di sistema di riferimento: Sistema ineriale Sistema in rotaione Vel. angolare costante (es. diretta lungo ) Posiione di un punto materiale: r () t Posiione istantanea A Velocita' nei due riferimenti: d d r r = dt dt r rot iner 5 E.Menichetti - 010

6 Teorema di Larmor - V Cambiamento di riferimento: per le derivate d d + dt dt iner rot Derivando la derivata: Acceleraione d r d d d r dr = = dt dt iner iner dt iner dt iner dt + r rot d d d r r dt = dt + iner rot dt + r rot d d r r d = + ( ) + r dt dt r dt iner rot rot 6 E.Menichetti - 010

7 Teorema di Larmor - VI 4) Teorema di Larmor Moto di una carica in un campo di fore + campo magnetico: F= F+ qv B 0 Fora totale nei due sistemi: ( ) m ( ) F = F m v r rot rot 0 ( ) ( ) F = F+ qv B+ m v m r rot rot 7 E.Menichetti - 010

8 Teorema di Larmor - VII q Se: = B m F = F+ qv B q v B m r = F m r rot ( ) ( ) ( ) 0 rot 0 q Frot= F B F 4m Quindi: 0 0 se B non e' troppo grande L'effetto del c. magnetico e' quello di sovrapporre una precessione (di Larmor) con frequena ω L = - q B m al moto sena campo 8 E.Menichetti - 010

9 Diamagnetismo - I Elettroni atomici: modello di Bohr Moto in un campo centrale Teorema di Larmor In presena di un campo B: Precessione dei momenti magnetici attorno a B Frequena di Larmor: eb ω L= m Momento magnetico indotto: µ= Ze B r 4m Momento indotto legato a moto orbitale, r raggio dell'orbita ortogonale a B 9 E.Menichetti - 010

10 Diamagnetismo - II R : raggio quadratico medio R = x + y + x = y = r = x + y = R 3 Ze B Ze B R µ = R = 4m 3 6m Suscettivita' diamagnetica: χ Ze per sistema a simmetria sferica n R 6m orbita piana dia µ 0nµ 0 m = = indipendent e da T B µ 10 E.Menichetti - 010

11 Diamagnetismo - III Risultato sostanialmente confermato con la meccanica quantistica Tuttavia: Altri effetti (elettroni liberi: diamagnetismo di Landau,...) Suscettivita diamagnetica < 0, piccola Magnetiaione opposta al campo esterno Campo interno al materiale < campo nel vuoto 11 E.Menichetti - 010

12 Paramagnetismo - I Trattaione in principio simile a quella della polariaione nei dielettrici Tuttavia, inconsistene con i dati.. Motivo profondo: Momenti di dipolo magnetico legati al momento angolare totale atomico In meccanica quantistica: momento angolare quantiato 1 E.Menichetti - 010

13 Paramagnetismo - II Calcolo classico della magnetiaione: Langevin En. poteniale di un dipolo immerso in un campo U= µ B= µ B cosθ B : Insieme di dipoli ad una temperatura Distribuione statistica delle energie: Boltmann T dn e de E dn e de µ B cosθ 13 E.Menichetti - 010

14 Paramagnetismo - III Valor medio delle componenti cartesiane del mom. magnetico: essendo dn dn dn µ x d µ y d µ d d d d µ x =, µ y =, µ = dn dn dn d d d d d d dn d = N mol d 14 E.Menichetti - 010

15 Paramagnetismo IV Componenti del momento di dipolo: θ x φ d n d n d n 15 E.Menichetti y = = d sinθdθdϕ d θ dϕ U dn du B ( cos ) µ = µ sinθ cosϕ x µ = µ sinθ sinϕ y µ = µ cosθ = µ cosθ d n dn du U e µ Distribuione di Boltmann: ( cosθ) ϕ ( cosθ) d d du d e µ B cosθ

16 Paramagnetismo V Componenti cartesiane: µ x µ B cosθ d n x d sin cos e d µ µ θ ϕ d = = µ B cosθ d n d e d d π + 1 µ B cosθ = 0 ( ) µ x µ cosϕdϕ sinθe d cosθ µ x = µ y 16 E.Menichetti µ Bcosθ d n y d sin sin e d µ µ θ ϕ d = = µ B cosθ d n d e d d π + 1 µ Bcosθ = 0 ( ) µ y µ sinϕdϕ sinθe d cosθ µ y = 0 0 1

17 Paramagnetismo VI µ µ B cosθ d n d cos e d µ µ θ d = = µ B cosθ d n d e d d π + 1 µ B cosθ ( ) µ dϕ cosθe d cosθ 0 1 µ = π = µ ( ) + 1 µ B cosθ = 1 π + 1 µ B cosθ + 1 µ B cosθ Sostituioni: dϕ e d cosθ e d cosθ = π cosθe 17 E.Menichetti x= cosθ µ B µ = µ β= βx xe dx βx e dx d ( cosθ) ( )

18 Paramagnetismo VII d dβ d dβ βx βx βx e dx= e dx= xe dx d d 1 1 x xe dx e dx = e e e dβ = = + dβ β β β βx βx βx βx βx + 1 β β βx βx e + e β β = β β x e e e e β β + 1 µ B cosθ 1 ( ) β β cosθe d( cosθ) e + e 1 e e 1 β β µ = µ = + 1 µ B cosθ 1 β β e d( cosθ) ( e e ) β β β e + e 1 1 µ = µ = µ cothβ = µ Lβ β β e e β β β β ( ) ( ) Funione di Langevin 18 E.Menichetti - 010

19 Paramagnetismo VIII Approssimaione di alte temperature: 3 3 β β β β β β e e 1 + β+ + + β+ +! 3!! 3! 1 = β β 3 3 e e β β β β β β 1 + β β +...! 3!! 3! β β + 1! 1 +! 1 β 1 1 = = β β β β! β β β+ β+ β 1+ 3! 3! 3! 1 β β β β 1 β β β β! = = 3! β β! 3! β 6 3 µ µ B Legge di Curie 3 19 E.Menichetti - 010

20 Paramagnetismo IX [or µb/] Funione di Langevin 0 E.Menichetti - 010

21 Paramagnetismo X µ B µ 3 para µ χ m µ 0n 3 Suscettivita paramagnetica >0, piccola (maggiore di quella diamagnetica), decrescente con T Magnetiaione concorde con il campo esterno Campo interno > di quello nel vuoto 1 E.Menichetti - 010

22 Suscettivita tipiche χ m =µ r -1 (in unita di 10-5 ) Paramagnetic Diamagnetic Iron oxide (FeO) 70 Ammonia -.6 Uranium 40 Bismuth Platinum 6 Mercury -.9 Tungsten 6.8 Silver -.6 Cesium 5.1 Carbon (diamond) -.1 Aluminum. Carbon (graphite) -1.6 Lithium 1.4 Lead -1.8 Magnesium 1. Sodium chloride -1.4 Sodium 0.7 Copper -1.0 Oxygen gas 0.19 Water E.Menichetti - 010