Onde elettromagnetiche

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1 Onde elettromagnetiche n Equazione delle onde per i campi n Corda vibrante n Onde piane n Polarizzazione n Energia e quantita` di moto - vettore di Poynting n Velocita` di fase e di gruppo

2 Equazione delle onde per i campi n In assenza di cariche e correnti " E = 0 " B = 0 # E = $ % B %t " E =0 " " E # B = 1 % E c 2 %t ( ) = " # $ B ' ( ) " E = " "t % ( * & $t ) # $ B = 1 " 2 E c 2 t 2

3 Equazione delle onde per i campi E " 1 c 2 # 2 E #t 2 = 0 n Esattamente allo stesso modo B " 1 c 2 # 2 B #t 2 = 0

4 Equazione delle onde per i campi n L equazione dell onda e` relativisticamente invariante n Si introduce l operatore differenziale d Alambertiano " # 1 c 2 $ 2 $t 2 nel vuoto " E = 0 " B = 0

5 Corda vibrante u(t, x + dx) u(t, x) (t, x) Ttx (, ) = T λ dl dx T(t, x + dx) = T (t, x + dx) u(t, x + dx) u(t, x) = "u "x dx (t, x) piccolo sin (t, x) " tan (t, x) " (t, x) cos (t, x) 1 dl = dx cos dx tan (t, x) = u " (t, x) x ma verticale = ΣF verticale dx 2 u = "dxg "T sin (t, x) +T sin (t, x + dx) 2 t

6 Corda vibrante ut (, x+ dx) ut (, x) ϑ(, t x) Ttx (, ) = T λ dl dx Ttx (, + dx) = T ϑ (, t x+ dx) u u(, t x + dx) u(, t x) = dx x 2 u λdx = λdxg T sin ϑ( t, x) + T sin ϑ( t, x + dx) 2 t ϑ sin ϑ( t, x + dx) = sin ϑ( t, x) + ( sin ϑ( t, x) ) dx = sin ϑ( t, x) + cos ϑ( t, x) dx x x 2 ϑ u u ϑ(, t x) + dx + 2 dx x x x

7 Corda vibrante u(t, x + dx) u(t, x) (t, x) T(t, x) = T λ dl dx T(t, x + dx) = T (t, x + dx) u(t, x + dx) u(t, x) = "u "x dx dx 2 u u = "dxg "T 2 t x +T u x +T 2 u x 2 dx 2 u x 2 " T 2 u t = g 2 T

8 Equazione delle onde (d Alembert) 2 f x 2 " 1 v 2 2 f t 2 = 0 f (t, x) = f 1 (x vt) + f 2 (x + vt) quantita` che si propaga lungo l asse x positivo con velocita` v onda progressiva quantita` che si propaga lungo l asse x negativo con velocita` v onda regressiva

9 Onde f (x vt) n Fissiamo il punto di osservazione x=x 0 n n Al variare del tempo si rileva g(t)=f(x 0 -vt) Se dall istante t=t 0 iniziamo a muoverci verso le x positive con velocita` v x(t) = x 0 + v(t t 0 ) g(t) = f ( x(t) vt) = f ( x 0 + v(t t 0 ) vt) = f (x 0 vt 0 ) = g(t 0 ) Si osserva il valore della funzione d onda nel punto x 0 all istante t 0 Il profilo dell onda trasla nella direzione x positiva con velocita` v

10 Onde f (x ± vt) x ± vt si chiama fase dell onda I punti in cui la fase e` costante formano il fronte d onda

11 Onde piane n Onda piana: propagazione di un onda periodica con frequenza definita lungo una direzione E( r,t) = E e i(t k" r ) 0 E(x,t) = E 0 cos(t kx) E E 0 (e ix = cos x + i sin x) Onda sinusoidale: - profilo fisso in moto con velocita` v - fissato t, sinusoide lungo x - fissato x, sinusoide nel tempo

12 Onde piane (t, x) = t " kx fase dell onda expi(t + 2 ", x) = expi(t, x) periodo T = 2 " expi(t, x + 2 k ) = expi(t, x) frequenza angolare = 2" k lunghezza d onda numero d onda

13 Onde piane (t, x) = t " kx fase dell onda d(t, x) = 0 = dt " kdx = k v velocita` di fase 1 lunghezza d onda su 1 periodo v = k = " T

14 Onde piane E(t, r ) = E 0 e i(t k" r ) E " 1 c 2 # 2 E #t 2 = 0 k 2 1 c 2 2 = 0 " E = 0 # k " E = 0 = kc il campo elettrico oscilla in un piano ortogonale alla direzione di propagazione

15 Onde piane B(t, r ) = B 0 e i(t k" r ) " E = # $ B $t B = k E i k " E = i B " B = 0 # k " B = 0 = ˆk c E anche il campo magnetico e` ortogonale alla direzione di propagazione

16 Onde elettromagnetiche k E = 0 k B = 0 il campo elettrico e magnetico oscillano in un piano ortogonale alla direzione di propagazione le onde elettromagnetiche sono onde trasversali

17 Onde piane n Relazioni k E = 0 k B = 0 B = k E n campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione n k, E 0, B 0 formano una terna destrorsa " E = # $ B $t " B = 1 # E c 2 #t k E 0 = B 0 ˆk E0 = c B 0 k B 0 = " c 2 E0 ˆk B0 = " E 0 B 0 " ˆk E 0 = cb 0 E 0 c

18 Polarizzazione n Onda piana propagantesi lungo l asse x E = E 0 ey cost B = B 0 ez cost costanti nel tempo è onda polarizzata linearmente direzione di polarizzazione = direzione del campo elettrico B = E = E 0 e x E c ey sin(t kx) + e z cos(t kx) ( ) = B ( 0 e y cos(t kx) + e z sin(t kx) ) E,B ruotano nel piano yz con frequenza ω è onda polarizzata circolarmente

19 Polarizzazione n La polarizzazione caratterizza quindi la direzione del campo elettrico associato alla radiazione (perpendicolarmente alla direzione di propagazione) n La polarizzazione e` definita solo per le onde trasversali n Polarizzazione circolare/ellittica = combinazione lineare di onde polarizzate lineramente (e viceversa)

20 Polarizzazione n Polarizzazione lineare La direzione di propagazione esce dalla pagina

21 Polarizzazione n Polarizzazione circolare La direzione di propagazione esce dalla pagina

22 Polarizzazione n Polarizzazione ellittica La direzione di propagazione esce dalla pagina

23 Polarizzazione n Onda non polarizzata La direzione di propagazione esce dalla pagina

24 Onde sferiche n Onde emesse da una sorgente puntiforme n Simmetria centrale: nessuna direzione e` privilegiata n Una generica componente di un campo dipende solo da r e t: (r,t) " 1 c 2 # 2 #t 2 = 0

25 Onde sferiche = 1 r " 2 (r) "r 2 laplaciano in coordinate sferiche (quando non c e` dipendenza dagli angoli) 1 r 2 (r) r 2 " 1 c 2 2 t 2 = 0 "2 (r) "r 2 # 1 c 2 " 2 (r) "t 2 = 0

26 Onde sferiche r(r,t) = f (r ct) (r,t) = f (r ct) r La funzione d onda va come 1/r

27 Energia di un onda n La luce del sole scalda... U t U = u(t, r )dv = " $ # 1 2 E B 2 0 2µ 0 % 'dv & E = 0 E " t + 1 # B& % " # B ) % B. (dv = 0 E + 1 ( + ' B.($ " # E) *dv $ µ 0 t ' & µ 0 0 µ 0 ) = 1 % " # ( E $ B )dv " % # $ S dv µ 0 vettore di Poynting S = E B µ 0

28 Energia di un onda S = E B µ 0 " S + #u #t = 0 2 [ SL ] [ S] J = s m = Energia T 2 Diretto lungo la direzione di avanzamento del campo e.m. Il flusso attraverso una superficie chiusa fornisce la variazione temporale dell energia nel volume racchiuso dalla superficie

29 Energia di un onda Se sono presenti cariche elettriche che si muovono sotto l azione del campo elettrico dando luogo a una densita` di corrente, si deve considerare anche il contributo al bilancio energetico dello scambio di energia tra onde e cariche necessario per tenerle in movimento " S + J " E + #u #t = 0 intensita` potenza per unita` di volume I =< S > I = U At energia media per unita` di tempo (potenza) che fluisce per unita` di superficie lungo la direzione di propagazione onda piana I = E B 0 0 = E 0 2µ 0 2µ 0 c = c B 0 2µ 0 2 2

30 Energia di un onda - esempio n Sorgente puntiforme che emette a potenza costante: du/dt = costante n Flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie sferica di raggio r coincidente con un fronte d onda S nda = S4 r 2 = c 0 2 E 2 4 r 2 = du 0 dt S = cost. E 0 1 r

31 Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ d d F = dq( E + v B) = d"( E + v B) potenza assorbita per unita` di superficie velocita` acquisita dalle cariche sotto l azione del campo elettrico energia media assorbita per unita` di tempo e superficie = intensita` ceduta dall onda d F d " v = ( E + v# B) " v = E v = E v I = < E v >

32 Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ dσ I = < E v > forza magnetica normale alla superficie individuata da v e B diretta lungo il verso di propagazione dell onda d F M d = < v" B >= < v B > e x = < v E c > e x = I c forza media per unita` di superficie = pressione e x

33 Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ dσ I = < E v > pressione di radiazione P rad = I c l onda cede la quantita` di moto F M per unita` di tempo e superficie (perfettamente assorbente) se la superficie e` perfettamente riflettente la quantita` di moto cambia verso e quella trasferita e` doppia P rad = 2 I c per un angolo di incidenza θ le espressioni vanno moltiplicate per il fattore cos 2 θ componente normale (cosθ) e aumento dell area (cosθ)

34 Velocita` di fase e gruppo n Affinche` trasporti informazione un segnale non puo` essere puramente periodico (informazione = cambiamento nell onda) (t, x) = cos $ %( " #)t " (k " #k)x& ' = 2cos # $ t " kx + cos $ % ( + #)t " (k + #k)x & ' % & cos # $ t " kx % & r v g ampiezza onda sinusoidale velocita` del contenuto v g = d dk

35 Esempio n Guida d onda: la geometria impone un taglio alle frequenze che si possono propagare (simile alle canne di un organo) La configurazione dominante di onde che si propagano ha una relazione tra il numero d onda e la frequenza v fase = k = c " 1 % 0 $ ' # & 2 " 0 k = 1 c relazione di dispersione v gruppo = d dk = 1 " = c 1 % 0 $ ' dk # & d 2 c

36 v g