1 Richiami sulla meccanica ondulatoria

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1 1 Richiami sulla meccanica ondulatoria 1.1 Introduzione al concetto di onda L'onda è un formalismo matematico che descrive la propagazione di una perturbazione. Alcuni esempi di onde sono: le onde sonore; le onde elastiche (deformazione locale); le onde sulla supercie dell'acqua (onde di gravità); le onde elettromagnetiche (propagazione di campi E, B; si ritiene nel vuoto). In generale viene descritta da una funzione d'onda del tipo: ξ(x, y, z, t) Il caso particolare delle onde piane è quello in cui l'onda non dipende dalle coordinate y e z: Traslazioni Una funzione ξ y = ξ = 0 ξ = ξ(x, t) z f(x c) (1) ha la stessa forma di f(x) ma è stata spostata di una distanza c a destra (se c > 0), come nel seguente esempio: Se al valore costante c sostituiamo il prodotto della velocità per il tempo otteniamo che f(x vt) descrive la stessa forma in moto verso destra con velocità v e f(x + vt) descrive la stessa forma d'onda in moto verso sinistra con velocità v. 1

2 In generale un'onda avrà quindi la forma ξ(u), con u = (x vt); si ha quindi u ξ x = dξ du x = dξ du ξ t = dξ u dξ du t = ±v du e perciò 2 ξ x 2 = 1 2 ξ v 2 t 2. (3) Un'onda piana è una funzione che soddisfa alla (3). Le soluzioni della (3) sono del tipo ξ(x vt). La (3) è lineare, e quindi la somma (sovrapposizione) di due o più onde è ancora un'onda Onde armoniche Un caso particolare di onda piana è quella descritta dall'equazione (2) ξ(x, t) = ξ 0 sin{k[(x vt) + φ]} (4) dove φ è detto fase e k numero d'onda (l'unità di misura di k è m 1 ). L'onda avrà la seguente forma: dove la lunghezza λ è detta lunghezza d'onda e rappresenta la minima distanza tale che per i intero: ξ(t) = ξ(t + iλ) cioè ci dice a quale distanza, ssato il tempo t, l'onda si ripete uguale a se stessa. In considerazione del teorema di Fourier le onde periodiche si possono esprimere in serie di onde armoniche. Poniamo per il momento φ = 0 (fase nulla); allora ξ(x, t) = ξ 0 sin[k(x vt)] = ξ 0 sin(kx ωt) con ω = kv (5) ω viene detta pulsazione di ξ. La (5) è un modo alternativo di esprimere la (4). Fissato il parametro t, l'onda si ripete quando kx kx ± 2π x x + 2π k 2π k = λ (6) 2

3 Se invece ssiamo x, l'onda si ripete quando ωt ωt ± 2π t t ± 2π ω 2π ω = T (7) T viene detto periodo dell'onda (tempo dopo il quale l'onda si ripete). Riassumendo, alcune proprietà di un'onda periodica armonica ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx ωt) sono: Ampiezza: la massima elongazione ξ 0 di un punto dell'onda (il massimo fra i valori che la funzione può assumere, presi in valore assoluto). Lunghezza d'onda: la minima distanza λ oltre la quale l'onda si ripete ad un tempo t ssato (λ = 2π k, con k numero d'onda). Periodo: il tempo T necessario ad un punto per compiere un'oscillazione (T = 2π ω ). Velocità: l'onda si sposta di una lunghezza λ in un periodo T, quindi la sua velocità v è λ T = λν (ν = 1 T è la frequenza, espressa in hertz (Hz), ossia s 1 ) Onde longitudinali e trasverse; polarizzazione Data un'onda piana diretta lungo x, se tutte le grandezze signicative relative alla perturbazione che si propaga hanno direzione coincidente con x, l'onda si dice longitudinale; se la direzione è perpendicolare all'asse delle x, si dice trasversale. longitudinale trasversale Ad esempio, il moto eettivo di ciascuna particella di una corda (quando viene strattonata) è perpendicolare alla direzione di propagazione dell'onda: quindi è un'onda trasversale. In un'onda sonora il moto eettivo delle particelle è parallelo alla direzione di propagazione dell'onda: quindi è un'onda longitudinale. Un'onda trasversale nella quale la variazione di direzione di ξ nel piano yz può venire espressa da una legge precisa si dice polarizzata. Se ξ ha una direzione ssa, allora si dice che ξ è polarizzata linearmente, mentre se ξ y = ξ 0y sin(kx ωt) ξ z = ξ 0z cos(kx ωt) ξ 2 y ξ 2 0y + ξ2 z ξ 2 0z = 1 3

4 si dice polarizzata ellitticamente (un caso particolare è la polarizzazione circolare) Energia di un'onda Un'onda si propaga perché ogni parte del mezzo comunica il moto alle parti adiacenti (poiché viene fatto del lavoro, viene trasferita dell'energia). Se u è la densità di energia per unità di volume, l'energia trasmessa per unità di supercie e di tempo perpendicolarmente alla direzione di propagazione è I = du dsdt = du dx = uv (8) dsdx dt dove u è la densità di energia (l'energia per unità di volume). I è chiamata intensità e si misura in W/m 2 Per un'onda meccanica ξ 0 sin(kx ωt) un punto ssato descrive un'oscillazione armonica, quindi u = 1 2 kξ ω2 ξ 2 0 I 1 2 ω2 ξ 2 0v. (9) L'energia di un'onda è quindi proporzionale al quadrato dell'ampiezza. Da notare che l'origine del usso di energia è nella sorgente delle onde e che abbiamo trascurato gli eetti dissipativi dati, ad esempio, dall'assorbimento. 1.2 Composizione di onde Battimenti Quando due onde che hanno una frequenza molto ravvicinata si sommano, si genera un particolare eetto per cui l'onda risultante ha zone di interferenza costruttive e distruttive. Prendendo due onde per cui ξ 1 = ξ 2 = ξ 0, ω 1 ω 2, v 1 = v 2 e sommandole otteniamo: ( k ξ 0 cos(k 1 x ω 1 t) + ξ 0 cos(k 2 x ω 2 t) = 2ξ 0 cos 2 x ω ) 2 t cos( k x ω t) Il risultato (visivamente) è il seguente: 4

5 Quando in un coro le varie voci non riescono a cogliere la giusta tonalità si ha questo particolare eetto, sentendo un sali-scendi di volume Onde stazionarie e condizioni al contorno Quando due onde, di uguale ampiezza e frequenza (ξ 1 = ξ 2 = ξ 0, ω 1 = ω 2 ) ma di velocità opposta (v 1 = v 2 ) si sommano il risultato è un'onda stazionaria, cioè la sua velocità è costante (v = 0): ξ 0 sin(kx + ωt) + ξ 0 sin(kx ωt) = 2ξ 0 sin(kx) cos(ωt) Quando sin(kx) = 1 (ventri) l'ampiezza di oscillazione è massima, mentre quando sin(kx) = 0 (nodi) l'ampiezza di oscillazione è nulla. Concretamente questo fenomeno si può osservare nel caso di riessione di un'onda elastica su una parete (vedi la sezione successiva per le condizioni al contorno). Nel caso di una corda (come quelle delle chitarre, violini, eccetera) i cui estremi sono ssati i moti stazionari (ossia i moti stabili successivi a un transiente) non sono più rappresentati da onde che si propagano ma da onde stazionarie. Questo ha come conseguenza che solo certe lunghezze d'onda (o frequenze) 5

6 possono esistere. Questa quantizzazione della lunghezza d'onda è un risultato diretto della delimitazione dell'onda. l = 1 2 λ f 1 = ν λ = ν 2l l = λ f 2 = ν λ = ν l = 2f 1 l = 3 2 λ f 3 = ν λ = ν 2 3 l = 3f 1 l è la lunghezza della corda. Si può vedere come il terzo e il secondo nodo normale (detti anche terza armonica e seconda armonica) hanno una frequenza, rispettivamente, 3 e 2 volte maggiore del primo nodo normale (detto anche prima armonica o fondamentale). 1.3 Onde in più dimensioni Ogni onda ξ(x, t) = ξ(x vt) che si propaga lungo l'asse delle x si può scomporre in onde armoniche ξ(x, t) = ξ 0 sin[(kx ωt) + φ]. Per descrivere un'onda che si propaga in una direzione qualunque introduciamo il vettore k def 2π = λ v. Avremo quindi che ξ = ξ 0 sin[( k r ωt) + φ] = ξ 0 sin[(k x x + k y y + k z z ωt) + φ] (10) con k = ω v. Deniamo fronte d'onda una supercie sulla quale a un certo istante la fase è costante (se pensiamo all'onda sonora un fronte d'onda è quella supercie in cui tutte le particelle d'aria hanno la medesima pressione). Deniamo raggio la linea ortogonale al fronte d'onda che rappresenta in quel punto la direzione di propagazione dell'onda e dell'energia a essa associata. Se v è la stessa in tutte le direzioni si ha un fronte d'onda sferico; se v è la stessa in tutte le direzioni rispetto a un asse si ha un fronte d'onda cilindrico Onde sferiche Un corpo sferico che pulsi periodicamente produce un'onda sonora, i cui fronti d'onda sono sfere concentriche al corpo. Tali onde sono chiamate onde sferiche. L'equazione per una componenete armonica è ξ(r, t) = A(r) sin(kr ωt) (usso di energia verso l'esterno). Ammettendo che il uido in cui viaggia l'onda (ad esempio l'aria) sia in quiete e la sua composizione sia uniforme, le onde si propagano verso l'esterno con velocità costante; la lunghezza d'onda, perciò, non dipenderà dalla distanza, mentre l'ampiezza diminuirà allontanandosi dalla sorgente. L'intensità sarà I(r) = CA 2 (r) (dove C è un'opportuna costante: 6

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