ONDA. Il concetto di onda, assieme a quello di particella, è fondamentale nella descrizione classica del mondo fisico.

Transcript

1 ONDA Il concetto di onda, assieme a quello di particella, è fondamentale nella descrizione classica del mondo fisico. Una qualsiasi perturbazione (originata da una sorgente), impulsiva o periodica, che si propaga con velocità v, trasportando energia senza che vi sia trasporto effettivo di materia. Le onde meccaniche (per es. onda in una corda, suono) hanno bisogno di un mezzo materiale per propagarsi, le onde elettromagnetiche (oscillazioni di campi elettrici e magnetici) no.

2 Fenomeni molto diversi tra loro, quali le onde del mare, il suono, la luce, i segnali radio, i terremoti, la ola allo stadio hanno in comune la caratteristica di essere onde. Le proprietà che si possono dedurre a partire dall esempio concreto di un onda meccanica che si propaga in una corda sono generali, riguardano cioè le onde di ogni genere, e possono essere descritte matematicamente in modo analogo y y x x

3 Descrizione matematica della propagazione Consideriamo una perturbazione su una corda: y y = f(x) v Funzione y = f(x) che ne descrive graficamente la forma: per esempio f (x) = 1 1+ x Come descrivere matematicamente il fatto che la perturbazione si sposta verso destra lungo la corda? x

4 Traslazioni e funzione d onda f(x) descrive la forma dell onda fotografata all istante t = 0 y t = 0 y = f(x) f(x-d) descrive la stessa forma fotografata all istante t = 1 spostata di una distanza d verso destra d t = 1 x y = f(x d) x t = y = f(x-d) d x Posto d = v, f(x-vt) descrive la stessa forma in moto verso destra con velocità v f(x+vt) descrive la stessa forma in moto verso sinistra con velocità -v

5 Funzione d onda Una espressione matematica del tipo y(x,t) = f(x vt) descrivere una forma f - uno stato fisico - che si muove - si propaga - senza deformazione lungo l asse x nel verso positivo Può rappresentare una grande varietà di grandezze fisiche (deformazione in un solido, pressione in un gas, campo elettrico o magnetico )

6 Onde periodiche Gli esempi più rilevanti di onde non sono costituiti da brevi impulsi, ma consistono di onde periodiche (il disegno dell onda si ripete molte volte senza cambiare): y λ Lunghezza d onda λ = distanza tra due punti in fase successivi x Periodo T = tempo necessario perchè una lunghezza d onda passi per un dato punto ma anche: tempo necessario perchè un punto x compia un oscillazione completa Se l onda viaggia con velocità v: λ = vt Frequenza f = 1 / T è f λ = v

7 λ

8 Relazione fra lunghezza d onda λ e frequenza f: per misurare la frequenza dell onda, conto quante creste d onda passano in 1 s per un determinato punto: In 1 secondo passano v metri di onda. Se li dividiamo per la lunghezza d onda λ otteniamo il numero di creste che passano in un secondo, cioè la frequenza. Quindi la relazione tra frequenza e lunghezza d onda è : f = v λ

9 Onde armoniche Caso particolarmente importante: se il moto oscillatorio in un punto x (ad es. l estremo della corda) è armonico semplice, la funzione d onda diretta verso destra è: f (x,t) = y m senk x vt ( ) k = π λ Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo. Forma dell onda a t = 0: lo spostamento trasversale si ripete in x, x+λ, x+λ, y m x Frequenza angolare o pulsazione: ω = kv f (x,t) = y sen( kx ωt) m y m = ampiezza: massimo spostamento di ciascun punto dalla posizione di equilibrio kx ωt = fase

10 forma più generale: f (x,t) = y sen( kx ωt +ϕ) m φ = costante di fase

11 Perchè sono importanti le onde armoniche Teorema di Fourier: Qualsiasi onda periodica può essere espressa come risultante di onde armoniche di determinate frequenze.

12 Equazione differenziale del moto di un onda In generale un onda che si muove lungo la direzione x sarà rappresentata da una funzione d onda f(u) con u = x ± vt. Calcolo le derivate prime rispetto a x e t: Derivando un altra volta: u f v t u u f t f u f x u u f x f = ± = = = 1 t f v x f = Equazione di d Alembert Tutte le funzioni d onda f(x±vt) sono soluzione dell equazione di d Alembert

13 esercizio Verificare che un onda armonica y = y o sen[k(x-vt)] soddisfa l equazione d onda.

14 esempio Un diapason vibra con una frequenza di 440 Hz. Se la velocità del suono nell aria è 340 m/s, trovare la lunghezza d onda del suono. λ = m La luce si propaga nel vuoto con una velocità di m/s. Trovare la lunghezza d onda che corrisponde a una frequenza di Hz (luce rossa). λ = 600 nm

15 esercizio Data la funzione d onda armonica y(x,t) = 10 sen π(x 100t) m (dove x è espresso in metri e t in secondi), trovare: a) l ampiezza; b) la lunghezza d onda; c) la frequenza; d) la velocità di propagazione.

16 ONDA Perturbazione che si propaga con velocità v, trasportando energia senza che vi sia trasporto effettivo di materia Le onde meccaniche hanno bisogno di un mezzo materiale per propagarsi, le onde elettromagnetiche no. Descrizione matematica della propagazione lungo x: Funzione d onda Equazione d onda: Onde armoniche: y m x f (x,t) = f (x ± vt) x f = 1 v t f (x,t) = y m senk x vt f ( ) k = π λ f (x,t) = y m sen( kx ωt) ω = kv

17 Classificazione: onde longitudinali e trasversali Longitudinali: se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione parallela alla direzione di propagazione dell onda (ad es. le onde sonore) Trasversali: se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda (ad es. le onde in una corda tesa, onde elettromagnetiche)

18 Esempio di onda meccanica trasversale: perturbazione che si propaga lungo una corda tesa Considerazioni generali: Se in un qualche punto si comunica alla corda una perturbazione alla corda stessa, si osserva che la deformazione prodotta si propaga lungo la corda con v T (tensione), e inversamente µ (massa per unità di lunghezza). Ricaviamo l espressione della velocità di propagazione v:

19 Per oscillazioni sufficientemente piccole: T = costante, α 1 e α piccoli Componenti della forza risultante sull elemento di corda dx: α 1 α F x ( α cos ) 0 = T cos α1 F y y y = T µ x x y t 1 ( senα senα1 ) T( tanα tanα1) = T = dx y x y t y µ y x T t T = µ = N.B. la velocità di propagazione dell onda dipende dalle caratteristiche del mezzo 1 = v v = T µ

20 Velocità trasversale N.B. Non si confonda la velocità di propagazione di un onda con la velocità di oscillazione intorno alla posizione di equilibrio di ciascun elemento del mezzo (ad esempio, ciascun elemento di una corda)

21 esercizio Data la funzione di un onda in una corda y = 0.03 sen (3x t) dove le lunghezze sono espresse in metri e t in secondi, trovare: a) all istante t=0, lo spostamento in x = 0.3 m; b) nel punto x=0.1 m, lo spostamento per t = 0. s; c) la velocità di oscillazione delle particelle costituenti la corda; d) la velocità di propagazione dell onda. e) la massima velocità trasversale di una particella sulla corda.

22 Energia trasportata da un onda Un onda si propaga perchè ogni parte del mezzo comunica il moto alle parti adiacenti. Si dice intensità I l energia trasmessa per unità di superficie e di tempo perpendicolarmente alla direzione di propagazione: I = du dsdt = du dsdx dx dt = uv [W/m ], u = du dv densita' di energia per unita' di volume In un onda meccanica armonica ogni punto compie un oscillazione armonica; si può dimostrare che I ω A v L energia di un onda è proporzionale al quadrato dell ampiezza e della frequenza (risultato valido in generale)

23 Dimostrazione: nel caso di onda armonica in una corda tesa y ds T α x

24 Principio di sovrapposizione (già incontrato in Fisica) Se due o più onde attraversano contemporaneamente la stessa regione, l onda risultante è la loro somma Matematicamente: y (x,t) = y 1 (x,t) + y (x,t) se y 1 e y sono soluzioni dell equazione d onda, anche y 1 + y lo è Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente

25 Interferenza La perturbazione risultante può produrre sulla corda un rafforzamento o una soppressione dello spostamento di ogni punto sulla corda (la propagazione dell onda non viene alterata) Per due onde sinusoidali che si propagano lungo la stessa direzione la costruttività dell interferenza dipende dalla differenza di fase Δφ Due onde si dicono in fase quando le creste e le valli sono allineate come in figura (a)

26 onde stazionarie Consideriamo due onde che si propagano lungo un corda tesa in versi opposti (ottenibile fissando un estremo, che genera un onda riflessa): y 1( x,t) = y m sen(kx+ωt) y (x,t) = y m sen(kx-ωt) senα + senβ = sen 1 ( α + β )cos 1 ( α β ) y(x,t) = y 1 (x,t)+ y (x,t) = y m senkx cosωt Non compare più l argomento (kx±ωt) tipico di un onda che si propaga, ma un oscillazione armonica semplice di pulsazione ω uguale in ogni punto della corda e ampiezza funzione della posizione. Se entrambi gli estremi della corda sono fissi, quali sono le onde stazionarie che si possono formare?

27 onde stazionarie Esiste una serie discreta di lunghezze d onda λ n e di frequenze f n : tali frequenze sono dette frequenze proprie del sistema oscillante. L = n λ/, n = 1,, ovvero λ n = L/n, n = 1,, f n = v/λ n = n v/l, n = 1,,

28 risonanza Se la corda viene sollecitata con una delle frequenze proprie, si ha un fenomeno di risonanza. Spettacolari effetti meccanici:

29

30

31

32 esercizio Una corda di chitarra in nylon ha una massa lineica di 7.0 g/m ed è sottoposta a una tensione di 150 N. I supporti fissi distano 90.0 cm. La corda oscilla secondo lo schema di onda stazionaria in figura: Calcolare: a) La velocità, b) la lunghezza d onda, c) la frequenza delle onde la cui sovrapposizione dà quest onda stazionaria

33 esercizio Analizzando il comportamento meccanico di un fondale basso (profondità << λ) d acqua si ottiene l equazione: y x 1 gh y t = 0 dove h è la profondità all equilibrio e y è lo spostamento dall equilibrio. Trovare la velocità di propagazione dell onda.

34 generalizzazione In generale un onda si può propagare nello spazio in tutte le direzioni; viene descritta da una funzione d onda f(x,y,z,t). Casi particolari: onde piane i fronti d onda (i punti dello spazio in cui l onda è in fase) sono piani perpendicolari alla direzione di propagazione f y = f z = 0 f = f ( x, t)

35 onde sferiche i fronti d onda sono sfere che si allontanano radialmente dalla sorgente r