E = E 2 E =(jωɛ)( jωµ 0 )E = k 2 E E = Propagazione in mezzi non dissipativi. Mezzo privo di dissipazioni (g = ɛ =0)

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1 Propagazione in mezzi non dissipativi Mezzo privo di dissipazioni (g = ɛ =0) Si ricava H dalla prima equazione di Maxwell e si sostituisce nella seconda E = E 2 E =(jωɛ)( jωµ 0 )E = k 2 E dove si è posto k 2 = ω 2 µ 0 ɛ. Dato che all esterno delle sorgenti D = (ɛe) =E ɛ + ɛ E = ρ =0 E = 1 ɛ E ɛ da cui E = ( ) 1 ɛ E ɛ

2 e quindi 2 E + k 2 E + ( E ɛ ɛ ) =0 Mezzo debolmente disomogeneo: ɛ 0 2 E + k 2 (r)e =0 equazione delle onde si ha anche per per ω : altissime frequenze, ottica (f > 100 THz) geometrica. L equazione delle onde vale in modo approssimato per qualsiasi coppia ɛ e ω tale che ɛ ɛ k2 = ω 2 µ 0 ɛ approssimazione per radiofrequenze e microonde in mezzi debolmente disomogenei.

3 La funzione di fase Posto: indice di rifrazione n(r) = ɛ (r), κ 0 = ω µ 0 ɛ 0, k(r) =n(r)κ 0 2 E + κ 2 0 n2 (r)e =0 Ipotizziamo che la soluzione E(r) abbia la forma E(r) =E 0 e jκ 0Φ(r) con E 0 indipendente dalle coordinate, Φ funzione reale di punto. Per essere accettabile, E(r) deve soddisfare l equazione delle onde: ovvero 2 E 0 e jκ 0Φ(r) + κ 2 0 n2 (r)e 0 e jκ 0Φ(r) =0 E 0 2 e jκ 0Φ(r) + κ 2 0 n2 (r)e 0 e jκ 0Φ(r) =0

4 Dato che 2 e jκ 0Φ = jκ 0 ( jκ0 Φ Φ+ 2 Φ ) e jκ 0Φ per soddisfare l equazione è necessario che cioè e quindi jκ 0 ( jκ0 Φ Φ+ 2 Φ ) + κ 2 0 n2 =0 κ 2 0 Φ Φ jκ 0 2 Φ+κ 2 0 n2 =0 { n 2 Φ Φ=0 2 Φ=0 n 2 Φ 2 =0 equazione eiconale fornisce la funzione di fase Φ(r) compatibile con n(r).

5 L onda elettromagnetica E(r) =E 0 e jκ 0Φ(r) vettore complesso, prodotto di un fattore vettoriale E 0,chedetermina ampiezza e polarizzazione, per un fattore di fase e jκ 0Φ(r) Campo funzione dello spazio e del tempo E(r,t)=Re [ E(r)e jωt] = Re [ E 0 e j[κ 0Φ(r) ωt] ] fattore e j[κ 0Φ(r) ωt] funzione dello spazio e del tempo. Assunto E 0 reale, le componenti di E(r,t) in funzione dell ascissa r lungo una direzione r 0, nell intorno di r sono E i (r, t) =E 0i cos[κ 0 Φ(r) ωt] i = x, y, z

6 E i r=cost E i t=cost t r T= 1 f = 2π λ(r) ω = 2π 1 k 0 n(r) (a) (b) in ciascun punto dello spazio le componenti del campo sono funzioni sinusoidali del tempo fissato un istante, le componenti sono funzioni sinusoidali dell ascissa r in intorni di ciascun punto sufficientemente piccoli affinché lafasepossaessere considerata funzione lineare dell ascissa = lunghezza d onda locale λ(r), periodicità spaziale del campo, variabile lentamente nello spazio.

7 E i t=0 t=t/4 t=t/2 r In istanti successivi: il valore della E i rimane invariato per ascisse r crescenti, tali che κ 0 Φ(r) compensa la variazione di ωt la sinusoide che rappresenta ciascuna componente E i trasla = l onda si propaga Nello spazio, E i (r) =cost se κ 0 Φ(r) ωt = cost rappresenta una superficie nello spazio (superficie d onda) per ogni istante t

8 al trascorrere del tempo la superficie d onda trasla = l onda si propaga nello spazio. t 1 t 2 t 3 t 4 dr r 1 r Se il tempo varia di dt, lospostamento dr lungo r 0 che annulla il differenziale è κ 0 ( Φ) r 0 dr ωdt =0 velocità dipropagazione nella direzione r 0 : dr dt = r0 ω κ 0 Φ r 0 = u r0 4

9 La velocità u dipende da r 0. Se r 0 // Φ, u = con c m s 1 ω κ 0 Φ = ω κ 0 n = c 0 n minima u min èla velocità dipropagazione ; se r 0 Φ, u (non èvelocità ditrasporto).

10 Relazioni tra campi e direzione di propagazione Se E = E 0 e jκ 0Φ(r),anche H = H 0 e jκ 0Φ(r) Dalla prima equazione di Maxwell: [ E 0 e jκ 0Φ(r) ] = jωµ 0 H 0 e jκ 0Φ(r) ( E 0 )e jκ 0Φ(r) E 0 e jκ 0Φ(r) = jωµ 0 H 0 e jκ 0Φ(r) E 0 [ jκ 0 Φ(r)] = jωµ 0 H 0 jκ 0 Φ E 0 = jωµ 0 H 0 Φ E 0 = ωµ 0 ω µ 0 ɛ 0 H 0 = µ0 ɛ 0 H 0

11 Analogamente, dalla seconda equazione di Maxwell: Posto η 0 = µ 0 ɛ 0 η = µ0 ɛ Φ = Φ s 0 = ns 0 = ɛ s 0 Φ(r) H 0 = ɛe 0 µ0 ɛ 0 impedenza intrinseca del vuoto impedenza intrinseca del mezzo H 0 = Φ E 0 η 0 = ɛ s 0 E 0 η 0 = 1 η s 0 E 0 E 0 = Φ H 0 ɛ µ0 ɛ 0 = η s 0 H 0

12 Dato che E 0 = E 0 e 0, H 0 = H 0 h 0 essendo e 0, h 0 ed s 0 unitari, h 0 = s 0 e 0 ; e 0 = s 0 h 0 componenti reali e immaginari di E 0 e H 0 sono ortogonali rispettivamente e alla direzione di propagazione s 0 eformano una terna trirettangola destra. E 0i s 0 H 0i

13 Raggi elettromagnetici VettorediPoynting P = 1 2 E H = 1 2 E 0 H 0 = 1 2 E 0 s 0 E 0 η = 1 2E 0 E 0 η ha direzione e verso di s 0,ortogonale alle superfici d onda Φ(r) =cost il trasporto di potenza avviene ortogonalmente alle Φ(r) =cost curve ortogonali in ogni punto alle superfici d onda sono traiettorie dell energia elettromagnetica raggi elettromagnetici s 0

14 E 0 s 0 H 0 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 L uso dei raggi elettromagnetici riduce il problema della propagazione da tridimensionale a monodimensionale va determinato il raggio (linea che congiunge la sorgente con il punto di ricezione) vanno determinate ampiezza, fase e polarizzazione del campo lungo il raggio la traiettoria elettromagnetica dipende dalla distribuzione spaziale dell indice di rifrazione e dalla direzione iniziale di propagazione

15 Dalla Φ =ns 0, Φ s 0 = dφ ds = n se s è l ascissa curvilinea lungo il raggio. Quindi n = dφ ds = d ds Φ= d ds (ns 0) per definizione, s 0 = dr ds,percui [ d n(r) dr ] = n ds ds equazione del raggio: individua il raggio elettromagnetico come traiettoria dell estremo libero del vettore posizione r al variare dell ascissa curvilinea s.

16 x ϕ 2 ϕ ϕ n 1 s 0 s r r+dr z y Poiché d ds (ns dn 0)=s 0 ds + nds 0 ds = n il raggio rimane localmente confinato nel piano individuato da s 0 e n la traiettoria si incurva nel piano che contiene la direzione di massima variazione dell indice di rifrazione.

17 Per definizione, la curvatura 1 ρ del raggio elettromagnetico è data da n 0 ρ = ds 0 ds con n 0 normale principale della curva 1 ρ = n 0 ds ( 0 n ds = n 0 n s ) 0 dn = n 0 n n ds n a parità din, lacurvatura aumenta con n elaconcavità (ρ>0) èrivoltaverso la regione con indice di rifrazione crescente. Il raggio elettromagnetico è localmente rettilineo se s 0 // n se il mezzo èomogeneo, il raggio èrettilineo ovunque

18 Raggi in mezzi stratificati radialmente Ψ s 0 n 3 <n 2 R 0 θ n 2 <n 1 n n 0 n 1 Indice di rifrazione a simmetria sferica: atmosfera terrestre n = n R 0 (troposfera) ds 0 ds = n n R 0 s 0 dn n ds il raggio èconfinato nel piano radiale che contiene s 0 ed èincurvato verso il basso con curvatura 1 ρ = n 0 n n = n n n cos ψ = n sin θ

19 Principio di Fermat e lunghezza di percorso Un raggio elettromagnetico che passa per due punti P 1 e P 2 ètale che la lunghezza L del percorso elettromagnetico L = P2 P 1 n(r)ds funzionale della traiettoria seguita tra P 1 e P 2, èstazionaria considerata una qualunque curva che congiunge i due punti, quella (o quelle) che rendono stazionario (generalmente minimo) il valore dell integrale di linea dell indice di rifrazione è (sono) la/le traiettoria/e dell energia elettromagnetica c c P 2 P 1

20 ricerca delle condizioni di stazionarietà: tecnica numerica per determinare i raggi, anche in presenza di riflessioni Q P 1 P 2 c1 c 2 Lunghezza del percorso elettromagnetico legata al tempo τ che l energia elettromagnetica impiega tra due punti, oltre che alla fase φ con cui l onda giunge noto l andamento dell indice di rifrazione, la misura di τ dà la distanza tra trasmettitore e ricevitore con tre (o piú) trasmettitori, la misura dei tre (o piú) tempi fornisce la posizione (tre coordinate) del ricevitore sistema di radiolocalizzazione globale satellitare GP S (Global Positioning System) precisione da alcuni metri alle diverse decine di metri

21 Radar (radio detection and ranging) determina la distanza di un oggetto (nave, aereo, superficie terrestre,...) dalla misura dell intervallo di tempo τ tra il momento in cui viene trasmessa l energia elettromagnetica e quello in cui viene ricevuta l eco (energia retrodiffusa) R = τ c 0 2 In condizioni di propagazione controllate, una misura di fase consente di misurare la distanza con precisione spinta alla frazione di lunghezza d onda