Propagazione in presenza di discontinuità: Riflessione e Rifrazione

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1 Propagazione in presenza di discontinuità: Riflessione e Rifrazione 1 Valeria Petrini, Ph.D. Student DEIS/ARCES - Fondazione Ugo Bordoni valeria.petrini@unibo.it

2 Introduzione 2 Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può prescindere dallo studio di alcuni fenomeni che possono influenzare la propagazione in spazio libero: Presenza di ostacoli che si frappongono tra le antenne provocando una ostruzione alla libera propagazione del fronte d onda Atmosfera terrestre che può portare significative differenze dalla propagazione ideale, provocando un aumento di attenuazione soprattutto ad alte frequenze ma anche effetti di deviazione della direzione di propagazione Ellissoide terrestre che è l ostacolo più evidente sul quale poggiano le antenne. Le presenza del suolo genera una discontinuità tra dielettrici (atmosfera e terreno)

3 Propagazione in presenza di ostacoli 3 L onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l ambiente di propagazione reale prima di giungere al ricevitore; i fenomeni più importanti sono: 1. Riflessione 2. Rifrazione (Trasmissione) 3. Diffrazione 4. Diffusione (Scattering)

4 Obiettivo 4 Vogliamo studiare l effetto di una discontinuità data da un piano di separazione tra mezzi omogenei. Considereremo il caso di una superficie di separazione tra due semispazi omogenei: qui il segnale incidente verrà sia riflesso che trasmesso e vedremo come calcolare le parti riflesse e trasmesse. A tale scopo applicheremo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione tra mezzi

5 Ipotesi 5 Per semplificare la trattazione di queste situazioni si ricorre al concetto di ONDA PIANA LOCALE: Si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti un comportamento analogo a quello di un onda piana TEM avente in tutto lo spazio le medesime condizioni di incidenza valide localmente per il raggio Ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad un raggio riflesso e ad uno rifratto che dipendono dalle caratteristiche elettromagnetiche dell oggetto in un intorno del punto di riflessione e dalle proprietà del campo incidente nel punto di riflessione

6 Definizione del problema 6 Si considerino due semispazi costituiti da due mezzi normali, il primo di caratteristiche 1, 1 e 1, il secondo con caratteristiche 2, 2 e 2 La superficie di separazione è data dal piano x=0 Si assume che il campo incidente sia dato da un onda piana uniforme con componenti del vettore di propagazione entrambe positive. Si indichino il pedice i le grandezze, note, relative al campo incidente, coi pedici r e t le grandezze relative alle onde riflesse e trasmesse

7 Condizioni di continuità (1) 7 Le equazioni di Maxwell sono definite in volumi nei quali si assume che le proprietà del materiale siano descritte da funzioni continue ed infinitamente derivabili E importante descrivere le condizioni a cui devono soddisfare i campi sulle superfici di discontinuità (presenza di discontinuità di prima specie), sulle quali non è possibile applicare le equazioni di Maxwell, perché in tali punti non è possibile calcolare la derivata

8 Condizioni di continuità (2) 8 Facciamo riferimento alle equazioni di Maxwell scritte in forma integrale: Le densità superficiali di carica e le correnti superficiali sono:

9 Condizioni di continuità (3) Consideriamo le componenti tangenti dei campi 9 Supponendo che nel volume ΔV esista una corrente con densità volumetrica costante e che il volume ΔV al quale sono applicate le equazioni di Maxwell sia abbastanza piccolo da avere i campi costanti sulle due superfici ΔS e Δn 0, le equazioni di continuità risultano: n ˆ ( E 1 E ) 2 = J ms n ˆ ( H 1 H ) 2 = J S

10 Riflessione e rifrazione (1) 10 Consideriamo quindi un onda piana uniforme incidente sul piano di separazione tra i due mezzi E i = E i0 e S i r H i = H i0 e S i r = S i E i0 jωµ 1 S = a + jk e S i r S : a : k : r : vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione

11 Riflessione e rifrazione (2) 11 I campi riflesso e trasmesso necessari per scrivere le condizioni di continuità sono: E r = E r0 e S r r H r = H r0 e S r r = S r E r0 jωµ 1 E r = E t 0 e S t r H t = H t 0 e S t r = S t E t 0 jωµ 2 e S r r e S t r Le incognite sono i coefficienti di ampiezza dei campi ed i vettori di propagazione. Per ottenere i loro valori si impongono le condizioni di continuità sul piano x=0 :

12 Riflessione e rifrazione (3) 12 τ H i0 e S i r τ + H r0 e S r r τ = H t 0 e S t r Affinché questa condizione sia verificata, i fattori esponenziali devono essere uguali tra loro: Si ottengono quindi dei vincoli sulle componenti dei vettori di propagazione che devono valere sul piano di separazione tra i mezzi

13 Onda riflessa (1) Ricordando che per un onda piana uniforme senza perdite, l ultima condizione impone: 13 a = 0 S i r = S r r jki r = ( a r + jk r) r e che il mezzo 1 è Da cui risulta: a r r = 0 k r r = k i r Si può dimostrare che, per la prima relazione solo la soluzione compatibile con il problema a r = 0 è anche l onda riflessa è un onda piana uniforme come l onda incidente

14 Onda riflessa (2) 14 Essendo: k r = k i = ω µ 1 ε 1 Dalla seconda relazione segue: E possibile dimostrare che l onda piana riflessa è sempre dello stesso tipo di quelle incidente, qualunque sia il mezzo da cui proviene (con o senza perdite)

15 Onda trasmessa(1) 15 Per quanto riguarda l onda trasmessa dal mezzo 1 al mezzo 2 abbiamo: a t r = 0 k t r = k i r Essendo i mezzi in cui si propagano le due onde, differenti, l onda trasmessa può quindi essere indifferentemente uniforme o evanescente ma deve comunque rispettare la continuità delle componenti tangenti del vettore di propagazione: k i sinθ i = k t sinθ t sinθ t = k i k t sinθ i

16 Onda trasmessa(2) Consideriamo il secondo mezzo senza perdite 16 Caso 1: onda trasmessa piana uniforme (a t = 0) Questa relazione è valida sempre, qualunque siano le caratteristiche, dielettriche e magnetiche, dei mezzi Per materiali dielettrici in cui e con (i=1,2) risulta: n 1 sinθ i = n 2 sinθ t µ i = µ 0 ε i = ε 0 ε ri = ε 0 n i Legge di Snell

17 Onda trasmessa(3) Caso 2: onda trasmessa piana evanescente 17 Il passaggio dalla situazione in cui l onda trasmessa è piana uniforme a quella in cui è piana evanescente si ha per quel particolare valore dell angolo di incidenza, detto angolo critico (indicato con ϑ c ) per cui vale: Oltre l angolo critico l onda trasmessa è quindi evanescente: ϑ c = arcsin n 2 n 1 Per poter parlare di angolo critico deve essere n 1 >n 2

18 Onda trasmessa(4) 18 = ± 1 sin 2 θ t = ± j sin 2 θ t 1 = j 1 n 2 n 1 2 sin 2 θ i n 2 2 k xt = k 0 n 2 = jk 0 n 1 2 sin 2 θ i n 2 2 Dall espressione della componente lungo x del vettore di propagazione, si ha propagazione nella direzione di z ma attenuazione nella direzione x nonostante il mezzo sia senza perdite e quindi l onda è evanescente Poiché la potenza attiva si attenua per x crescente, essa rimane sostanzialmente confinata nel semispazio inferiore. Si parla quindi di riflessione totale del campo

19 Formule di Fresnel (1) 19 Si sono trovate le relazioni tra i vettori di propagazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa ma non le relazioni tra le ampiezze dei campi Per fare ciò si sfrutta la linearità delle equazioni di Maxwell e si scompone il problema in due parti indipendenti più semplici da analizzare Ruotando il sistema di riferimento in modo tale che non ci siano variazioni lungo y, il piano x-z è assunto come piano di incidenza Le equazioni di continuità sono divise in due gruppi indipendenti, quelle per cui l unica componente di campo elettrico è parallela a y (TE) e quelle per cui tale relazione è valida per il campo magnetico (TM)

20 Formule di Fresnel (2) 20 Campo TE: E = E i0y e j k i r ˆ y H = 1 η 1 ˆ k i E = 1 η 1 E i0y e j k i r ˆ ξ Campo TM: H = H i0y e j k i r ˆ y E = η 1 H k ˆ i = η 1 H i0y e j k i r ˆ ξ

21 Formule di Fresnel (3) 21 La direzione di propagazione è la stessa per i campi TE e TM, cioè quella del vettore di propagazione k i ; quello che cambia sono le caratteristiche della propagazione nella direzione ortogonale alla superficie di separazione E possibile ora calcolare i coefficienti di riflessione e trasmissione nei due casi

22 Caso TE (1) Imponendo le condizioni di continuità si ha: 22 I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono: ρ TE = E ry E iy = η 2 η 1 η 2 +η 1 = n 1 n 2 n 1 + n 2 τ TE = E ty E iy = 2η 2 η 2 +η 1 = 2n 1 n 1 + n 2

23 Applicando la legge di Snell: Caso TE (2) 23 sinθ t = n 1 sinθ n i = 1 n 1 sinθ 2 n i 2 2 = n 1 n 2 n 2 n 1 2 sin 2 θ i ρ TE = + n 2 n 1 n 2 n1 2 2 sin 2 θ i sin 2 θ i Introducendo l angolo di elevazione :

24 Caso TE (3) Il coefficiente di riflessione per il caso TE risulta: senθ ρ TE = senθ + Il coefficiente di trasmissione per il caso TE risulta: 24 n 2 n 1 n 2 n cos 2 θ cos 2 θ τ TE = sinθ + 2sinθ n 2 n 1 2 cos 2 θ

25 Caso TE (4) Riprendendo il concetto di riflessione totale per cui: = j 1 n 2 n 1 sin 2 2 θ i n Nel caso di mezzi dielettrici si può scrivere: ρ TE = n cosϑ n cosϑ 1 i 2 t = n cosϑ + j n 2 1 i 1 sin 2 2 ϑ i n 2 n 1 cosϑ i + n 2 cosϑ t n 1 cosϑ i j n 2 1 sin 2 ϑ i n = A + jb 2 2 A jb = e j 2arctg B A ρ TE =1 arg ρ TE ( ) = 2arctg n 2 1 sin 2 2 ϑ i n 2 n 1 cosϑ i

26 Caso TM (1) Imponendo nuovamente le condizioni di continuità: 26 E iz + E rz = E tz H iy + H ry = H ty H iyη 1 H ry η 1 cosθ r = H ty η 2 H iy + H ry = H ty Da cui si ricavano: ρ TM = H ry H iy = η 1 η 2 η 1 +η 2 = n 2 n 1 n 2 + n 1 τ TM = H ty H iy = 2η 1 η 1 +η 2 = 2n 2 n 2 + n 1

27 Caso TM (2) 27 Nel caso di onda incidente di tipo TM, si può verificare il fenomeno della rifrazione totale: ρ TM = 0 Ricordando la legge di Snell: n 1 sinθ i = n 2 sinθ t n 2 n 1 = = sinθ i sinθ t = cos(π /2 θ i ) cos(π /2 θ t ) Uguagliando gli argomenti dei coseni si ottiene l angolo di Brewster:

28 Considerazioni Ponendo n = n 2 /n 1 i coeffiecienti per i casi TE e TM risultano: ρ TE = n 2 sin 2 θ i ρ + n 2 sin 2 TM = n 2 n 2 sin 2 θ i θ i n 2 + n 2 sin 2 θ i 28

29 Riepilogo Imponendo le condizioni di continuità all interfaccia tra i due mezzi, si ha: 1. Legge di Snell della riflessione: onda riflessa dello stesso tipo di quella incidente e 2. Legge di Snell della rifrazione: Onda rifratta uniforme: Onda rifratta evanescente: 3. Leggi di Fresnel: Onda TE: Onda TM: E r = ρ TE E i H r = ρ TM H i 29 E t = τ TE E i H t = τ TM H i

30 Riflessione e rifrazione: caso ideale Onda diretta, rifletta e rifratta piana uniforme immediata rappresentazione a raggi della propagazione Raggio riflesso E r 30 L espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto di riflessione è: ( s) = E TE r ( s) + E TM r ( s) = ρ TE 0 E TE i ( P R ) 0 ρ TM E TM i ( P R ) e jβs Raggio trasmesso Analogamente per il raggio trasmesso risulta:

31 Riflessione e rifrazione: caso reale 31 I risultati ottenuti nel caso del piano ideale restano validi in situazioni realistiche più generali purchè le superfici d onda e di interfaccia siano localmente piane Le grandezze in gioco nel sistema (ed in particolare i raggi di curvatura) >> L espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto di riflessione diviene pertanto: E r (s) = E TE r (s) + E TM r (s) = ρ TE 0 0 ρ TM E TE i (P R ) E TM i (P R ) r r r 1 r 2 ( r r 1 + s) r r 2 + s ( ) e jβs