Appunti di Fisica. Sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche

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1 Appunti di Fisica Sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche La corrente di spostamento La legge di Ampère, C(B) = µ o I (dove I è la corrente concatenata con le linee chiuse della circuitazione del campo magnetico), non è sempre valida; ad esempio, nel circuito di Fig.1, circola corrente che però, a causa del condensatore, non si concatena con le linee chiuse a e b, che sono comunque linee chiuse di campo magnetico; la contraddizione si risolve introducendo il concetto di corrente di spostamento. R a V(t) = V o sinωt C b Fig.1 Prendendo in considerazione un condensatore piano, vuoto e di armature di area A, sia σ q (t) la densità di carica sulle armature; il flusso del campo elettrico attraverso una superficie di area A, posta tra le armature e parallela ad esse, è: Φ E (t) = E(t)A = σ q(t) ǫ o A = Q(t) ǫ o dφ E (t) = dq(t) ǫ o = ǫ o dφ E (t) = dq(t) = ǫ o dφ E (t) = dq(t) = i s (t) Il termine i S (t), chiamato da Maxwell corrente di spostamento e dovuto alla variazione del flusso del campo elettrico tra le armature del condensatore, non rappresenta una corrente reale ma ne ha la stessa unità di misura e lo stesso valore, ed è stato inserito da Maxwell nella legge di Ampère per renderla valida in senso generale. ñ ô dφ E (t) La legge di Ampère diventa quindi C(B) = µ o [i(t)+i S (t)] = µ o i(t)+ǫ o (legge di Ampère-Maxwell) Tra le armature del condensatore non scorre una corrente reale ma quella di spostamento, che genera comunque linee di campo magnetico; nella legge di Ampère-Maxwell, i(t) e i S (t) non sono mai diversi da zero contemporaneamente (se i(t) 0 = i S (t) = 0 e viceversa).

2 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 2 Le equazioni di Maxwell Le equazioni di Maxwell costituiscono la sintesi delle leggi per i campi elettrico e magnetico; le quattro equazioni di Maxwell nel vuoto sono: Φ E = Φ B = E d S = Q ǫ o B d S = 0 legge di Gauss per il campo elettrico legge di Gauss per il campo magnetico C(E) = C(B) = Ed l = dφ B(t) Bd l = µ o ñ i(t)+ǫ o dφ E (t) ô Legge di Faraday-Neumann-Lenz Legge di Ampère-Maxwell Le ultime due evidenziano che il campo elettrico e quello magnetico sono in relazione tra loro, sono due aspetti dello stesso campo, il campo elettromagnetico. Le onde elettromagnetiche (OEM) Elaborando le ultime due equazioni di Maxwell si ottengono equazioni differenziali; da esse si ottengono, come soluzioni, funzioni d onda per il campo elettrico e magnetico, con velocità di propagazione c = 1 µo ǫ o m s (nel vuoto) v = 1 µǫ (in un qualsiasi mezzo) Supponendo onde piane, polarizzate linearmente e nel vuoto: E(x,t) = E o cos ñ 2π Ç åô x λ ft e B(x,t) = B o cos ñ 2π Ç åô x λ ft anche E(x,t) = E o cos(kx ωt) e B(x,t) = B o cos(kx ωt) anche E(x,t) = E o cos[k(x ct)] e B(x,t) = B o cos[k(x ct)] dove x è la posizione lungo la direzione di propagazione all istante t, λ è la lunghezza d onda, f è la frequenza (λf = c), k = 2π λ ed ω = 2πf.

3 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 3 In Fig.2 sono rappresentate le caratteristiche di un onda alettromagnetica (nel vuoto, piana e polarizzata linearmente) y E z B x c Fig.2 I campi E (vettori con linee continue) e B (vettori con linee tratteggiate) sono sempre perpendicolari tra loro ed entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione, il verso della velocità di propogazione è quello del moto di una lampadina che ruota (durante l avvitamento/svitamento) da E verso B, secondo l angolo di 90 o. Si può ricavare la relazione fondamentale tra E e B dalla terza delle equazioni di Maxwell; in Fig.3, l onda elettromagnetica si propaga lungo l asse x, E è parallelo all asse y e B è parallelo all asse z. y c E d b Fig.3 a v B x z

4 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 4 Calcoliamo la circuitazione C(E) di E lungo il perimetro del rettangolo abcd (ad es. in verso antiorario), dove i lati a e c sono da considerarsi infinitesimi (a = c = dx). I contributi lungo i lati a e c sono nulli in quanto E è perpendicolare ad essi; considerando E(x, t) il campo elettrico in corrispondenza del lato d, si può indicare con E(x+dx,t) il campo elettrico in corrispondenza del lato b. Tenendo conto del verso di percorrenza del perimetro, supponiamo il campo elettrico parallelo e nello stesso verso in b e quindi parallelo e di verso opposto in d ( ), per cui, ponendo de(x,t) = E(x+dx,t) E(x,t), C(E) = E(x+dx,t) b+ E(x,t) d = E(x+dx,t)b E(x,t)d = (E(x+dx,t) E(x,t)) b = de(x,t)b C(E) = de(x,t) dx bdx = E(x,t) bdx x dove è stata introdotta la derivata parziale in quanto si deriva rispetto ad x all istante t (considerato costante). Calcoliamo ora il flusso del campo magnetico attraverso la superficie del rettangolo abcd; tenendo conto che B è perpendicolare alla superficie del rettangolo, Φ B (x,t) = B(x,t)ba = B(x,t)bdx = dφ B(x,t) = db(x,t) bdx = B(x,t) t bdx sostituendo nella terza equazione di Maxwell, si ottiene E(x, t) x = B(x,t) t derivando E(x,t) = E o cos(kx ωt) rispetto ad x (derivata parziale), si ottiene: derivando B(x,t) = B o cos(kx ωt) rispetto ad t (derivata parziale), si ottiene: E x = ke osin(kx ωt) B t = ωb osin(kx ωt) andando a sostituire, si ha ke o = ωb o = E o = ω k B o = 2πf λ 2π B o = fλb o = cb o = E o = E(x,t) B o B(x,t) = c Elaborando in maniera analoga la quarta equazione di Maxwell, si ottiene B(x, t) x = ǫ o µ o E(x,t) t ( ) nell ipotesi che nei lati b e d il campo E abbia lo stesso verso, visto la distanza infinitesima tra essi (dx << λ)

5 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 5 Energia di un onda elettromagnetica Ricordando le espressioni delle densità di energia σ E e σ B, si ha σ B = 1 B 2 = 1 E 2 c 2 = ǫ oµ o E 2 = 1 2 ǫ o E 2 = σ E = σ E = σ B In un onda elettromagnetica la densità d energia dovuta al campo magnetico è uguale a quella dovuta al campo elettrico; la densità d energia totale è σ U = σ E +σ B = 2σ E = 2σ B. Per il valore medio σ U di σ U, si ha σ U = (2σ E ) m = ǫ o (E 2 ) m = 1 2 ǫ o E 2 o = 1 B 2 o Considerando un elemento di superficie da e con θ l angolo formato tra il versore normale a da ed il vettore velocità dell OEM, l energia che attraversa da nel tempo è data, nel vuoto, da du = σ U da cosθc Potenza dp = du = ǫ oe 2 cda cosθ Ponendo S = ǫ o E 2 c, si può scrivere dp = S d A, dove S ha direzione e verso della velocità di propagazione dell onda e d A ha direzione e verso del versore normale all elemento di superficie. S = ǫ o E 2 c = ǫ o EBc 2 = ǫ o EB 1 ǫ o µ o = 1 µ o EB tenendo conto delle caratteristiche delle onde elettromagnetiche ed utilizzando la notazione vettoriale, si può scrivere, in un qualsiasi mezzo E = B v e S = 1 µ E B (vettore di Poynting) S ha la direzione ed il verso della velocità di propagazione dell OEM e la sua intensità S (modulo) rappresenta l energia dell OEM che attraversa, nell unità di tempo, l unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione. S = 1 µ o EB = 1 µ o c E2 = c µ o B 2 per il calcolo del valore medio S m di S, si tiene conto che, dalle equazioni di Maxwell, si possono scrivere E e B come funzioni cosinusoidali di ampiezza rispettivamente E o e B o, e che [ cos 2 (kx ωt) ] m = 1 ; si ha quindi 2 S m = 1 E o B o = 1 c E2 o = c B 2 o = intensità (media) dell onda I = S m = c σ U espressa in W m 2

6 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 6 Quantità di moto di un onda elettromagnetica Le onde elettromagnetiche trasportano non solo energia ma anche quantità di moto; se incidono su una superficie, esercitano su di essa una pressione (detta pressione di radiazione). Prendendo in considerazione un onda elettromagnetica che incide perpendicolarmente su una superficie A, il campo E muove le cariche parallelamente alla superficie (e quindi non ne provoca il moto) mentre il campo B, per la forza di Lorentz, impone alle cariche in movimento sulla superficie un moto perpendicolare alla superificie stessa, e quindi la superficie acquista quantità di moto (ceduta dall onda elettromagnetica). La forza che l onda elettromagnetica esercita su una carica è F q = q Ä E + vq B ä Per rendersi conto che l OEM trasporta quantità di moto e per quantificarlo, si può considerare il caso semplice di un OEM che incide su una carica q, di massa m ed in quiete sull asse x (Fig.2); per il campo elettrico, la carica acquista una velocità v y lungo l asse y, e quindi un energia cinetica U k,q = 1 2 mv2 y = 1 2 m( a y t ) Ç å qe = 2 m t 2 = 1 q 2 E 2 m 2 m t2 d altra parte, mettendosi la carica in moto lungo y, su di essa agisce la forza di Lorentz F x lungo x; considerando E e B costanti (intervallo di tempo infinitesimo) F x F x = qv y B = qatb = q qe m Bt = q2 EB m t t l area del triangolo rappresenta l impulso; la quantità di moto p q acquisita dalla carica è quindi p q = 1 2 F xt = 1 2 q 2 EB m t2 = 1 1 q 2 E 2 c 2 m t2 = U k,q c Si può generalizzare il risultato ottenuto nel caso di un OEM che incide perpendicolarmente su una superficie; se viene completamente assorbita un energia U, la quantità di moto p a trasferita alla superficie è p a = U c quantità di moto trasferita per assorbimento totale dell OEM se la superficie è completamente riflettente, la variazione della quantità di moto dell OEM è doppia, di conseguenza è doppia la quantià di moto p r ceduta alla superficie, cioè p r = 2U c quantità di moto trasferita per riflessione totale dell OEM

7 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 7 Dividendo una quantità di moto per un tempo si ha una forza, dividendo quest ultima per un area si ha una pressione P = p ta = U tac = S c la pressione di radiazione P r è quindi P r,a = S m c = I c pressione di radiazione per assorbimento totale dell OEM P r,r = 2S m c = 2I c pressione di radiazione per riflessione totale dell OEM dove S m = I è l intensità media del vettore di Poynting (intensità dell onda). Se la direzione di propagazione dell OEM e il versore normale alla superficie formano un angolo θ 0, le precedenti quantità di moto e pressioni di radiazione si moltiplicano per cos θ. Emissione e ricezione di onde elettromagnetiche (spiegazione in classe) Polarizzazione delle OEM (spiegazione in classe) Polarizzazione con polarizzatori (es. lenti Polaroid) Se l OEM è polarizzata, il campo E oscilla su un piano, I θ = I o cos 2 θ (legge di Malus), dove θ è l angolo tra il piano di oscillazione di E e la direzione di polarizzazione del polarizzatore. Se l OEM non è polarizzata, il campo E oscilla in tutte le direzioni, passa metà dell intensità dell OEM, polarizzata secondo la direzione di polarizzazione del polarizzatore; con teorema della media 1 2π I o cos 2 θ dθ= 1 ñ ô 2π 1 2π 0 2π 2 (θ+cosθsinθ) = I o 2 0 Polarizzazione per riflessione Le OEM non polarizzate che incidono su una superficie vengono in parte riflesse ed in parte rifratte, le OEM riflesse hanno un grado di polarizzazione che dipende dall angolo di incidenza; se la direzione dell OEM riflessa forma un angolo di 90 o con la direzione dell OEM rifratta, si ha una completa polarizzazione dell OEM riflessa; l angolo di incidenza θ B (uguale all angolo di riflessione) che produce tale configurazione è detto angolo di Brewster ed il campo elettrico dell OEM riflessa oscilla con direzione parallela alla superficie. Angolo di Brewster θ B = atan Ä n 1,2 ä

8 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 8 con n 1,2 indice di rifrazione relativo del mezzo 2 (su cui avviene la riflessione) rispetto al mezzo 1 (di propagazione dell OEM incidente). Si può giustificare il valore dell angolo di Brewster dalla legge di Snell; indicando con θ 1 l angolo di incidenza e con θ 2 l angolo di rifrazione, per la legge di Snell si ha sinθ 1 = n 2, con n 1 = c ed n 2 = c indici di rifrazione (assoluti) dei rispettivi mezzi di propagazione. Per la condizione di Brewster deve essere θ 2 = 90 o θ 1, sinθ 2 n 1 v 1 v 2 quindi sinθ 1 sinθ 2 = sinθ 1 sin(90 o θ 1 ) = sinθ 1 cosθ 1 = tanθ 1 = n 2 n 1 = n 1,2 se il mezzo 1 è l aria (n aria 1) ed n l indice di rifrazione (assoluto) del mezzo su cui avviene la riflessione, si può scrivere semplicemente θ B = atan(n). Diffrazione delle onde elettromagnetiche (spiegazione in classe) Fenditura singola L intensità dell OEM in un punto P di una superficie, posta ad una distanza D dalla fenditura, è I θ = I o Ç å 2 πdsin θ sin λ πdsinθ λ dove θ è l angolo formato dalla perpendicolare, dal centro della fenditura alla superficie, e la congiungente del punto P con il centro della fenditura, d è l ampiezza della fenditura e λ è la lunghezza d onda dell OEM. Si hanno delle frange scure (minimi di intensità, simmetrici rispetto al massimo centrale (θ = 0)) se πdsinθ λ = hπ = sinθ = h λ d con h = ±1,±2,... per le primme frange scure, seconde ecc. Risoluzione di una fenditura (criterio di Rayleigh) L angolo minimo di risoluzione per una fenditura di ampiezza d è θ m = λ d (con θ m in RAD) Risoluzione di un foro circolare (criterio di Rayleigh) L angolo minimo di risoluzione per un foro circolare di diamtro D è θ m = 1.22 λ D (con θ m in RAD)

9 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 9 Esercizi Sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche 1. Un condensatore, piano e vuoto, ha le armature circolari e su di esse la carica varia nel tempo; verifica che, internamente ad esso, il rapporto tra le intensità dei campi magnetici in due punti è pari al rapporto tra le distanze dei rispettivi punti dall asse delle armature. Se R è il raggio delle armature e dq(t) la variazione di carica su di esse, calcola il campo magnetico B ad una distanza 2R dall asse delle armature; valuta inoltre se è possibile che ci sia, ad un altra distanza dall asse delle armature, un valore del campo B uguale a quello calcolato alla distanza 2R. 2. In un condensatore di 1nF si ha dv(t) = V ; calcola la corrente di spostamento. s 3. Una sorgente luminosa da 75 W irradia uniformemente in tutte le direzioni; sapendo che il 5% della potenza viene trasformata in radiazione luminosa, calcola (a) l intensità (media) delle OEM e (b) E eff e B eff, a 2 m di distanza dalla sorgente. 4. Calcola l ampiezza del campo elettrico di un onda elettromagnetica, avente B o = T, se si propaga in un mezzo diamagnetico con costante dielettrica relativa uguale a Scrivi le espressioni E(x, t) e B(x, t) di un onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto ed avente E o = 600N/C e f = 20MHz. 6. Sapendo che l ampiezza del campo magnetico di una radiazione elettromagnetica nel vuoto è 2.4 µ T, calcola (a) l ampiezza del campo elettrico, (b) la densità media di energia, (c) l ampiezza del vettore di Poynting dell onda. 7. Valuta la potenza del sole se, in prossimità dell atmosfera terrestre, si registra un intensità I 1370W/m 2 (distanza terra-sole m). 8. Calcola l accelerazione di una vela spaziale quadrata, di massa 3500 kg e lato 800 m, sapendo che è situata appena oltre l atmosfera terrestre ed è totalmente riflettente alle radiazioni elettromagnetiche del sole, perpendicolari ad essa (trascura le altre forze). 9. Una radiazione elettromagnetica avente un intensità di I = 1000W/m 2 incide perpendicolarmente su una superficie circolare completamente assorbente e di raggio 7 m; calcola (a) la potenza della radiazione sulla superficie, (b) la forza della radiazione sulla superficie, (c) l energia che attraversa la superficie in un giorno, (d) lo spessore che dovrebbe avere la neve fresca (densità: 50kg/m 3 ), equamente distribuita sulla superficie (perpendicolare a g), per esercitare la stessa pressione della radiazione. 10. Un alunno, che con la sua tuta spaziale ha una massa di 200kg, vaga nello spazio con velocità costante; per rompere la monotonia, pensa di aumentare la propria velocità di 1 nm/s. Decide quindi di utilizzare il laser portatile da 3mW, con cui si distraeva a scuola durante le ore di fisica, puntandolo in verso opposto al suo moto; per quante ore dovrà tenere acceso il laser?

10 C. Luviner sintesi dell elettromagnetismo - onde elettromagnetiche Una superficie circolare C di raggio 5m e massa 20kg è composta da due parti, un cerchio centrale perfettamente riflettente e raggio 3 m e l altra parte completamente assorbente; su di essa incide, perpendicolarmente, una radiazione elettromagnetica di intensità 1340W/m 2 ; calcola: (a) l accelerazione di C, (b) la variazione della quantità di moto di C in 10 s. 12. Una luce monocromatica avente una lunghezza d onda λ = 633nm attraversa una fenditura di 0.3mm e forma la figura di diffrazione su uno schermo ad una distanza di 1.8m; calcola la distanza della prima frangia scura (una delle due) dalla proiezione del centro della fenditura sullo schermo. 13. In Fig.1 il foro circolare F ha il diametro di 2mm e le due sorgenti puntiformi S 1 ed S 2 emettono onde elettromagneiche di lunghezza d onda è λ = 500nm; (a) determina l angolo limite di risoluzione θ m = S 1 FS2 per il foro F, (b) valuta la separazioneminima s tra le due sorgenti, poste ad una distanza d= 30cm dal foro, affinchè possano considerarsi distinte. F d S 1 s 14. Una luce polarizzata linearmente incide su un polarizzatore con la direzione del campo E parallela all asse di trasmissione; calcola di quanti gradi deve essere ruotato il polarizzatore per ridurre l intensità della luce ad 1/10 di quella incidente. S 2 Fig.1 Es Una luce monocromatica avente una lunghezza d onda λ = nm attraversa una fenditura di 0.4 mm e forma la figura di diffrazione su uno schermo ad una distanza di 120cm; determina il rapporto I θ I o in un punto dello schermo distante 4.1 mm dal centro del massimo principale. 16. Sapendo che l angolo limite in aria per un materiale è di 34.4 o, determina l angolo di Brewster per tale materiale (polarizzazione per riflessione).