Operazioni differenziali sui campi

Transcript

1 Operaioni differeniali sui campi ono operaioni di derivaione delle componenti del campo. giscono su campi e definiscono nuovi campi. Gradiente Divergena Rotore Laplaciano iccome le componenti sono funioni di più variabili, avremo derivate pariali G. Pugliese 1

2 Gradiente di un campo Φ i Φ j Φ Φ Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale MPIO V # (,, ) % V $ In coordinate cartesiane: i V j V & ( V ' In coordinate POLRI: (r,ϑ ) V r u r 1 r V ϑ u ϑ G. Pugliese

3 Divergena di un campo vettoriale G. Pugliese 3 In coordinate cartesiane: Formalmente si può considerare come il prodotto scalare tra l operatore gradiente e il campo vettoriale: ` un campo scalare ( ) j i j i

4 Rotaione di un campo vettoriale G. Pugliese 4 In coordinate cartesiane: Formalmente si può considerare come il prodotto vettoriale tra l operatore gradiente e il campo vettoriale: è un campo vettoriale j i ( ) j i j i j i

5 Laplaciano di un campo G. Pugliese 5 In coordinate cartesiane: Il laplaciano di un campo scalare è un campo scalare È la divergena del gradiente: Formalmente: Può agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale: Φ Φ Φ ΔΦ Δ j i j i Δ

6 Operaioni integrali sui campi Circuitaione: integrale lungo una linea (1-dim) dl C C Flusso: integrale su una superficie (-dim) nd d Integrale nello spaio (di volume): 3-dim Φ dv V V Φ G. Pugliese 6

7 Teoremi integrali sistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differeniali: Teorema della divergena Teorema di toes G. Pugliese 7

8 Teorema della divergena Lega il flusso di un campo vettorale all integrale di volume della divergena del campo stesso (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) (Integrale della divergena del campo nello spaio interno alla superficie) d V dv V G. Pugliese 8

9 Teorema di toes Lega la circuitaione di un campo vettoriale al flusso della rotaione del campo stesso (Circuitaione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) (Flusso della rotaione del campo attraverso una qualunque superficie che poggia su tale linea) C dl da C G. Pugliese 9

10 Teorema di Gauss in forma Locale Il teorema di Gauss : in forma integrale lega il flusso del campo attraverso una superficie chiusa alle sorgenti del campo interne. In forma differeniale costituisce una relaione locale che lega le derivate del campo in un punto con le densità di carica ρ in quel punto. ʹ u u dd ʹ dd ( ʹ dd ) dd dd attraverso ʹ Bʹ Cʹ Dʹ attraverso BCD ddd viluppo in serie al primo termine essendo d piccolo G. Pugliese 10

11 Teorema di Gauss in forma Locale dτ ddd d d Φ ) ( 0 ε 0 τ ρ ε d dq d Φ ε 0 ρ ρ ε 0 Formulaione locale della L. di Gauss G. Pugliese

12 Teorema della divergena d Φ dτ (1) dφ dτ La divergena del campo in P è pari al rapporto tra il flusso attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitesimo centrato in P ed il suo volume (vale per qualunque campo vettoriale) d dτ Φ () Φ d τ dτ Il flusso del campo attraverso una superficie chiusa è pari alla divergena del campo stesso esteso al volume racchiuso da (T. della divergena) G. Pugliese 1

13 ρ ε 0 e ρ 0 Campi solenoidali 0 Il campo si dice solenoidale. Le linee di fora del campo non originano da alcun punto. e 0 Le linee di fora di si originano da un punto, ossia dalla sorgente del campo. La legge di Gauss in forma locale stabilisce quali sono i punti dello spaio dove è o meno solenoidale e, quindi, l assena o meno di sorgenti del campo elettrico in quei punti. G. Pugliese 13

14 Il rotore del campo elettrostatico d l 0 dl C d 0 il campo elettrostatico è irrotaionale Teorema di toes: Componenti cartesiane: u u u Il rotore è un operatore vettoriale che associa a un vettore un altro vettore le cui componenti sono date dalle differene tra le derivate pariali delle componenti del vettore rispetto ai tre assi, combinate a due a due G. Pugliese 14

15 Il rotore del campo elettrostatico % ' & ( * % u ) ' & ( * % u ) ' & ( * u ) Questa proprietà del campo elettrostatico può essere dedotta considerando che il campo è conservativo pertanto esiste una funione scalare V che soddisfa la relaione: V % ' & V V V ( * % u V ) V ( ' * % u V & ) V ( ' * u 0 & ) 0 G. Pugliese 15

16 Divergena-rotore-gradiente GU UPRFICI uperficie che delimita il volume τ UPRFICI Linea C che delimita la superficie C d d l τ dτ u d Teorema della divergena u Teorema di toes % ( ' * % u & ) ( ' * % u & ) ( ' * u & ) u Punti che limitano una inea f ΔV dl i V V i V j V G. Pugliese 16

17 F q IL campo elettrostatico Fora elettrostatica lettrostatico : è un campo in cui le cariche che lo generano sono fisse e costanti e che un eventuale carica di prova è fissa o si muove sena perturbare la distribuione delle cariche sorgenti. dl 0 0 IL CMPO LTTROTTICO È CONRVTIVO nd f ΔV dl i q ε int 0 V ρ(,, ) ε 0 Teorema di Gauss Poteniale LTTROTTICO G. Pugliese 17