Analisi II. Analisi 22/6/2010. Corsi di Laurea in Ingegneria dell Informazione e Ingegneria Informatica

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1 iare la convergena della serie: kk!a k k 1 (fila 1), Analisi II k a k k 1 (fila ), /6/1 Analisi II efficienti a k definiti da: Analisi Matematica/6/1 II - Anno Accademico 9-1 Corsi di Laurea in Ingegneria dell Informaione e Ingegneria Informatica 1) tudiare la convergena e della serie: a k k (fila 1), log(1 + ) a k k (fila ), Corso di Laurea in Ingegneria dell Ambiente, del Territorio e delle Risorse k 1) tudiare la convergena della serie: Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica valuti la somma. kk!a k k 1 (fila 1), k a k k 1 (fila ), Appello: Giugno 1 kk!a k k 1 (fila 1), k a k k 1 (fila ), con la funione: i coefficienti a k definiti da: 1) tudiare { la convergena della serie: kk!a { k k 1 (fila 1), k a k k 1 (fila ), con i coefficienti a k definiti da: f() 3 /( + ) e a k k (fila (fila 1), 1), 3 /( + ) log(1 + ) a k k (fila ), (fila ), con i coefficienti a k definiti e da: k a e a k k (fila 1), log(1 + ) a k k k k (fila 1), log(1 + ) a k k (fila ), (fila ), k k ese: se a) ne èvaluti continua; la somma. b) è derivabile in secondo ogni direione; c) è differeniabile. e se ne e valutarne valuti la somma. la somma. ) ata la funione: ) ata ) ata la funione: 1.5 la funione: { { { { { f() f() 3 /( f() 3 /( 3 + /( gnata la curva piana (vedi figura, con) θ [, ) ) 1π]): (fila (fila 1), 3 /( (fila 1), 3 1), 3 /( /( ) ) ) (fila (fila ) (fila, ), ),.5 ( ) ( ) θ (fila 1), (fila ), stabilire sin stabilire θse: stabilire a) se: èa) continua; se: è a) è continua; b) b) è derivabile θè sin b) èθ derivabile in in secondo secondo ogni ogni ogni -.5 direione; direione; c) èc) c) è differeniabile. è metro θ che varia in (, + ), dimostrare che non è ) Assegnata la curva piana (vedi figura, con θ e, ovvero 3) Assegnata ammette [, 1π]): lapunti curva piana multipli. 1 (vedi figura, con [, 1π]): 1 3) Assegnata la curva piana (vedi figura, con θ [, 1π]):.5 ( θ ( ) ) ( cos ( θ ).5 ( ) ( ) (fila 1) (fila ) (θ) θ (fila 1), (fila ), (θ) θ cos sin θ θ (fila 1), θ cos sin θ θ (fila ), -.5 (θ) (fila 1), (fila ), - iamo il dominio sin θ sin come θ la regioneθdi sinir θ θ 3 8 sinal θdi sopra del pa--e col parametro θ che varia in (, + ), dimostrare che non è e, contemporaneamente, al di sotto del piano col parametro semplice, col parametro ovvero θ che varia ammette θ che in (, punti varia + ), multipli. in (, dimostrare + ), dimostrare che nonche è e per il punto non è(, semplice,, semplice, ovvero ammette ) ovvero (con punti ammette > ) di punti normale multipli. n (con n multipli. ) (fila 1) (fila ) ta, vedi figura. All interno di tale dominio, calcolare l integrale: ) efiniamo il dominio come la regione di IR 3 (fila 8 1) al di sopra del paraboloide il ) Considerare + dominio definito come la regione di IR 6 e, contemporaneamente, al di sotto del piano 3 - (fila ) al di sopra - ) efiniamo passante del paraboloide per il dominio il punto (,, come + ) (con la e, contemporaneamente, regione > ) di dinormale IR 3 8 n di(con al sopra di sotto del ) del paraboloide assegnata, piano passante vedi per + figura. il dv punto () All interno (, e, contemporaneamente,, [( di ) (con )] tale dominio, (fila > ) 1), di calcolare normale dv l integrale: n () (con di sotto del piano n [( ) + )] 6 (fila ) assegnata ed in generale non parallela all asse, vedi figura. All interno passante per il punto (,, - ) (con > ) di normale n (con n ) di tale dominio, calcolare - l integrale: assegnata, vedi figura. All interno di tale dominio, calcolare l integrale: dv () [( )] (fila 1), dv () [( + )] (fila onco di toro a seione circolare di raggio variabile è delimitato dal mantello definito ) [( )] d d d (fila 1), [( + )] d d d (fila ) - dalle equaioni seguenti - β < 3π/, θ < π): dv () 5) Un tronco di toro a seione circolare [( )] (fila 1), dv () di raggio variabile è delimitato dal mantello [( + )] (fila) definito dalle equaioni seguenti (π/ 5) < Un β < tronco 3π/, di toro θ < a π): seione circolare di raggio variabile è delimitato dal mantello definito dalle equaioni seguenti r(β) (π/ r< 1 β + < β 3π/, π/ [r(β) + R] cos β θ < π): (r r 1 ), (β, θ) [r(β) + R] sin β π 5) Un tronco di toro a seione circolare r(β) r 1 + β π/ di raggio variabile è delimitato [r(β) dal cosmantello θ + R] cosβ definito dalle equaioni seguenti (π/ < β < 3π/, θ < π): (r r 1 ), (β, θ) [r(β) + R] sin β r(β) r 1 + β π π/ [r(β) r(β) cossin θ + θr] cos β (r r 1 ), (β, θ) [r(β) + R] sin β π r(β) sin θ r(β) 1 + β π/ [r(β) r(β) sin + θr] cos β è il raggio medio del toro, r 1 è il raggio della seione circolare (r r 1 ), (β, θ) [r(β) + R] sin β o in (, in cui +R, inrcui ), è ilrraggio mentre è raggio medio r del medio è quello toro, del r 1 πètoro, della il raggio r 1 seione èdella il raggio seione centrata della circolare seione in di centro circolare in (, di+r, centro ), mentre (, +R, r ), è quello mentre della r seione centrata in r(β) sin θ ). Il tronco di toro è quindi chiuso dai due cerchi è quello giacenti della sul seione (, R, centrata ). Il tronco in (, R, di toro ). èil quindi tronco chiuso di toro dai èdue quindi cerchi chiuso giacenti daisul due. Orientato il mantello con la normale esterna, calcolare il pianocerchi. giacenti Orientato sul piano il mantello. con Orientato la normale il mantello esterna, con calcolare la normale il - traverso del rotore della funione: - in cuiflusso R èesterna, il attraverso raggio calcolare medio del il rotore del flusso toro, della attraverso r 1 funione: è il raggio del rotore della seione della funione: circolare - - di centro in (, +R, ), f() mentre r è quello della seione centrata in (fila 1), -6 - (, R, ). Il tronco di toro è quindi chiuso dai due cerchi - (fila giacenti ). sul f() ) (fila 1), -6 (fila 1), - (fila ) (fila. ). - R R - - piano. Orientato R il mantello R con la normale R esterna, R calcolare il flusso attraverso del rotore della funione: - f() (fila 1), (fila 1 ). R R

2 oluioni 1/1) I coefficienti a k sono dati da: a k 1 k!, quindi la serie si scrive: che risulta totalmente convergente per < X < 1. Infatti, la serie: k k 1 (1) kx k 1 converge, come si può provare in base al criterio del rapporto. Chiamando con () la somma della serie (1), possiamo allora integrare termine a termine: dξ(ξ) dξ kξ k 1 k dξξ k 1 k Ne segue: () d ( ) 1 d (1 ). 1/) Notato che i coefficienti sono: la serie è ancora la (1). a k ( 1)k+1 k, /1) Innanitutto mostriamo che la funione: 3 f() + ha limite in. Infatti, scelto un numero ε > arbitrario, mostriamo che si riesce a trovare in corrispondena a questo un numero δ ε > tale che per ogni B δε () (assumeremo ρ, ρ sin θ con < ρ < δ ε ) valga la: 3 + ρ cosθ sin θ < ε. Considerato che la fraione trigonometrica non supera mai l unità, la relaione precedente è soddisfatta scegliendo δ ε ε/. Ne segue che la funione f è continua in. Calcoliamo ora la derivata nell origine nella generica direione d (d, d ) T con d 1: ( 1 δ 3 d 3 lim δ + δ δ d + δ d ) d d Quindi, esiste la derivata nell origine lungo una qualunque direione.. ()

3 Facciamo ora vedere che, nonostante questo, la funione f non è differeniabile nell origine. Consideriamo l incremento della funione nell origine, corrispondente ad un incremento della variabile indipendente: f() f( ) f() ( ) 3 ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) (3) ed osserviamo che, poichè ( ) /[( ) + ( ) ] non è un infinitesimo di ordine superiore a, l incremento della funione f (3) ha una struttura differente da quella richiesta per la differeniabilità di f: f f() + f() + o( ) + o( ), avendo sostituito f() 1 e f() in base al limite (). /) Iniiamo col mostrare che la funione: 3 f() + è continua in. A tale scopo mostriamo che il limite per di f vale. Infatti, scelto ad arbitrio un numero positivo ε, siamo in grado di determinare in corrispondena a questo un numero positivo δ ε tale che B δε () vale la relaione f() < ε. criviamo un generico punto di B δε () come ρ(, sin θ) T con < ρ < δ ε e quindi la condiione da soddisfare diviene: 3 + ρ sin θ cos θ < ε. Considerato che la fraione trigonometrica non supera mai l unità, possiamo scegliere δ ε ε/ per garantirci di avere soddisfatto la relaione di limite. Quindi, f è continua nell origine. Mostriamo ora che f ammette derivata lungo una qualunque direione d (d, d ) T ( 1 δ 3 d 3 lim δ + δ δ d + δ d ) d d La funione f ammette quindi derivata lungo una qualunque direione nell origine. nell origine:. () Infine, proviamo che, nonostante questo, la funione non è differeniabile nell origine. conseguente ad un incremento della variabile indipendente si scrive: L incremento di f f() f( ) f() ( ) 3 ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ). (5) Poichè ( ) /[( ) + ( ) ] non è un infinitesimo di ordine superiore a, l incremento della funione f (5) ha una struttura differente da quella richiesta per la differeniabilità di f: f f() + f() + o( ) + o( ), avendo sostituito f() e f() 1 in base al limite (). 3

4 3/1) La curva ha due punti multipli. Infatti, osserviamo la curva passa sempre per due punti che otteniamo aerando la componente (in cui figura il prodotto per θ): per θ π/ + kπ (k è un intero non negativo) la curva è in (, 1) T, mentre quando θ 3π/ + kπ è in (, 1) T. 3/) La curva ha tre punti multipli. Tali punti sono ottenuti aerando la componente (in cui figura il prodotto per θ). Troviamo coì che la curva passa nell origine per θ π/ + kπ (k è un intero non negativo), mentre è in (1, ) T per θ kπ ed in ( 1, ) T quando θ π + kπ. ) Occorre innanitutto definire qual è il dominio del piano (, ) in cui cadono le coordinate ed del generico punto di. Troviamo la curva interseione tra il piano (di equaione ( ) n, in cui (,, ) T ) ed il paraboloide (di equaione + ): { n + n + n ( ) +. Eliminando tra le due equaioni, perveniamo alla relaione: ( + n ) ( + + n ) + 1 n n n n che è l equaione di un cerchio di centro in ( c, c ) T con c n /(n ) e c n /(n ) e raggio r [ +(1 n )/(n )] 1/. Per identificare il generico punto, introdurremo quindi le coordinate polari (ρ, θ) all interno di questo cerchio avendo c + ρ, c + ρ sin θ e consideremo valori della tera coordinata compresi tra quello sul paraboloide: e quello sul piano: 1 (ρ, θ) ( c + ρ ) + ( c + ρ sin θ) ρ + ρ( c + c sin θ) + r (ρ, θ) + c ( c + ρ ) + c ( c + ρ sin θ) ρ( c + c sin θ) + r., e decidiamo di calcolare direttamente l integrale di volume, considerato che lo jacobiano del cambiamento di coordinate (,, ) (ρ, θ, ) vale ρ, scriviamo subito: dv () ( ± ) r dρρ π dθ (ρ,θ) 1(ρ,θ) d [( c ± c ) + ρ( ± sin θ)] π r ( c ± c ). (6) e decidiamo di utiliare la formula di Green, il calcolo è più laborioso. Innanitutto occorre osservare che il punto generico sulla superficie del parabolide si scrive: (ρ, θ) c + ρ c + ρ sin θ ρ + ρ( c + c sin θ) + r per cui il prodotto vettoriale θ ρ (che corrisponde ad una orientaione esterna della normale) assume la forma: θ ρ ρ ( c + ρ ) ( c + ρ sin θ). (7) 1

5 Il generico punto sulla superficie piana si scrive invece: (ρ, θ) c + ρ c + ρ sin θ ρ( c + c sin θ) + r ne segue per il prodotto vettoriale ρ θ (che corrisponde ad una orientaione esterna della normale): ρ θ ρ c c 1. (8) Utiliando la formula di Green e ricordando i prodotti (7, 8) scriviamo allora: r π d n ( ± ) dρρ dθ ( 1) [ ρ + ρ( c + c sin θ) + r ] [(c ± c ) + ρ( ± sin θ)] + + r π +π dρρ r r π π r ( c ± c ), dθ (+1) [ ρ( c + c sin θ) + r ] [(c ± c ) + ρ( ± sin θ)] dρρ [ ( c ± c )(r ) + ρ ( c ± c ) ] + dρρ [ ( c ± c )(r ) + ρ ( c ± c ) ] ovviamente in accordo col risultato (6) trovato sopra per via diretta. 5) Utiliando il teorema di tokes riportiamo il flusso del rotore alla circuitaione sulle due circonferene che delimitano. L orientaione di tali curve congruente con quella di (normale esterna) è quella oraria, per cui parametrando le due curve al modo seguente: +R + r 1 r 1 sin θ otteniamo nel caso 5/1: d r 1 d() n f r 1 +r dθ, π In modo del tutto analogo abbiamo nel caso 5/: d() n f r 1 π R + r r sin θ d r (+R + r 1 ) sin θ r 1 sin θ +R + r 1 cos θ ( R + r ) sin θ r sin θ R + r cos θ + dθ, πr(r r 1). (9) +r π π r 1 sin θ (+R + r 1 ) sin θ +R + r 1 cos θ r sin θ ( R + r ) sin θ R + r cos θ + πr(r r 1). (1) e si decide di calcolare direttamente il flusso del rotore, la procedura è decisamente più complicata. Parametriiamo come nel testo. Considerando che il raggio della generica seione del toro col piano per l asse formante 5

6 un angolo β col piano dipende linearmente dall angolo β stesso: r(β) δβ + γ con δ (r r 1 )/π e γ (3r 1 r )/, per il vettore posiione: [R + r(β) ] cos β (β, θ) [R + r(β) ] sin β r(β) sin θ otteniamo le seguenti derivate: (R + r ) sin β + δ cos β β +(R + r ) cos β + δ sin β θ r δ sin θ da cui segue il prodotto vettoriale: β θ r (R + r ) cos β + δ sin β (R + r ) sin β δ cos β (R + r ) sin θ congruente con l orientaione verso l esterno della normale ad. cos β sin β Con la definiione di f dell eserciio 5/1, il rotore di questa funione si scrive: ( ) f ne segue per il flusso: dn f 3π/ π/ dβ r π (R + r ) cos β + δ sin β (R + r ) sin β δ cos β (R + r ) sin θ (R + r ) sin β r sin θ (R + r ) sin β r sin θ πr 3π/ π/ dβ [ ( δ β + δγβ + γ ) sin β ( δ β + δγβ + γ ) cos β+ δ (δβ + γ) cos β δ (δβ + γ) sin β + δ (δβ + γ)] πr(r r 1), in accordo col risultato precedente (9). Nel calcolare tale risultato sono stati utiliati i seguenti integrali: 3π/ π/ 3π/ π/ dβ β π, 3π/ π/ dβ β sin β π 3π/, dβ β cos β, π/ dβ sin β 3π/ π/ 3π/ π/ dβ cos β, dβ β sin β π, 3π/ π/ dβ β cos β π. (11) Utiliando la forma della funione per l eserciio 5/, il rotore di f si scrive: f conseguentemente il flusso del rotore assume la forma: 3π/ π (R + r ) cos β + δ sin β dn f dβ r (R + r ) sin β δ cos β π/ (R + r ) sin θ (R + r ) sin β r sin θ πr 3π/ π/ πr(r r 1), dβ [( δ β + δγβ + γ ) sin β δ (δβ + γ) cos β + δ (δβ + γ) ] avendo adoperato gli integrali (11). Il flusso precedente conferma il risultato (1) trovato in precedena coll uso del teorema di tokes. 6