Esercitazione sui numeri complessi

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1 . Esponeniali e logaritmi. Sviluppi in serie di potene 3. Singolarità e residui 4. Integrali su circuiti semplici. Esponeniali e logaritmi Esercitaione sui numeri complessi February 7, 03 Eserciio. Calcolare la forma esponeniale e il logaritmo dei seguenti numeri complessi i +, 4i, 6 + 3i, 3, + i 5, i i. Sviluppi in serie di potene Eserciio. Calcolare gli sviluppi in serie di potene di centro 0 delle seguenti funioni, precisandone il raggio di convergena e, +,, d sin d. 3. Singolarità e residui Eserciio 3. Determinare le singolarità delle seguenti funioni:, cos i Eserciio 3. Trovare i residui in ero delle seguenti funioni , 4 +, sin cos, Eserciio 3.3 Idem Eserciio 3.4 Idem sinh, sin 4, sin 5, sin 6, sin 7. e i +, e/, + e /. 4. Integrali su circuiti semplici Sia C r 0 la circonferena di raggio r e centro 0. Eserciio 4. Calcolare l integrale C / i 4 d.

2 Eserciio 4. Idem cos e C 0 d. Eserciio 4.3 Idem Γ d Γ è il rettangolo di vertici 0, 7, 7 + 4i, 4i Eserciio 4.4 Idem C 8 0 e d. Eserciio 4.5 Idem C 0 e / d. Eserciio 4.6 Idem sin d, C 0 C 0 + d, C 0 e + d, π cot π d, C e0 C 0 + / 4 d, C i C d, cot d

3 Soluioni. Esponeniali e logaritmi Eserciio. In generale: Si ha quindi = a + ib = ρ = i + = a ρ + i b = ρe iθ, log = log ρe iθ = logρ + iθ. ρ i = e iπ/4, log = log + i π 4 ; = 4i = 4 i = 4 e iπ/, log = log4 + i π ; = 6 + 3i = i = 4 3 e iπ/6, log = log4 3 + i π 6 ; = + i 5 = e iπ/4 5 = 4 e i5π/4, log = 5 log + i π ; 4 = i i = 3 5 e iπ/6, log = log3 + 5 log i π 6.. Sviluppi in serie di potene Eserciio. n n e =, r = ; n! + + = + = n = + n, r = ; = d sin d = d d = d d 3. Singolarità e residui n= + n + n+ = =, r = ; n n+ n +! = d d } { n n = n +! n= n n n +!, n n n n +!, r =. Eserciio 3. Data una fraione f/g, si tratta di determinare tutte le soluioni dell equaione g = 0, le singolarità non eliminabili sono poi tutte quelle che non sono anche soluioni di f = 0, o che lo sono, ma con molteplicità minore. Data, si decompone il denumeratore come =

4 Dato che = è una singolarità anche per il numeratore, le singolarità della funione sono Data cos 3 + 8i che 8i = 3 e iπ/ Eserciio 3. =, = + 5, 3 = 5., le singolarità sono le soluioni dell equaione 3 + 8i = 0, cioè notando = e iπ/6, = e iπ/, 3 = e i7π/6. f = = f; 0 = ; 3 f = 4 + f ha singolarità in =, = e ik+π/4, ma NON in 0 f; 0 = 0; f = sin Dato che d {cos } 0, si può usare cos d sin la formula: f; 0 = d = sin f; 0 = ; {cos } =0 sin =0 d f = + Dato che 0 è un polo semplice, 3 5 si usa la formula: f; 0 = lim f = + f; 0 = =0 5. Eserciio 3.3 f = sin. Dato che m+ 0 = 0 è uno ero di ordine per il numeratore, e uno ero di ordine m + per il denumeratore, sappiamo che 0 = 0 è un polo di ordine m + = m per f. Si potrebbe essere tentati di usare la formula m! lim d m 0 d 0 m f, m che però richiede m derivate di sin. Meglio quindi usare lo sviluppo di Taylor di sin : sin = m+ m+ k k+ + k +! = k k m k +!. Il residuo è quindi il coefficiente di se questo appare nella serie, ero altrimenti, cioè k per k tale che k m = se tale k è un numero intero. Per esempio, per m = 5 e k +! m = 6 si ha: sin ; 0 = 6 4 +! = 5, sin ; 0 = 0. 7 Eserciio 3.4 sinh ; 0 = 0; e i + ; 0 = 0; e / ; 0 = ; + e / ; 0 =

5 4. Integrali su circuiti semplici Calcolare l integrale f d. C r 0 Schema generale: a Trovare le singolarità di f b Capire quali si trovano all interno del circuito C r 0 c Calcolarne il residuo d Usare la formula dei residui vedi appunti, eq..5 per il calcolo dell integrale Eserciio 4. C / i 4 d a Le singolarità di f sono le quattro radici dell unità: =, = i, 3 =, 4 = i; b L unica all interno del circuito è chiaramente = i; C / i 3 4 c Usando la fattoriaione 4 = i + + i, si calcola 4 ; i = lim if = i i i + i + i = i 4 ; d Usando la formula dei residui.5 per il calcolo dell integrale otteniamo d = πi 4 4 ; i = πi i 4 = π. C / i 5

6 Eserciio 4. C 0 Si vede che = 0 è un polo di ordine per f = e quindi l integrale vale πi sin. cos e d cos e. Calcoliamo d f; 0 = lim 0 d cos e = sin, Eserciio 4.3 Calcoliamo: Γ d Γ è il rettangolo di vertici 0, 7, 7 + 4i, 4i = 3 + i, = 3 i, f = = f; = Γ = i f d = πi f; = π. Eserciio 4.4 Notando che e = per = 0 + kπi, k Z, e π 6.8, calcoliamo C 8 0 e d = πi f; πi + f; 0 + f; πi = πi e πi e = 6πi. 0 e πi Eserciio 4.5 C 0 e / d = πif; 0 = πif; = πi wew w ; 0 = πi. 6

7 Eserciio 4.6 Si usa principalmente la formula.6, pagina -7. d = πi f; = 0 C 0 sin = πi = πi. cos =0 e d = πi f; = 0 C 0 + e = πi = πi. + =0 + / 4 d = 0, infatti C i C 0 C 0 C 0 C e0 + / 4 = 4 k=0 4 4 k k = k 4 k=0 4 4 k, k e dato che 4 k è pari, il coefficiente di è 0. cot d = πi f; = 0 = πi cos = πi. cos =0 + d = C 0 + i i d = πi f; = i + f; = i = πi + = 0. + i =i i = i cosπ π cot π d = π sinπ d = π i = π i C e d = C i f; = k k= k= cosπ = 0πi. π cosπ =k i i d = πi f; = i d + 5 = πi lim i d + + i πi [ = 4ii + i 3 i + i + i ] i + i 4 = 5 π + i7 4 π. 7