Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (270) Analisi Matematica (12 CFU) Esercitazione del 19/05/2014. Soluzioni.

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (7) Analisi Matematica ( CFU) Esercitaione del 9/5/4. Soluioni..Studiare il comportamento (dire se converge o diverge e eventualmente stimare la somma) della serie n n n e x dx, giustificando la risposta. n n= Soluione. Per ogni n si ha n n e quindi n n n n = n /. Inoltre, n (3/) n n e quindi n n ( 3 n )n = ( 3 4 )n. altra parte n e x dx e x dx = π. In definitiva, si ha la stima n n ( 3 ) n. n e x dx 4 n 4 Poiché la serie geometrica n 3 n=( 4) converge ed ha somma 3, per il criterio del confronto la serie data converge ed ha somma non superiore a.. Siano (X,d) uno spaio metrico, A X e d(x,a) la distana di x X da A. Caratteriare i punti x X tali che d(x,a) =. imostrare che se A è aperto e K A è compatto, allora d(k,a) := inf x K d(x, A) >. Soluione. (i) d(x,a) = se e solo se x è nella chiusura di A, x X d(x,a) = } = A, vedi [GM] vol. Corollario 5.8. (ii) La funione f(x) := d(x, A) è continua e K è compatto. unque per il teorema di Weierstrass esiste x K tale che inf x K d(x, A) = d(x, A). Ora per ipotesi K A e A è aperto, dunque K A =. Pertanto x / A. Se per assurdo fosse d(x, A) =, x apparterrebbe a A cioè a A perché A è chiuso, un assurdo. 3. Sia f :, f(x,y) = (y +)log(+x ). eterminarne l immagine, giustificando la risposta. Soluione. La funionedata è continua su e non negativa. L immagine di n tramite f è dunqueun intervallo generaliato A [,+ [. Poiché f(,) =, è il valore minimo assunto da f. Inoltre sui punti della successione x n }, x n = (,n), la funione vale f(x n ) = (+n )log3 da cui f(x n ) +. Pertanto f assume valori arbitrariamente grandi. Si conclude che A = f( ) = [, [. 4. Enunciare il teorema di caratteriaione variaionale degli autovalori di una matrice simmetrica. Soluione. Vedi [GM] Vol., Teorema Sia A : n k un applicaione lineare. imostrare che A è un aplicaione lipschitiana. are una caratteriaione della sua costante di Lipschit e un algoritmo per il suo calcolo. Soluione. Vedi [GM] Vol., 5.e. e Teorema Sia γ : 3 la curva data da γ(t) = (t,t 3 t,arctant) T. eterminare il piano di 3 passante per γ() tangente a γ in γ() e parallelo al vettore γ (). Soluione. Si ha γ() = (,,π/4) T, γ (t) = (,3t, ) T, ( γ +t (t) =,4t, t ) T, (+t ) e quindi γ () = (,,/) T e γ () = (,4, /) T. L equaione parametrica del piano cercato è ( ) (t,s) φ(t,s) = +t +s 4 = + 4 t. s π/4 / / π/4 / /

2 7. Sia f : definita da f(x,y) := xy xcosy. Calcolare f (,π/) nella direione v := v (/, 3/). Soluione. La funione data è di classe C e dunque differeniabile. La matrice jacobiana di f in (,π/) è f(,π/) = (π/,). Pertanto f v ( ) / = f(,π/)v = (π/,) = π/ / 8. Siano f : e g : differeniabili. Calcolare d ( ) f(x,g(x)) (x). dx Soluione. Se denoto con (u,v) le variabili indipendenti di f, la regola della catena dà df(x,g(x)) (x) = f dx u (x,g(x))du dx + f v (x,g(x))dv dx = f f (x,g(x))+ u v (x,g(x))g (x). 9. Scrivere l equaione del piano tangente alla linea di livello Γ := (x,y,) 3 e y +ye xe y = x } nel punto (,,) T. Soluione. La funione f(x,y,) := xe y +ye xe y x +è di classe C ( 3 ). Posto P = (,,) T, si ha f(p ) = (e y x e y,xe y +e xe y,ye xe y ) P = ( 3,4, ). Pertanto per il teorema delle funioni implicite, la linea di livello data Γ è in un intorno di P una -sottovarietà regolare di 3 con piano tangente in P dato da Tan P Γ = (x,y,) 3 ( 3,4, ) x y } } = = (x,y,) 3 3x+4y =. Sia S lasuperficiedi 3 parametriata dalla funioneφ(t,θ) = (t,t,t sinθ) T, (t,θ) ] π,π[. Scrivere l equaione dello spaio tangente ad S nel punto P = φ(,). Soluione. La parametriaione φ(t,θ) è di classe C ( ). Inoltre t φ(t,θ) = e quindi φ(, ) =. tsinθ t cosθ Poiché φ(, ) ha rango massimo (), lo spaio tangente alla superficie parametriata è dato da Imφ(,), i.e., il piano per l origine generato dai vettori (,,) T e (,,) T.. eterminare, giustificando la risposta, gli eventuali punti critici di f : 3, f(x,y,) = x+y 6, sulla sfera di centro e raggio. Soluione. Il vincolo è un insieme chiuso e limitato e la funione è una funione lineare, quindi continua. Mi aspetto dunque di trovare almeno due punti critici, un punto di massimo e un punto di minimo. Inoltre, essendo le linee di livello di f piani paralleli tra loro, mi aspetto di trovare solo due punti critici e questi tra loro antipodali.

3 Per trovarli, decido di utiliare il metodo dei moltiplicatori di Langrange: (x,y,x) T è un punto critico vincolato se e solo se esiste λ tale che (x,y,,λ) è soluione di = λx, = λy, Segue che λ e dunque 6 = λ, x +y + =. x = λ, y = λ, = 6 λ, =, 4λ 4λ 4λ da cui λ := ± e i due punti critici (,, 6) T e (,, 6) T. 3. eterminare, giustificando la risposta, gli eventuali punti di massimo e di minimo della funione f :, f(x,y) = x +y +, condiionati al vincolo g(x,y) = x xy +y =. Soluione. L equaione del vincolo si riscrive come g(x,y) = (x y) =. Il vincolo è dunque la retta di equaione y = x Osserviamo che per ogni intero n il punto x n = (n,n) è sul vincolo e f(x n ) = n +, pertanto f assume valori arbitrariamente grandi: non ha quindi massimi assoluti. Inoltre, f è sempre maggiore o uguale a due, e f(x,y) = se e solo se x + y =, i.e. (x,y) = (,). Poiché (,) appartiene al vincolo, si conclude che f ha (,) come unico punto di minimo assoluto vincolato. 4. Calcolare (x +y )dxdy dove è la regione piana compresa tra le circonferene di equaione x +y y = e x +y 4y =. Soluione. Il dominio è l interseione tra il cerchio di centro (,) e raggio e l esterno del cerchio di centro (,) e raggio, } = (x,y) x +y 4y, x +y y. ecido di passare a coordinate polari centrate in (, ), x = ρcosθ, φ(ρ,θ) = y = ρsinθ. Allora \,} = φ(e) dove } E : = (ρ,θ) ρ >,θ [,π[, sinθ ρ 4sinθ } = (ρ,θ) ρ,θ ],π[, sinθ ρ 4sinθ. Poiché φ è da E su \(,)}, dalla formula di cambiamento di variabili (x +y )dxdy = ρ 3 dρdθ, e, essendo E normale rispetto all asse delle ρ, si ha π 4sinθ ρ 3 dρdθ = dθ ρ 3 dρ = 56 6 π sin 4 θdθ = sinθ 4 E E

4 5. Calcolare } (x,y) xydxdy dove = x +y <, x +(y +). Soluione. Il dominio è l interseione tra l interno del cerchio di raggio e centro (,) e l esterno del cerchio di centro (, ) e raggio. Pertanto = (x,y) x, x y } x. Poiché è normale rispetto all asse y e posto per brevità α(x) := x e β(x) = x, si ha β(x) xydxdy = dxx ydy = x(β (x) α (x))dx = α(x) 6. Calcolare il volume del solido = (x,y,) 3,x +y }. Soluione. ha simmetria cilindra attorno all asse delle. Pertanto, se si pone per ogni se <, := x +y < } se, dal teorema di Fubini L 3 () = dl ( ) = π d = π. 7. Calcolare (4 )dxdyd dove è la piramide con vertici (,,), (,,), (,,) e (,,4). Soluione. Poiché la funione integranda dipende solo su e una delle facce è perpendicolare all asse, decido di procedere affettando con piani perpendicolari all asse. Se è la seione di a livello, ovviamente = se < o > 4 e, per il teorema di Talete, L ( ) = ( 4 4 ) L ( ) = 3 (4 ) se 4. Segue dal teorema di Fubini che (4 )dxdyd = 4 (4 )d = 4 (4 )L ( ) = 3 4 (4 ) 3 d =. 8. Il quadrato del piano (y,) di vertici (,), (,), (,), (,) genera ruotando attorna all asse un volume. Calcolare dxdyd. Soluione. Il dominio ha simmetria cilindrica attorno all asse e una sua seione con un piano perpendicolare all asse è vuota se < o se > ed è una corona circolare concentrica centrata in (,) e raggi e. Pertanto dal teorema di Fubini dxdyd = L ( )d = π(4 )d = 3π. 9. Sia f : n unafunione. Cosavuol dire f è L n -misurabile?. Enunciarelevarie formulaioni equivalenti di L n -misurabilità per f, in particolare il lemma di quantiaione. Soluione. Vedi [GM] vol. Cap. 7.c e lemma Enunciare il teorema di passaggio a limite di Beppo Levi. are controesempi al teorema di Beppo Levi. Soluione. Vedi [GM] vol. teorema 7.8.

5 Sia ϕ(x), x, una funione continua non negativa con ϕ(x) per x e ϕ(t)dt >. Per ogni n N sia f n (x) := ϕ(x n). Allora lim n f n (x) = e però = dx = lim f n(x)dx lim f n (x)dx = ϕ(t) dt. n n Un altro controesempio è il seguente per n e x, sia f n (x) = nx. Allora lim n nx = e però = dx = lim f n(x)dx lim n n f n (x)dx = lim dx = +. n n x. Enunciare la formula di Cavalieri. Soluione. Vedi [GM] vol. Teorema 7... Enunciare il teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli. Soluione. Vedi [GM] vol. Teorema 8.4.