APPENDICE B Ausili matematici

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1 APPENDICE B Ausili matematici B Sistemi di coordinate In molteplici circostane non risulta efficace l impiego dei sistemi di coordinate cartesiani sia nel piano che nello spaio Ciò accade in particolare quando è più conveniente esprimere le posiioni dei punti attraverso degli angoli e delle distane Nel piano l identificaione della posiione di un punto P attraverso un raggio ed un angolo è detta polare: la coordinata radiale rappresenta la distana di P da un origine O detta polo; la coordinata angolare è l angolo che la retta posta in corrispondena di deve descrivere per sovrapporsi alla retta passante per P e per O In figura sono confrontate le coordinate cartesiane del punto P con le corrispondenti coordinate polari Note le coordinate cartesiane e y di P è possibile dedurre le corrispondenti coordinate polari e attraverso le relaioni: y y tan ; viceversa risulta: cos y sin ; La naturale estensione del sistema di coordinate polari nelle tre dimensioni è rappresentata dal sistema cilindrico In questo caso la posiione del punto P è rappresentata attraverso le coordinate polari e della proieione P di P sul piano y e dalla distana di P da tale piano (si veda la figura) Le coordinate cilindriche e del punto P possono essere dedotte da quelle cartesiane attraverso le relaioni: y y tan ; viceversa:

2 B- Appendice B - Ausili matematici cos y sin Il sistema di coordinate sferiche identifica un punto nello spaio attraverso una distana e due angoli In particolare è la distana del punto P dall origine O è l angolo compreso tra l asse e il segmento OP e è l angolo compreso tra l asse e la proieione OP del segmento OP sul piano y (si veda la figura) Le coordinate sferiche e del punto P possono essere dedotte da quelle cartesiane attraverso le relaioni: y y tan cos ; y viceversa risulta: sin cos y sin sin cos Spesso la necessità di un cambiamento di sistema di coordinate si ha nel calcolo di integrali; ciò accade ad esempio qualora il dominio di integraione è caratteriato da simmetrie tali da rendere inadeguato l uso delle coordinate cartesiane Supponiamo di dover integrare la funione f n su un dominio V Siano T T T n n n n n le formule di trasformaione nelle coordinate n risulta allora: V f d d d f T T T d d d n n n n n n dove è il dominio V trasformato attraverso T e

3 Appendice B - Ausili matematici B-3 n n det n n n n n n è detta matrice jacobiana della trasformaione T Esempio: Supponiamo di voler integrare la funione f ( y ) su un domino S e che risulti opportuno il cambiamento di variabile da cartesiane a polari; la matrice jacobiana della trasformaione è: cos cos y cos sin det det ; sin cos sin sin ne segue che l integrale di tale funione nel domino specificato può esprimersi come: y S f y ddy f cos sin dd f cos sin dd in cui rappresenta il nuovo dominio di integraione Il risultato conseguito attraverso l esempio precedente si presta ad un utile interpretaione geometrica Il cambiamento di variabile richiede che si stabilisca l espressione dell elemento di area ddy nelle coordinate specificate in questo caso le coordinate polari Dalla figura mostrata si può osservare che l elemento infinitesimo di area può esprimersi attraverso queste coordinate come un rettangolo infinitesimo di lati d e d ; l elemento d area vale pertanto dd così come dedotto in maniera analitica Analogamente nello spaio come è mostrato dalla figura l elemento infinitesimo di volume in coordinate sferiche è il parallelepipedo di lati d d e sin d pertanto il volume di tale elemento vale sin ddd ; infatti la matrice jacobiana della trasformaione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche vale sin cos cos cos sin sin y det sin sin cos sin sin cos cos sin sin

4 B-4 Appendice B - Ausili matematici B I vettori Tutte le grandee per la cui definiione non concorrono altri elementi al di fuori della loro misura vengono dette grandee scalari; sono esempi di grandee scalari l intervallo di tempo la massa la temperatura ecc Esistono tuttavia delle grandee per le quali non è sufficiente una sola quantità per la loro completa caratteriaione Consideriamo ad esempio il moto rettilineo di un corpo puntiforme originariamente a riposo in un punto A; qualora si specificasse unicamente che al termine del moto il corpo ha percorso una lunghea l tutto ciò che si potrebbe affermare circa la posiione finale B del corpo è la sua localiaione in un punto della superficie sferica di centro A e raggio l Per conoscere la posiione B e di conseguena lo spostamento subito dal corpo oltre all origine A del moto e la lunghea dello spostamento occorre sapere la direione ossia la retta AB lungo la quale avviene il movimento ed il verso cioè in quale dei due sensi viene percorsa la retta AB Le grandee come lo spostamento per le quali è necessario precisare oltre che la loro misura o modulo anche la direione il verso e in certi casi anche l origine o punto di applicaione vengono dette grandee vettoriali Sono esempi di grandee vettoriali la velocità l acceleraione la fora ecc Una grandea vettoriale può essere rappresentata graficamente mediante un segmento orientato OV detto vettore indicato con: v OV La lunghea v OV v rispetto ad una scala prefissata rappresenta il modulo (o intensità) del vettore; la retta su cui giace il segmento orientato OV rappresenta la direione del vettore il verso è quello che va dal punto O al punto V e l estremo O indica l origine del vettore o il suo punto di applicaione Dal punto di vista storico il concetto di vettore fu introdotto nel 845 da William Rowan Hamilton attraverso la noione di spostamento di un punto B Operaioni tra i vettori Mentre per le grandee scalari valgono le regole del calcolo algebrico queste non sono valide per le grandee vettoriali Dati i vettori u e v di definisce somma un vettore: w u v che si ottiene costruendo un parallelogramma con i due lati formati dai vettori u e v disposti in modo che l origine di uno sia posta in corrispondena dell estremo libero dell altro Il vettore w è rappresentato dalla diagonale che si ottiene congiungendo l origine O di u con l estremo V di v Il modulo del vettore w si ricava dall applicaione del teorema di Carnot al triangolo OUV così formato: w u v uv u v uv cos cos

5 Appendice B - Ausili matematici B-5 dove è l angolo OUV ˆ e è l angolo supplementare a Questa regola per la somma dei vettori fu anticipata da Simone Stevin nel 68 e successivamente sviluppata da Isaac Newton nel 687 Si osserva banalmente che la somma di vettori è commutativa pertanto: u v v u Dato un vettore v il vettore opposto v è un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direione di v ma verso opposto La sottraione di un vettore v da un vettore u può essere riguardata come l addiione al vettore u del vettore v opposto a v : w u v u v Il prodotto w di un vettore v per un qualunque scalare m è definito come un vettore di modulo la cui direione è quella di v : w mv il verso è quello di v se m altrimenti è quello di v Si definisce versore associato al vettore v il vettore: v v vˆ v v ; (B) si osservi che vˆ e pertanto i versori sono adimensionali e servono unicamente a specificare la direione ed il verso di un vettore assegnato Supponiamo di decomporre il vettore v nei tre vettori v v y e v diretti secondo gli assi di un sistema di coordinate cartesiane: v v vy v allora i vettori v v y e v sono detti componenti cartesiani di v Introducendo i versori ˆ ŷ e ẑ diretti nel verso positivo degli assi coordinati il vettore v si può esprimere come: v v ˆ v yˆ v ˆ y dove v v y e v sono rispettivamente i moduli dei vettori componenti v v y e v Dall applicaione del teorema di Pitagora il modulo di v può esprimersi come: I versori ˆ ŷ e ẑ associati agli assi coordinati possono essere definiti a partire dal generico vettore v non nullo espresso attraverso le componenti cartesiane v v e y v rispettivamente come v di v v vy v e v v in cui v è il modulo

6 B-6 Appendice B - Ausili matematici v v v v y Attraverso le componenti cartesiane v è possibile esprimere il versore associato (B) come: v v ˆ ˆ vy y vˆ vˆ v v v v y La somma o la differena w tra due vettori u e v espressi attraverso le componenti cartesiane: u u ˆ u yˆ u ˆ y v v ˆ v yˆ v ˆ y vengono svolte addiionando o sottraendo le componenti omologhe: w u v u v ˆ u v yˆ u v ˆ y y In alcune circostane risulta opportuno rappresentare i vettori attraverso delle matrici Ad esempio il vettore u di componenti cartesiane u u e y u si può rappresentare come: u u uy ; u il prodotto per uno scalare e la somma o la differena tra vettori sono effettuate adoperando le regole tradiionali delle matrici: v mv w mv m vy mvy v mv u v u v w u v uy vy uy vy u v u v Si definisce prodotto scalare tra i vettori u e v lo scalare: u v uv cos dove è l angolo compreso tra le direioni dei due vettori Si osservi che il prodotto scalare u v può intendersi anche come il prodotto tra il modulo di v e la proieione di u nella direione di v o alternativamente come il prodotto tra il modulo di u e la proieione di v nella direione di u Il prodotto scalare è commutativo per cui: u v v u ed il segno cambia in relaione all angolo e in particolare:

7 Appendice B - Ausili matematici B-7 uv così è nullo se i vettori u e v sono tra loro perpendicolari Per i versori degli assi coordinati valgono le relaioni: ˆ ˆ yˆ yˆ ˆ ˆ ˆ yˆ ˆ ˆ yˆ ˆ (B) dalle quali segue che : u v uv uyvy uv dove u u y e u sono le componenti cartesiane di u e v v y e v quelle di v Nella rappresentaione matriciale il prodotto scalare u v tra i vettori u di componenti cartesiane u u e y u e v di componenti cartesiane v v e y v si calcola attraverso le regole di moltiplicaione delle matrici come: v u v u u u v u v u v u v v y y y y Si definisce prodotto vettoriale tra i vettori u e v il vettore: di modulo w u v w uvsin dove è l angolo compreso tra le direioni dei due vettori direione perpendicolare al piano definito dai vettori u e v e verso uguale a quello di una vite destrorsa che ruota da u verso v Alternativamente il verso di w può essere identificato attraverso la regola della mano destra: se le quattro dita della mano destra iniialmente orientate verso di u si muovono nella direione di v Infatti esprimendo i vettori u e v attraverso i versori degli assi coordinati dalla relaioni (B) segue: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y ˆ u v u u y u v v y v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u v ˆ ˆ u v ˆ yˆ u v ˆ ˆ u v u v y u v u v y u v y y u v y y y y y y uv uyvy uv y

8 B-8 Appendice B - Ausili matematici avvolgendo l angolo allora il pollice indica il verso del vettore w Da tale definiione segue che il prodotto vettoriale non è commutativo e risulta u v v u e inoltre se cioè se i vettori u e v sono paralleli il loro prodotto vettoriale è nullo così ad esempio: uu Si noti che in questa identità si è fatto uso del vettore nullo che rappresenta un vettore le cui componenti rispetto ad un qualunque sistema di coordinate sono nulle Per i versori degli assi coordinati valgono le relaioni: ˆ ˆ yˆ yˆ ˆ ˆ ˆ yˆ yˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yˆ yˆ ˆ ˆ yˆ ˆ (B3) dalle quali segue che 3 : ˆ yˆ ˆ u v u v u v ˆ u v u v yˆ u v u v ˆ u u u y y y y y v v v y Nella rappresentaione matriciale il prodotto vettoriale u v tra i vettori u di componenti cartesiane u u e y u e v di componenti cartesiane v v e y v è un vettore dato dal prodotto tra la matrice u u y u u y u u formata a partire dal vettore u e la matrice che rappresenta il vettore v cioè: u u y v uvy uyv u v u u vy uv uv uy u v uyv uv y 3 Infatti esprimendo i vettori u e v attraverso i versori degli assi coordinati dalla relaioni (B3) segue: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y ˆ u v u u y u v v y v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u v ˆ ˆ u v ˆ yˆ u v ˆ ˆ u v u v y u v u v y u v y y u v y y y y y y y u v ˆ u v yˆ u v ˆ u v ˆ u v yˆ u v ˆ u v u v ˆ u v u v yˆ u v u v ˆ y y y y y y y y

9 Appendice B - Ausili matematici B-9 Se le componenti cartesiane dei vettori u e v si indicano rispettivamente come componenti w del prodotto vettoriale u v si possono esprimere come: i u e j v con k jk 3 le 3 w u v i 3 i ijk j k jk in cui è detto simbolo di Levi-Civita dal nome del matematico italiano Tullio Levi-Civita che per primo lo ha ijk introdotto e vale: i j k i j k se ; ijk se ; altrimenti Se il modulo dei vettori u e v ha le dimensioni di una lunghea dal punto di vista geometrico il prodotto vettoriale tra tali vettori è caratteriato dall avere il modulo pari all area del parallelogramma i cui lati sono definiti dai vettori u e v (si veda la figura) Sia r r t un vettore funione continua (in modulo e direione o solo in modulo o solo in direione) di una quantità scalare t; si definisce derivata di r rispetto a t l operaione: dr r t r t r t t r t lim lim dt t t t tt t dove t t t Cioè la derivata consiste nel calcolare il limite per t tendente a t del rapporto tra r t e la differena dei vettori quelli del vettore r t r t r t e la differena t t La direione e il verso di dr dt sono al limite per t tendente a t L elemento differeniale dr si esprime in coordinate cartesiane attraverso la relaione: dr d ˆ dy yˆ d ˆ (B4) Se f f t è una funione continua si ha: d f r f t t r t t f t r t lim dt t t f t t r t t f t r t t f t r t t f t r t lim t t f t t f t r t t r t lim r t t f t t t t df dr r f ; dt dt così per un vettore v potendolo esprimere come dv d vvˆ dv dvˆ vˆ v dt dt dt dt ˆ vv si ha:

10 B- Appendice B - Ausili matematici Risulta infine: d du dv u v dt dt dt d du dv u v v u dt dt dt d du dv u v v u dt dt dt B Relaioni vettoriali notevoli Di seguito vengono riportate alcune identità vettoriali notevoli; dati i vettori a b c e d risulta: a b c c a b b c a a b c a c b a b c a b c b c a c a b a b c d a c b d a d b c a b c d a b d c ab c d c d ab c d b a B3 Operatori differeniali e relativi teoremi Una funione scalare delle coordinate y definita in una certa regione dello spaio prende il nome di campo scalare; se in questa regione sono definite tutte le derivate pariali di allora tale funione prende il nome di campo scalare derivabile nella regione di interesse Allo scopo di visualiare un campo scalare si introduce il concetto di superficie di livello definita come il luogo dei punti in cui il campo considerato assume un valore costante c: y c Tale relaione al variare della costante definisce una famiglia di infinite superfici nello spaio Un vettore v funione delle coordinate y definito in una certa regione dello spaio prende il nome di campo vettoriale; se in tale regione sono definite tutte le derivate pariali delle componenti di v allora tale vettore è detto un campo vettoriale derivabile nella regione di interesse Nella prima metà del 9 secolo Faraday introdusse il concetto di linee di fora per stabilire una modalità di visualiaione del campo elettrico Le linee di fora sono largamente adoperate per

11 Appendice B - Ausili matematici B- rappresentare un generico campo vettoriale Le proprietà delle linee di fora associate ad un campo vettoriale sono: Il vettore è tangente alle linee di fora in ogni punto Il numero di linee di fora per unità di area che attraversano una superficie ad esse perpendicolare è proporionale all intensità del vettore in corrispondena della superficie Nell esempio di figura siccome la densità delle linee che attraversano la superficie (matematica) A è superiore a quella delle linee che attraversano la superficie (matematica) B l intensità del vettore in A è maggiore di quella in B Definiamo tubo di flusso come la regione dello spaio individuata dalla superficie tubolare formata tracciando l insieme delle linee di fora passanti per ciascun punto di una curva chiusa Per costruione il campo vettoriale che genera tale configuraione è tangente ad ogni punto di tale superficie tubolare B3 Flusso di un vettore Consideriamo un campo vettoriale v e supponiamo che le linee di fora corrispondenti siano tutte parallele tra loro Consideriamo una superficie di area S disposta perpendicolarmente alle linee di fora (si veda la figura) Poiché il numero di linee di fora per unità di area di un vettore è proporionale al modulo del vettore una misura del numero di linee di fora passanti attraverso la superficie è proporionale al prodotto vs Questa grandea prende il nome di flusso del vettore v attraverso la superficie S: vscos vs Qualora la superficie formi un angolo con la direione perpendicolare alle linee di fora di v risulterà: essendo il numero di linee che attraversa S pari al numero di linee che attraversa l area proiettata S ' perpendicolare al campo (si veda la figura) Se si introduce un versore normale ˆn alla superficie S come mostrato in figura si può definire il flusso come: v ns ˆ ovvero definendo un vettore S ns ˆ si ha: v S Nel caso generale il vettore v può variare in corrispondena dei punti della superficie S attraverso la quale si vuole calcolare il flusso; così per poter applicare la precedente definiione occorre

12 B- Appendice B - Ausili matematici suddividere tale superficie in elementi infinitesimi ds in corrispondena dei quali la variaione del vettore v può essere considerata trascurabile allora il flusso elementare di v attraverso ds sarà: d v nds ˆ v ds superficie è: dove si è posto ds nds ˆ (si veda la figura) Pertanto la misura del numero di linee di fora del campo v che attraversano tale v ds S Poiché la superficie può anche essere chiusa (si veda la figura) occorre stabilire una convenione circa il verso di ˆn In questo contesto tale versore è scelto uscente dalle superfici chiuse Con questa convenione il prodotto v nˆ sarà positivo laddove il campo è uscente dalla superficie considerata e sarà negativo dove il campo è entrante B3 L operatore nabla Si definisce un operatore vettoriale (nabla) in coordinate cartesiane nella maniera seguente: ˆ yˆ ˆ y In relaione alla sua aione su un campo scalare o su un campo vettoriale tale operatore può determinare sia una campo scalare che un campo vettoriale E possibile provare che l operatore nabla possiede caratteristiche analoghe a quelle dei tradiionali vettori e si presta a definire in maniera sintetica altre grandee utili nell ambito della fisica In generale la sua espressione dipende dal particolare sistema di coordinate adoperate e l espressione precedente è relativa alle coordinate cartesiane B33 L operatore gradiente Consideriamo un campo scalare derivabile espresso attraverso una funione di ogni punto di una assegnata regione: r y dove r vale ˆy yˆ ˆ In corrispondena di un punto P di coordinate assume il valore y In un altro punto che indichiamo come P dp d y dy d il valore della funione vale: y tale funione di coordinate

13 Appendice B - Ausili matematici B-3 d y dy d y d dy d P y P P trascurando i termini di ordine superiore la variaione della funione relativa al passaggio dal punto P al punto P dp è data da: d d y dy d y d dy d P y P ˆ yˆ ˆ d ˆ dy yˆ d ˆ y Adoperando l operatore nabla questa relaione può essere espressa nella forma compatta: d dr (B5) in cui dr è dato dalla (B4); il vettore o grad definito attraverso tale relaione prende il nome di gradiente di ed è valutabile in ogni sistema di coordinate; in particolare in coordinate cartesiane si scrive: ˆ yˆ ˆ ˆ yˆ ˆ; y y descrive così un campo vettoriale La componente di nella direione di un versore ˆr è data da ˆr e prende il nome di derivata direionale della funione nella direione di ˆr ; in pratica ˆr esprime l entità della variaione di nella direione di ˆr nel punto y Di seguito sono mostrate le espressioni del gradiente nelle coordinate cilindriche: e sferiche: rˆ ˆ ˆ r r ˆ rˆ ˆ r r r sin Esempio: Stabiliamo il gradiente della funione r ; adoperando le coordinate sferiche siccome tale funione è indipendente sia da che da risulta: P d rˆ rˆ r dr r r

14 B-4 Appendice B - Ausili matematici B34 L operatore divergena y y di una certa regione dello spaio Consideriamo un punto P interno a tale regione ed un volume circoscritto dalla superficie che lo contiene Si definisce divergena di v nel punto P e si indica con Sia v y v ˆ v yˆ v ˆ un campo vettoriale derivabile definito in ogni punto v o divv la seguente grandea: v lim v ds (B6) cioè la divergena di v nel punto P è il flusso netto per unità di volume del campo vettoriale v nel limite in cui il volume contenente P è fatto tendere a ero; questa definiione ha ovviamente senso purché il limite esista e non dipenda da come il volume sia fatto tendere a ero Attraverso la (B6) è possibile dedurre il campo scalare v a partire da un campo vettoriale v Questa definiione dell operatore divergena prescinde dallo specifico sistema di coordinate adoperato Tuttavia ai fini pratici risulta opportuno disporre di una espressione di tale operatore in un particolare sistema; ricaveremo pertanto l espressione della divergena di un campo vettoriale in un sistema di coordinate cartesiane Consideriamo un parallelogramma di volume pari al prodotto y che circoscrive un punto P di coordinate y in un sistema di coordinate cartesiane Il calcolo del flusso v ds del vettore v attraverso la superficie che contiene il volume può essere effettuato stabilendo la somma dei flussi di v attraverso le sei facce del volume rettangolare considerato Il valore assunto da v in corrispondena di ciascuna faccia è dedotto dal valore v y al centro del parallelogramma attraverso uno sviluppo in serie Consideriamo le due facce normali all asse rispettivamente e ; il flusso attraverso ciascuna di queste superfici può esprimersi come: v ds v ˆ ds v ds v v y y v y y v ds v ˆ ds v ds v v y y v y y ; il flusso totale attraverso le due facce vale:

15 Appendice B - Ausili matematici B-5 v ds v ds v ds v v v y y y v y y y v y Pertanto considerando il contributo al flusso delle altre facce del parallelogramma considerato si ottiene: v ds v v v y y y così dalla definiione (B5) dividendo per il volume e passando al limite 4 per segue: v v y v v lim v ds lim v ds y y y Si noti come il calcolo della divergena di v possa essere riguardato come l applicaione dell operatore nabla al vettore considerato alla maniera di un prodotto scalare tra vettori: v v y v v ˆ yˆ ˆ v ˆ ˆ vy y vˆ y y tuttavia tale operaione non soddisfa la proprietà commutativa dei vettori rispetto al prodotto scalare risultando v differente da v espressione quest ultima che è priva di significato Un campo vettoriale la cui divergena risulti nulla in tutti i punti di una regione assegnata è detto solenoidale all interno di tale regione Consideriamo un generico volume contenuto nella superficie e supponiamo di dividerlo in N parti ciascuna rispettivamente di superficie N N ; sia u un campo vettoriale derivabile definito nel volume ed applichiamo la relaione (B6) per questo vettore in ciascuna delle regioni in cui è diviso : i u dsi lim u i ; i in corrispondena della superficie comune tra due volumi dell insieme considerato il contributo al flusso di uno di essi è uguale in intensità ma opposto in segno a quello dell altro; ne segue che se il campo u è una funione continua su tale superficie questi contributi si annullano reciprocamente Pertanto quando il numero dei volumi in cui è diviso è portato all infinito mentre le loro dimensioni sono rese infinitesime il flusso attraverso sarà dovuto alla sola superficie di contorno 4 I termini di ordine superiore degli sviluppi in serie contengono potene maggiori di y e contributo alla somma è nullo nel limite in cui y pertanto il loro

16 B-6 Appendice B - Ausili matematici Per esplicitare matematicamente tale proprietà consideriamo la somma dei termini precedenti ciascuno corrispondente ad uno degli N volumi in cui è diviso : N N u ds lim u i ; i i i i i passando al limite per N si ottiene: N lim u ds lim lim u i i N N i i i i N Per quanto affermato il primo membro rappresenta il flusso del vettore u attraverso la superficie contenente il volume e il secondo membro è un integrale esteso a tale volume cioè: u ds u dv ; tale risultato che prende il nome di teorema della divergena fu enunciato originariamente da Joseph Louis Lagrange nel 76 ed espresso indipendentemente in maniera alternativa rispettivamente da Carl Friedrich Gauss nel 83 e da George Green nel 85; nel 83 il fisico e matematico ucraino Michail Vasil evic Ostrogradskij ne propose per primo una dimostraione Dal teorema della divergena segue che il flusso attraverso una superficie chiusa di un vettore solenoidale nella regione compresa da tale superficie risulta nullo Di seguito sono mostrate le espressioni della divergena nelle coordinate cilindriche: Michail Vasil evic Ostrogradskji v v v rv r r r r e sferiche: v v r vr sin v r r r sin r sin B35 L operatore rotore Sia v y v ˆ v yˆ v ˆ un campo vettoriale derivabile definito in ogni punto y y di una certa regione dello spaio Definiamo circuitaione di v lungo una curva chiusa l integrale di linea: v dl

17 Appendice B - Ausili matematici B-7 La circuitaione in un punto P può determinarsi stringendo la curva intorno al punto considerato Si definisce rotore di v nel punto P e si indica con v o rot v la circuitaione del vettore v lungo una curva chiusa che circoscrive P per unità di superficie (racchiusa dalla curva considerata) quando sia la lunghea della curva che l area della superficie corrispondente sono fatti tendere a ero: v v nˆ lim v dl nˆ ; (B7) a differena della divergena che è una quantità scalare il rotore è un vettore; l equaione (B7) fornisce la componente di v lungo la normale ˆn alla superficie la direione della circuitaione di e quella della normale ˆn sono legate dalla regola della mano destra Mentre la divergena di un campo vettoriale fornisce un indicaione del flusso netto del campo attraverso una certa superficie chiusa (o da un punto) il rotore fornisce un indicaione della circuitaione netta del campo attorno ad una certa superficie (o un punto) Analogamente al caso della divergena la definiione (B7) prescinde dal sistema di coordinate adoperato Tuttavia risulta opportuno avere un espressione di tale operatore in un opportuno sistema di coordinate ad esempio quello cartesiano Per ottenere la componente lungo la direione del rotore del vettore v consideriamo un percorso chiuso rettangolare disposto sul piano y con centro nel punto P di coordinate y e lati e y La circuitaione di v lungo tale percorso si può esprimere come: B C D A v dl v dl v dl v dl v dl A B C D y v y vy y y y v y vy y y sviluppando le espressioni di v e v y si ottiene: y v vy v dl v y vy y y y y v v y v y vy y y y v v y y y

18 B-8 Appendice B - Ausili matematici Applicando la definiione (B7) si ha 5 : vy v v v ˆ lim v dl ˆ y y y Procedendo in maniera analoga si ricava: v v y v v ˆ ; ˆ y v v v v yˆ yˆ Si noti come il calcolo del rotore di v possa essere riguardato come l applicaione dell operatore nabla sul vettore considerato alla maniera di un prodotto vettoriale tra vettori: ˆ yˆ ˆ v ˆ yˆ ˆ v ˆ ˆ vy y vˆ y y v v v v vy v v v y v ˆ yˆ ˆ y y y Un campo vettoriale il cui rotore risulti nullo in tutti i punti di una regione assegnata è detto irrotaionale all interno di tale regione Consideriamo una generica superficie di contorno e supponiamo di dividere tale superficie in N parti ciascuna rispettivamente di contorno N N ; sia v un campo vettoriale derivabile definito sulla superficie ed applichiamo la relaione (B7) per questo vettore in ciascuna delle regioni in cui è divisa : i v dl lim v nˆ i ; i in corrispondena del bordo comune tra due superfici dell insieme considerato il contributo alla circuitaione attorno ad una di esse è uguale in valore assoluto ma è opposto in segno rispetto al contributo lungo la stesso bordo alla circuitaione intorno all altra superficie; pertanto se il campo v è una funione continua il contributo complessivo di tale bordo alla circuitaione delle due superfici unite è nullo così la circuitaione totale attorno alla superficie è dovuta al solo contorno Per esplicitare matematicamente tale proprietà consideriamo la somma dei termini precedenti che corrispondono alle N superfici in cui è divisa : N N v dl lim v nˆ i i i i i 5 I termini di ordine superiore degli sviluppi in serie contengono potene maggiori di y e contributo alla somma è nullo nel limite in cui y pertanto il loro

19 Appendice B - Ausili matematici B-9 passando al limite per N si ottiene: da cui segue: N lim v dl lim lim v nˆ i N N i i i i N v dl v ds (B8) Tale risultato prende il nome di teorema del rotore fu formulato da Lord Kelvin nel 85 e adoperato nell ambito di una prova d esame da George Gabriel Stokes nel 854 Tra coloro che superarono tale prova c era James Clerk Mawell che nel seguito utiliando tale teorema nella sua teoria dell elettromagnetismo ne attribuì la paternità a Stokes Nel 899 il matematico francese Élie Joseph Cartan introdusse gli strumenti matematici per la successiva dimostraione Dal teorema del rotore segue che la circuitaione lungo una curva chiusa di un vettore irrotaionale sulla superficie aperta circoscritta da tale curva risulta nulla Di seguito sono mostrate le espressioni del rotore nelle coordinate cilindriche: George Gabriel Stokes e sferiche: v v vr v ˆ vr v rˆ rv ˆ r r r r v sin ˆ ˆ vr vr v v r r v r v ˆ r sin r sin r r r Esempio: Sia la curva chiusa di contorno ad una superficie ; posto y dimostriamo l identità: S ds dl Per dimostrare tale identità posto v y un campo vettoriale uniforme risulta: v v v v un campo scalare derivabile essendo v uniforme Per il teorema del rotore e per l uniformità di v il flusso del primo membro di questa espressione attraverso una superficie di contorno vale: v ds v ds v ds Il flusso del secondo membro per l uniformità di v è:

20 B- Appendice B - Ausili matematici v ds v ds Pertanto uguagliando le due espressioni si ha: v ds v ds siccome v è un arbitrario vettore uniforme risulta infine: ds ds Esempio: Sia un volume circoscritto dalla superficie ; posto w y un campo vettoriale derivabile dimostriamo l identità: wdv wds wnds ˆ Posto u y un campo vettoriale uniforme risulta: wu u w wu u w essendo u uniforme Per il teorema della divergena e per l uniformità di u l integrale su un volume circoscritto dalla superficie del termine al primo membro di questa identità vale: wudv wuds u ds w u ds w L integrale del termine al secondo membro per l uniformità di u è: u w dv u w dv Pertanto uguagliando le due espressioni si ha: u w dv u ds w siccome u è un arbitrario vettore uniforme risulta: w dv ds w w ds w nˆ ds B36 L operatore laplaciano Consideriamo un campo scalare y se tale funione è derivabile attraverso l operatore gradiente è possibile costruire un campo vettoriale v y tale che v ; applicando l operatore divergena a tale vettore si ottiene:

21 Appendice B - Ausili matematici B- v L operatore così definito prende il nome di laplaciano da Pierre-Simon de Laplace che per primo lo introdusse nel 776 nell ambito di uno studio sulla dinamica gravitaionale; Laplace constatò che l aione di tale operatore sul poteniale gravitaionale in un punto dello spaio fornisce una quantità proporionale alla densità della massa in tale punto Adoperando la definiione testé illustrata e le espressioni della divergena e del gradiente in coordinate cartesiane è possibile dedurre l espressione dell operatore laplaciano in coordinate cartesiane: y y y ˆ yˆ ˆ ˆ yˆ ˆ Di seguito sono mostrate le espressioni del laplaciano nelle coordinate cilindriche: e sferiche: r r r r r r r r sin r sin r sin Esempio: Per comprendere il significato fisico del laplaciano di un campo scalare consideriamo lo schema di figura in cui rappresenta il valore assunto da una funione scalare derivabile in corrispondena dell origine O del sistema di riferimento e i valori assunti da questa funione in sei 6 punti equidistanti da O e posti alla distana r da tale origine I punti di coordinate a b c d e e f sono situati nei punti medi tra l origine e le posiioni in cui è valutata la funione Risulta: r a in cui l approssimaione è tanto migliore quanto il punto a è prossimo all origine O; analogamente: r c 3 Di conseguena risulta: Analogamente si ha: r r 3 r r origine O y origine O origine O 4 ; r 5 6 r 3

22 B- Appendice B - Ausili matematici Sommando membro a membro tali relaioni si ottiene: in cui 6 origine O y r origine O origine O origine O r 6 r rappresenta il valor medio della funione tra i sei punti equidistanti dall origine O Estendendo il calcolo ad un numero infinito di punti posti a piccola distana relativa gli uni dagli altri ed equidistanti da O come ad esempio i punti della superficie di una piccola sfera di raggio r concentrica all origine O è possibile provare che il valore assunto in O del laplaciano di soddisfa la stessa relaione: 6 r Qualora la funione risulti nulla in un punto O allora il valor medio della funione calcolato in un intorno di O coincide col valore della funione in corrispondena di tale punto; se è positiva in un punto O il valore della funione in questo punto è maggiore del valore medio di tale funione in un intorno di O; se è negativa in un punto O il valore della funione in questo punto è minore del valore medio di tale funione in un intorno di O Esempio: Posto y un campo scalare derivabile dimostriamo l identità: Facendo uso delle coordinate cartesiane il primo membro di tale espressione può esprimersi come: ; d altra parte risulta: y Pertanto: y y y y In alcune circostane risulta opportuno applicare l operatore laplaciano ad un vettore; posto v y v ˆ ˆ vy y vˆ un campo vettoriale derivabile l aione del laplaciano sul tale vettore si intende come: v ˆ v yˆ v ˆ v y

23 Appendice B - Ausili matematici B-3 B37 Relaioni notevoli Di seguito vengono riportate alcune identità vettoriali notevoli; dati i campi vettoriali derivabili y y risulta: v y e u y ed i campi scalari derivabili e v u v u v v v v u u v v u v u v u v v v v v v v v u v u u v u v v u B38 Campi conservativi Consideriamo un campo scalare y gradiente è possibile costruire un campo vettoriale v y tale che v inversa ossia a partire da un campo vettoriale u y dedurre un campo scalare y se tale funione è derivabile attraverso l operatore L operaione tale che u non è in generale possibile I campi vettoriali che possono essere dedotti da campi scalari sono detti campi conservativi e godono di molteplici proprietà y il corrispondente campo scalare Sia v y un campo vettoriale conservativo e sia tale che v ; consideriamo i punti A e B lungo la generica curva allora dalla relaione (B5) segue: B B B v dr dr d B A A A A Cioè se il campo è conservativo l integrale di linea non dipende dalla curva che collega i punti A e B ma dal solo punto iniiale e finale In particolare se A e B coincidono l integrale è nullo pertanto per un campo conservativo la circuitaione lungo una generica curva chiusa è nullo:

24 B-4 Appendice B - Ausili matematici v dl Da tale relaione e dalla (B8) segue che un campo conservativo è irrotaionale v Questo risultato può essere dedotto in maniera formale osservando che per un campo conservativo v esiste una funione scalare tale che v pertanto: ˆ yˆ ˆ v y y ˆ yˆ ˆ y y y y Si noti che a prescindere dallo sviluppo del prodotto vettoriale risultato poteva essere conseguito considerando e vettoriale risulta ovviamente nullo in coordinate cartesiane il come due vettori paralleli il cui prodotto Esempio: Il campo vettoriale di modulo costante v pari a k ˆ è conservativo in quanto può essere dedotto dal campo scalare pari a k infatti applicando l operatore gradiente a tale funione si ottiene: ˆ yˆ ˆ k k ˆ v y rrˆ è conservativo in quanto può essere dedotto dal campo scalare rdr infatti applicando l operatore gradiente in coordinate sferiche a tale funione si ottiene: Esempio: Il campo vettoriale (centrale) v pari a pari a ˆ ˆ sin r d rˆ r dr rˆ dr rrˆ v r r r dr Siccome il campo gravitaionale prodotto da una massa puntiforme e il campo elettrostatico prodotto da una carica puntiforme sono dei campi centrali per quanto sopra sono conservativi Questo risultato si può conseguire in maniera u u u dove e u sono rispettivamente un campo alternativa adoperando l identità vettoriale scalare ed un campo vettoriale derivabili Pertanto poiché: segue: rˆ r rˆ r rˆ rˆ r rr r r r r ˆ ˆ ˆ

25 Appendice B - Ausili matematici B-5 B4 Numeri complessi L incompletea dell insieme dei numeri reali fu riconosciuta già dai matematici greci che per primi si resero conto dell impossibilità di risolvere equaioni polinomiali del tipo I numeri complessi vennero introdotti nel 6 secolo da Niccolò Tartaglia ma soltanto quale espediente per consentire la risoluione delle equaioni di tero e quarto grado tuttavia solo nel 9 soprattutto per opera di Gauss l insieme dei numeri complessi venne considerato a tutti gli effetti un ampliamento di quello dei numeri reali Introducendo l unità immaginaria j definita come: j l equaione ha soluioni j Viene detto numero complesso un numero espresso nella forma: jy (B9) i numeri reali e y sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero e si indicano: y e m ; se il numero è nullo è detto immaginario puro Si definisce complesso coniugato del numero * complesso (B9) il numero tale che: La quantità: * jy jy jy y è detta modulo di * B4 Operaioni tra numeri complessi Consideriamo due numeri complessi e : jy jy definiamo la somma (sottraione) come: jy jy j y y la moltiplicaione :

26 B-6 Appendice B - Ausili matematici jy jy y y j y y la divisione come: jy jy y y y y y y y * * j * Risulta inoltre: B4 Rappresentaione geometrica L espressione (B9) suggerisce la possibilità di associare al numero complesso la coppia ordinata di numeri reali y pertanto è possibile rappresentare un numero complesso attraverso i punti del piano; questo tipo di rappresentaioni prende anche il nome di diagramma di Argand dal matematico francese Jean-Robert Argand che lo introdusse nel 86 Con riferimento alla figura risulta: dove: rcos y rsin r y y tan (B) cioè la lunghea r del segmento che unisce l origine del piano col punto di coordinate y coincide col modulo di e l angolo che tale segmento forma con l asse oriontale detto argomento del numero complesso è tale che la sua tangente è pari al rapporto tra la parte immaginaria e quella reale di Pertanto dalla (B9) e dalle relaioni (B) segue che il numero complesso può essere rappresentato come: jy r cos j sin (B)

27 Appendice B - Ausili matematici B-7 B43 Rappresentaione esponeniale Consideriamo lo sviluppo in serie delle funioni cos e sin intorno a : 4 cos! 4! 3 5 sin 3! 5! moltiplicando la seconda espressione per j e sommando membro a membro si ottiene: j j 3 j cos j sin j e! 3! pertanto dalla (B) segue: j r cos j sin re La rappresentaione di un numero complesso attraverso l esponeniale si rivela particolarmente utile nella circostana in cui occorre calcolare delle moltiplicaioni o divisioni tra numeri complessi Infatti dati due numeri: re r e j j risulta: re r e r r e j j re r e r e r j j j j quindi il prodotto di due numeri complessi è pari al numero che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti e il rapporto tra due numeri complessi è pari al numero che ha per modulo il rapporto tra i moduli e per argomento la differena degli argomenti B44 Rappresentaione fasoriale Dalla corrispondena tra un numero complesso ed una coppia ordinata di numeri reali segue che è possibile rappresentare un numero complesso jy come un segmento orientato del piano y che spicca dall origine O ed ha estremo libero nel punto di coordinate y La lunghea del segmento coincide col modulo del numero complesso e l angolo che tale segmento forma con l asse coincide con l argomento del numero A questo segmento orientato viene attribuito il nome di fasore Il vantaggio della rappresentaione fasoriale sta nella possibilità di svolgere operaioni tra numeri complessi attraverso un approccio grafico; ad esempio la somma tra i numeri complessi e

28 B-8 Appendice B - Ausili matematici viene effettuata nella rappresentaione fasoriale applicando la regola del parallelogramma per l addiione di due vettori così come mostrato in figura B5 Delta di Dirac Consideriamo la funione così definita: ; in cui è un numero reale positivo Tale funione descrive una regione rettangolare la cui larghea diminuisce per mentre l altea nello stesso limite cresce indefinitamente; indipendentemente dal valore di l area di tale regione resta costante e vale Sia d f un arbitraria funione definita per e consideriamo l integrale f è sufficientemente piccolo la variaione di è trascurabile e f resta praticamente uguale a f f d f d f ; d Se f sull intervallo effettivo di integraione ; pertanto: naturalmente al diminuire di l approssimaione migliora 6 Pertanto nel limite possiamo definire una funione impropria attraverso la relaione: f d f ; prende il nome di delta di Dirac Tale espressione può essere generaliata come: f d f 6 Se f è sviluppabile in serie di Taylor quanto sopra può essere rivisto considerando lo sviluppo intorno a k f k f f e sostituendolo sotto l integrale k! k

29 Appendice B - Ausili matematici B-9 La funione impropria così definita apparve originariamente all iniio del diciannovesimo secolo nei lavori di J Fourier sulla propagaione del calore ed in seguito fu studiata matematicamente nel 87 da A L Cauchy S D Poisson e successivamente G Kirchhoff utiliarono tale funione nella descriione della propagaione delle onde Nel 893 O Heaviside introdusse in maniera euristica la funione mettendone inoltre in luce la connessione con la funione gradino unitario così descritta: definita come il limite per della funione Heaviside mostrò che la funione d d può ritenersi la derivata di : A dispetto degli oggettivi vantaggi derivanti dall introduione di tali entità i matematici del periodo non accettarono gli approcci proposti da Heaviside Malgrado ciò nel 93 P A M Dirac in una introduione alla meccanica quantistica adoperò la funione nella sua formulaione matematica di questa disciplina Solo nel 945 L Schwart nell ambito della teoria delle distribuioni trovò un estensione del concetto di funione in grado di includere le funioni improprie quali e La funione delta così definita può essere generaliata alle tre dimensioni attraverso il prodotto di tre funioni analoghe a quella testé definita per ciascuna delle dimensioni considerate; ad esempio in coordinate cartesiane si ha: r r y y in cui r r soddisfa la relaione: r r dv se il punto di raggio vettore r è interno al volume Paul Adrien Maurice Dirac Esempio: La generaliaione della funione a più dimensioni consente di poter esprimere la legge di Gauss in forma puntuale anche per una distribuione di cariche puntiformi; infatti attraverso la funione r r un sistema di N cariche puntiformi q q q può essere descritto mediante una funione densità di carica continua come: N N r qir ri i poiché dalle proprietà della funione segue che la carica totale Q della distribuione vale:

30 B-3 Appendice B - Ausili matematici N N N Q r dv q r r dv q r r dv q i i i i i i i i se il volume pertanto: contiene le cariche considerate La legge di Gauss per un sistema di cariche puntiformi si scrive N E qi r ri i Se si integrano ambo i membri su un volume circoscritto da una superficie al cui interno è contenuto il sistema di cariche si ottiene la formulaione integrale della legge di Gauss: N N N Q E dv E ds E r dv q r r dv q r r dv q i i i i i i i i B6 Trasformata di Laplace Per metodo trasformaionale si intende un algoritmo finaliato alla semplificaione di un operaione matematica; cioè attraverso tale procedimento si associa ad un determinato problema un problema ad esso equivalente ma di più semplice soluione Ad esempio il metodo simbolico adoperato per stabilire la risposta di un circuito elettrico ad uno stimolo sinusoidale può essere interpretato come un metodo trasformaionale Uno dei metodi trasformaionali di più ampia applicaione per la soluione di equaioni differeniale è quello della trasformata di Laplace B6 L integrale di Laplace La trasformata di Laplace è un operaione che si esegue sulle funioni di variabile reale per trasformarle in funioni di variabile complessa ossia se f t è una funione reale della variabile reale t trasformabile secondo il metodo di Laplace allora la sua trasformata F s è una funione complessa della variabile complessa s j in cui e sono entrambi numeri reali La variabile reale indipendente t si suppone che abbia il significato fisico di tempo sena che tale ipotesi determini alcuna limitaione alle definiioni seguenti Sulla funione f t non si attribuiranno particolari proprietà cioè potrà essere una funione continua o caratteriata da un certo numero di discontinuità o una funione impropria come ad esempio la delta di Dirac t Si f t sia definita almeno per t assumerà inoltre che la funione Si definisce integrale di Laplace della funione t t t t st st e f t dt lim e f t dt ; se tale integrale risulta convergente la funione: st f t l integrale: F s f t e f t dt (B)

31 Appendice B - Ausili matematici B-3 f Fissata è detta trasformata di Laplace della funione t f t il più piccolo valore di per il quale esiste l integrale di Laplace è detto ascissa di convergena ed in principio deve essere specificato in corrispondena della trasformata f t La trasformata di Laplace assume questo nome dopo che P S Laplace utiliò una analoga trasformaione in una formulaione analitica della teoria della probabilità Benché fosse già stata ampiamente adoperata nel diciannovesimo secolo in diversi ambiti il suo impiego si diffuse ampiamente solo nella seconda metà del ventesimo secolo; tuttavia già nel 774 Leonhard Euler sebbene solo superficialmente studiò l applicaione di espressioni integrali analoghe all integrale di Laplace come possibili soluioni di alcune equaioni differeniali Nel 78 tale studio catturò l attenione di Laplace il quale a partire dal 785 iniiò ad adoperare queste espressioni nel senso moderno di trasformaioni Attraverso l applicaione di questo metodo Laplace ne apprese rapidamente le potenialità riconoscendone inoltre il maggiore ambito di applicaione rispetto all analoga trasformata di Fourier Esempio: Consideriamo la funione gradino unitario: dalla definiione (B) segue: st st st st t jt e dt e dt e lime lim e e ; s s t s s t s se il limite risulta finito e si ha: s così l ascissa di convergena è Esempio: Consideriamo la funione delta di Dirac segue: st s t te dt e t ; dalle proprietà di tale funione e dalla definiione (B) dove l integrale risulta convergente per ogni valore di Più in generale se t è un numero reale si ha: st st t t t t e dt e Esempio: Consideriamo la funione esponeniale f t e t in cui j è un numero complesso; dalla definiione (B) segue: st st t j t t st t e e e dt e lime lime e s s t s t se il limite risulta finito e si ha:

32 B-3 Appendice B - Ausili matematici t e s così l ascissa di convergena è Esempio: Consideriamo la funione: f t jt jt e e sin t j in cui è un numero reale; dalla definiione (B) e dall esempio precedente segue: jt jt st e e st j t st jt sin t e dt e e dt e e dt j j j s j s j s con ascissa di convergena Naturalmente non c è bisogno di calcolare ogni volta la trasformata di Laplace di una funione ricorrendo alla relaione (B) in quanto per le funioni più comuni le trasformate si trovano già tabulate (Appendice A); inoltre facendo uso di alcune proprietà che verranno esposte nel seguito dalle trasformate reperibili sulle tabelle se ne possono dedurre molte altre B6 Proprietà della trasformata di Laplace Si riportano di seguito alcune proprietà utili alla determinaione della trasformata di Laplace di particolari funioni f t e f t due funioni trasformabili attraverso la (B) con F s f t Esempio: (Linearità) Siano e F s f t ed ascisse di convergena rispettivamente uguali a e e siano e due numeri complessi; allora st st st f t f t e f t f t dt e f t dt e f t dt F s F s con ascissa di convergena pari al massimo tra e Esempio: (Ritardo) Sia f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t convergena pari a ; se t è un numero reale posto: si ha: g t f t t t t t t st st s t st s st g t e g tdt e f t t dt e f d e e f d e F s t Esempio: (Spostamento in frequena) Sia ed ascissa di f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t ed ascissa di convergena pari a ; se s j è un numero complesso allora:

33 Appendice B - Ausili matematici B-33 ss t e f t e e f t dt e f t dt F s s st st st con ascissa di convergena pari alla somma Esempio: (Scalamento temporale) Sia ascissa di convergena pari a ; se k è un numero reale positivo allora: s st k s f kt e f kt dt e f d F k k k con ascissa di convergena pari al prodotto Esempio: (Scalamento in frequena) Sia f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t k ed f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t ed ascissa di convergena pari a ; se h è un numero reale positivo dall esempio precedente posto: si ha: k h t F h s f h h con ascissa di convergena pari a h Esempio: (Convoluione) Si definisce convoluione tra t h t f g t d f t g d e la si indica come: ht f t g t Supponiamo che entrambe le funioni G s t f t e gt la funione ht definita come: f t e gt siano trasformabili attraverso la (B) con F s f t g t ; allora la trasformata Hs di ht vale: H s h t f t g t f t g t F s G s e Cioè la convoluione tra due funioni nel campo reale viene trasformata attraverso l integrale di Laplace nel prodotto tra le funioni nel campo complesso Esempio: (Derivaione) Sia f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t df t dt si ha: convergena pari a ; se esiste la trasformata della derivata ed ascissa di st df t st df t st de st e dt e f t f tdt f s e f tdt sf s f dt dt dt (B3)

34 B-34 Appendice B - Ausili matematici con ascissa di convergena pari a Questo risultato può essere facilmente esteso per induione ad ordini superiori di derivaione trovando ad esempio: d f t df s F s sf s dt dt df d f dt dt dt 3 d f t 3 3 s F s s f s In generale risulta: n n d f t n n s F s dt k s k d nk dt f nk Esempio: (Integraione) Sia convergena pari a ; sia: f t una funione trasformabile attraverso la (B) con F s f t ed ascissa di t g t f d Se esiste la trasformata di tale funione dalla proprietà di derivaione segue: siccome g t dg t f t s g t g s f d dt Pertanto: t f d F s s (B4) Attraverso le proprietà di derivaione e di integraione è possibile dedurre le trasformate di funioni sena adoperare direttamente la relaione (B) come è mostrato negli esempi successivi Esempio: Noto che siccome risulta: sin s t dsin t cos t dt dalla proprietà di derivaione segue: sin cos d t s sin s sin s s dt s s t t Esempio: Siccome la funione f t t può essere espressa come: