ELETTROMAGNETISMO APPLICATO LL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_4A (ultima modifica 16/10/2012) CAMPO DI CORRENTE

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1 LTTROMGNTISMO PPLICTO LL'INGGNRI LTTRIC D NRGTIC_4 (ultima modifica 6/0/0) CMPO DI CORRNT Si definisce campo di corrente la regione dello spazio nella quale ha sede una distribuzione continua di corrente elettrica. sso è stazionario, se le grandezze che caratterizzano la sua distribuzione sono indipendenti dal tempo. l fine di definire le grandezze che caratterizzano un campo di corrente, si consideri una vaschetta riempita di liquido conduttore omogeneo e isotropo nella quale vengano immersi due elettrodi collegati ai terminali di un generatore di tensione costante. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a

2 Mediante un tensiometro elettrico sono individuabili delle superfici equipotenziali: lungo dei punti di uguale tensione rispetto ad un punto di riferimento arbitrario (per esempio il morsetto del generatore). Sono inoltre tracciabili le superfici ortogonali a quelle equipotenziali dette superfici di forza o di flusso. V 00V + M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a

3 Per l esempio considerato la distribuzione delle superfici ortogonali a quelle equipotenziali, dette superfici di forza o di flusso, ha l andamento riportato in figura B M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 3

4 Considerando due superfici equipotenziali i cui potenziali siano rispettivamente V e V-dV e un punto generico P sulla superficie a potenziale V: n P dl V V-dV M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 4

5 Si definisce in P il campo elettrico o vettore forza elettrica il vettore normale alla superficie equipotenziale in P, con verso che va dalla superficie a potenziale maggiore a quella a potenziale minore e modulo pari a: dv dl Il segno meno è necessario per la conformità con la convenzione che il potenziale aumenta in senso contrario al campo In base alla definizione data il campo può essere espresso come il gradiente di V: - V Con il voltmetro (tensiometro elettrico ) è possibile verificare che il vettore di forza elettrica è ovunque irrotazionale. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 5

6 ssendo il campo irrotazionale, la sua circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa è nulla: dl 0 Infatti: B dl B dl U U dove e B sono due punti generici del campo. U B B l U B B 0 l dl B M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 6

7 pplicando il teorema di Stokes lungo un percorso l che delimita una superficie : con i x dl d l j y k z 0 operatore vettore nabla e operatore rotore risulta : 0 ossia il campo elettrico è irrotazionale, questa è la legge delle tensioni in forma locale. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 7

8 Con l amperometro (reometro elettrico ) si può verificare che la densità di corrente è dappertutto solenoidale ossia: Il flusso di J I J d attraverso una superficie chiusa è uguale a zero. Si consideri una superficie elementare d staccata su una superficie equipotenziale da tante linee di flusso tali da costituire un tubo di flusso elementare di altezza dl : 0 d P J V dl V-dV M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 8

9 Si definisce vettore densità di corrente J il vettore tangente alle linee di flusso e normale alle superfici equipotenziali in P (posto nel centro della superficie equipotenziale d); con verso uguale a quello positivo per la corrente (verso i potenziali decrescenti) e; modulo pari al rapporto tra la corrente che attraversa la superficie elementare: di di J n d d con n versore della normale alla superficie equipotenziale elementare d in P: I J d M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 9

10 J Se è in ogni punto uniforme indipendente dalla posizione del punto P, la corrente è deducibile dalla relazione I J. Inoltre poiché per il principio di conservazione dell energia la corrente attraverso una superficie chiusa deve essere uguale a zero: e applicando il teorema della divergenza : I Dove V è il volume racchiuso dalla superficie, da cui: (con operatore di divergenza), Quindi il vettore densità di corrente è solenoidale. J d Questa è la legge delle correnti in forma locale. 0 JdV J d V 0 J 0 M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 0

11 Sono state definite complessivamente a) Due grandezze scalari o globali Tensione U associata a una coppia di punti [V] Corrente I associata a una superficie [] b) Due grandezze vettoriali, o locali, o puntuali V Forza elettrica associata ad un punto m Densità di corrente J associata ad un punto m M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a

12 Legge di Ohm in forma locale Si consideri un cilindretto elementare infinitesimo con le basi su due superfici equipotenziali e superficie cilindrica laterale formata da linee di flusso: d P V Il bipolo infinitesimo associato al cilindretto è caratterizzato -dv dalla sua resistenza elementare, definita come: R poiché di è uniforme, la differenza di potenziale tra le due superfici elementari sarà: -dv=dl. dl V-dV M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a J

13 Poiché la densità di corrente uniforme: di=j d e quindi R dv di dl Jd ρ dl d dove: ρ Ωm J pari alla la resistenza del bipolo infinitesimo per unità di lunghezza e di area, è una caratteristica del materiale e si chiama resistività. L inverso della resistività è la conducibilità: γ l ρ J S m M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 3

14 Poiché e J hanno la stessa direzione in ogni punto la relazione scalare è valida anche vettorialmente: ρj forma locale diretta della legge di Ohm J γ forma locale reciproca della legge di Ohm M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 4

15 Condizioni al contorno del campo di corrente Consideriamo un percorso l infinitesimo rettangolare BCD in corrispondenza della superficie di separazione di due conduttori con resistività diversa come riportato in figura con D=BC>>B=CD: α n B ρ D t C n α ρ Si applichi la legge delle tensioni in forma locale 0, imponendo che la circuitazione di lungo il percorso BCD sia uguale a zero. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 5

16 Trascurando i contributi della integrazione uguali e opposti sui tratti B e DC, si ha: D B dl d dl cos(90 α sinα ) sinα t t Passando da un mezzo a resistività a un mezzo a resistività, le componenti tangenziali del campo rimangono invariate. Se ancora, si applica la legge delle correnti in forma locale risulta per il teorema della divergenza che: M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 6 l J d C dl cos(90 α 0 )

17 Se si considera un cilindretto infinitesimo disposto in corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi e avente la superficie laterale trascurabile rispetto alla superficie delle basi, per la legge delle correnti in forma locale si ha: n normale allasuperficie in P t tangente alla superficie in P J n J d cosj n J d J d J d cos J dcosα J dcosα J n J n oppure; γ n γ n Ossia la componente normale della densità di corrente è continua attraverso la superficie di separazione. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 7

18 α i L angolo che il vettore campo elettrico forma con la normale alla superficie di separazione nel mezzo i, è definito dalla relazione: it tg αi α i i Dividendo le relazioni trovate, tra di loro: in i ni n ti t γn t γ n tgα γ tgα γ tgα tgα γ γ Questa relazione rappresenta la legge della rifrazione delle linee di forza elettrica e di corrente, secondo la quale α i è maggiore nel mezzo a conducibilità più elevata, ossia i devia allontanandosi dalla normale alla superficie di separazione, passando in mezzo a conducibilità maggiore. M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 8

19 Per γ >> γ (conduttore-aria) il campo in aria è normale alla superficie del buon conduttore, infatti: tgα tgα γ 0 tgα 0 per α 0 γ +V M. Usai lettromagnetismo applicato all ingegneria lettrica ed nergetica_4a 9