1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO

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1 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO la lezione precedente consideriamo il lavoro che una carica q deve compiere per muoversi lungo una linea g da A a B sotto l azione della forza coulombiana generata da una carica : E = A g r E P = > q dl B P dl = dr r +dr U U C W C X dl cosθ = dr > CD. C E Il lavoro per unità di carica è dato da: \ WX > KL MNOP R S C E = U ] ] R S F dl = R S = > KC R S = C E = E dl = R S > U V C X C C W γ!!! Il campo elettrostatico è conservativo! > CD C E dl = 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale elettrico L Rc = d F dl = U A U B è d F dl = U r U r f R energia potenziale C C B è U r = U r f C + d F dl C B \ WX ] = > U U C W C X = g R hg() ] potenziale (elettrostatico) = V A V(B) è V r = V r f C + d E dl C B 1 volt = 1 joule/1 coulomb: 1 V = 1 J/1 C 1

2 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale \ WX ] = > U U C W C X = V A V(B) V(A)-V(B): differenza di potenziale (d.d.p.) o tensione elettrica spesso si fissa il potenziale all infinito: V r f > x = V = 0 V U U = V A V è V A = > U C W t C W z O y q 2 q 3 q 4 r 2 r 1 r3 r 4 A V A = u q v 1 4πε f r 5 q 5 E da N cariche E da una carica v{u,} r v 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale per una distribuzione qualsiasi di cariche: V(r ) = U C K e se la carica fosse... distribuzione di carica distribuzione di carica ChC volumetto infinitesimo di carica cariche puntiformi 2

3 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esercizio potenziale determinare l energia cinetica con la quale una carica q=e arriverebbe all infinito sotto l azione del campo generato da un filo rettilineo uniformente carico (l=1µc/m) di lunghezza L. La carica è inizialmente ferma nel punto P lungo la direzione del filo a distanza L/2 da una estremità Il campo elettrostatico è conservativo: L K(P) + U(P) = K( ) + U( ) à K( ) = U(P) con U(P) = q V(P) x \ P O V P = d 1 λ dx = λ ln 3/2L 4πε f L f -L/2 2 + x 4πε f L/2 K = qv(p) = e ln3 = 1, J V(r ) = U C K ChC 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO unità di misura l energia potenziale di una carica elementare e posta in un punto in cui è presente il potenziale V è pari a U = e V. Se V = 1 V allora U = 1,6 x C x 1 V = 1,6 x J. uesta unità di misura, l elettronvolt, è ricorrente nei fenomeni chimici, atomici e subatomici (cariche elementari) K = 1,6 x J = 1,6 x J x U Š 1,6 x J = 104 ev = 10 kev 3

4 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esercizio potenziale Una carica è uniformemente distribuita (s = 1 nc/m 2 ) su un disco di raggio R = 30 cm. Calcolare la differenza di potenziale (tensione) fra il punto O al centro del disco e un punto P sull asse del disco a distanza h = 40 cm da O. P Ž V z = d d 1 σ rdθ dr = 4πε f r + z R f = σ 2ε f f R + z z V = V O V P = σ 2ε f R R + h h = +11,3 V dq O V(r ) = U C K ChC 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale g B calcoliamo la circuitazione di E g = g + g lungo la linea chiusa γ E dl = d E dl + d E dl = A g S R c c = d E dl d E dl = 0 R c R c se il campo è elettrostatico (l integrale non dipende da g) se in alcuni tratti il campo E non è conservativo E dl = f.e.m. S forza elettromotrice (f.e.m. = f = E ): lavoro delle forze non conservative per unità di carica f.e.m. = L NON CONS /q unità di misura: il volt R 4

5 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO rotore matematica si definisce rotore del campo vettoriale v x, y, z il vettore: ı ȷ k rot[v(x, y, z)] = = ı = v(x, y, z) = v v v ȷ + k che rappresenta il rapporto fra la circuitazione di v x, y, z lungo una linea chiusa infinitesima C che circonda il punto P(x,y,z) e l area infinitesima di superficie DS delimitata da C: v x, y, z dl rot[v(x, y, z)] = lim f ΔS quanto v ruota intorno al punto P 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esempio matematica calcolare il rotore del campo v x, y, z = cr x, y, z avevamo già calcolato div(cr ) = 3c rot [c(x ı + y ȷ + z k)] = (cz) = ı y (cy) (cz) ȷ z x (cx) z = 0 = ı ȷ + k (cy) x (cx) y + k questo significa che le linee del campo cr non hanno vortici 5

6 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esempio matematica calcolare il rotore del campo v x, y, z = ω x, y, z r x, y, z con ω x, y, z = ω k (rotazione intorno all asse z) ı ȷ k v x, y, z = 0 0 ω = ı 0 ωy ȷ 0 ωx + kd 0 0 = x y z ı ȷ k = ı ωy + ȷ ωx rot[ω x, y, z r x, y, z ] = ωy ωx 0 = ı 0 (ωx) ωy ȷ 0 + k d ωx ωy = z z dx y = 2ω k questo significa che le linee del campo ω r hanno vortici = 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esempio matematica calcolare la divergenza di v x, y, z = ω x, y, z r x, y, z con ω x, y, z = ω k (rotazione intorno all asse z) ı ȷ k v x, y, z = 0 0 ω = ı ωy + ȷ ωx x y z div[ω x, y, z r x, y, z ] = h³ + ³ + f = 0 questo significa che le linee del campo ω r non hanno sorgenti cioè sono linee chiuse i campi vettoriali rotazionali con divergenza nulla sono definiti solenoidali 6

7 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO rotore STOKES matematica teorema del rotore: dato un campo vettoriale v x, y, z, presa una linea CHIUSA C che racchiude la superficie S, si ha: v dl M = d rot v nd ds ¹ŠCº analogo al teorema della divergenza: dato un campo vettoriale v x, y, z, presa una superficie CHIUSA S che racchiude il volume t, si ha: d v nd ds = d div v dτ Mµv O 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO III Maxwell conservatività del campo elettrostatico + teorema del rotore: dato un campo vettoriale E x, y, z, presa una linea chiusa C cheracchiude lasuperficie S, si ha: E dl E dl = d rot E nd ds = 0 S con bordo C rot E = 0 in elettrostatica l operatore rotore applicato al campo elettrico rot E individua i punti dello spazio in cui sono presenti vortici del campo (assenti se il campo è elettrostatico) vedremo con i campimagnetici 7

8 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale e campo e.s. V r = V r f 0 V -40 V -30 V -20 V -10 V C + d E dl C B + E = grad V V(x, y, z) V(x, y, z) V(x, y, z) dv r = dx + dy + dz = x y z V(x, y, z) V(x, y, z) V(x, y, z) = ı ı dx + ȷ jdy + k kdz = x y z = grad V Â dl = E dl E dl dv < 0 dl dv > 0-1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale e campo e.s. dv r = E dl se E dl allora dv r = 0 cioè il potenziale non cambia muovendosi in linee di campo E direzione perpendicolare al campo 10 V 20 V 30 V 40 V + 0 V -10 V -20 V -30 V V superfici equipotenziali V > 0 V = 0 V < 0 8

9 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO superfici equipotenziali linee di campo E superfici equipotenziali 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esempio E, V, r campo elettrostatico e potenziale ρ = q 4π di una sfera uniformemente carica 3 RÎ se r R se r R E(r) = ρ r 3ε f = E(r) = 1 q 4πε f r q r 4πε f R Î al solito, considerando V( ) = 0 partiamo da r R è E(r) = è V(r) = V(R) = 4πε f r 4πε f r 4πε f R LEZ 6 9

10 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esempio E, V, r poi, fra 0 e R V(R) = è E(r) = q r C 4πε q f R 4πε f R Î èv r = V R + d 4πε f RÎ r dr E(r) V(r) q 3/2 4πε 0 R 4πε 0 R = q 4πε f R + q R r 4πε f R Î 2 Ž = q 8πε f R 3 r R V(0) = q 3 4πε f R 2 R r LEZ 6 10