Esercitazione N 2 -Elettrostatica-

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1 Esercitazione N 2 -Elettrostatica-

2 Esercizi sul Potenziale Elettrostatico 1. Una carica puntiforme del valore di 2 x 10-6 C è posizionata nell origine di un sistema di riferimento. Calcolare il valore del potenziale nei punti di coordinate: (1,2) (2,1) (2 5,0) 2. Con riferimento al caso precedente, disegnare le linee equipotenziali del campo insieme alle linee di forza, metto in evidenza l ortogonalità tra le due 3. Date tre cariche uguali, del valore di 1 mc, disposte nei vertici di un triangolo equilatero di 1 cm, disegnare le linee equipotenziali del campo, pono in evidenza l ortogonalità rispetto alle linee di forza 4. Con riferimento al campo descritto dalla relazione: E = 2z 2xy 2 i 2x 2 y + z 2 j + 2x 6yz k Valutare la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i punti (1,1,1) e (0,0,0) 5. Determinare il campo elettrico dovuto ad una superficie piana di estensione infinita e con densità di carica uniforme. Dedurre da tale campo l espressione generale della capacità di un capacitore piano con superficie A, distanza d tra le armature e permettività del dielettrico. Particolarizzare nel caso di armature rettangolari di 1 cm di lato, distanti 0,1 mm e che usi l aria come isolante. Calcolare infine la carica depositata sulle armature per effetto dell applicazione di una tensione di 12 V

3 Esercizi 1-2 Il Potenziale si calcola a partire dal campo Elettrico: V = d തE dr = 1 4πε d Q R 2 dr = Q 4πεd +Q (0, 5) (1,2) (2,1) Nota: poiché il campo elettrico è conservativo, il valore dell integrale non dipe dal percorso, ma solo dai punti estremi del percorso. Per questo posso immaginare che nel percorso dal punto all infinito al punto a distanza d il differenziale sia sempre parallelo al campo, per cui nel prodotto scalare il coseno tra i due fattori è sempre pari a 1 Nel caso dei tre punti: V 0, 5 = πε 5 V 1,2 = πε V 2,1 = πε I tre punti assumono lo stesso potenziale, poiché hanno la medesima distanza dalla carica Q +Q Le linee equipotenziali sono circolari con centro nella Carica sorgente del campo. Le linee di forza sono radiali e per questo in ogni punto ortogonali alle linee equipotenziali

4 Esercizio 3 In ogni punto dello spazio, i potenziali delle tre cariche si sovrappongono linearmente: V P = q 1 4πε d 1 P + 1 d 2 P + 1 d 3 P Dove d i P è la distanza tra il punto P e il vertice i del triangolo % Funzione di calcolo del potenziale function V = potenziale(rho,theta) Q = 2e-6; % value of charges [C] ep = 8.85e-12; % permettivity [F/m] X1 = 0; Y1 = 1/sqrt(3); X2 = -0.5; Y2 = -1/(2*sqrt(3)); X3 = 0.5; Y3 = -1/(2*sqrt(3)); [theta1,rho1] = cart2pol(x1,y1); [theta2,rho2] = cart2pol(x2,y2); [theta3,rho3] = cart2pol(x3,y3); d1 = sqrt(rho^2+rho1^2-2*rho*rho1*cos(theta-theta1)); d2 = sqrt(rho^2+rho2^2-2*rho*rho2*cos(theta-theta2)); d3 = sqrt(rho^2+rho3^2-2*rho*rho3*cos(theta-theta3)); V = (Q/(4*pi*ep))*(1/d1 + 1/d2 + 1/d3); return % Tracciamento della mappa Nxy = 1000; x = linspace(-1,1,nxy); y = x; X1 = 0; Y1 = 1/sqrt(3); X2 = -0.5; Y2 = -1/(2*sqrt(3)); X3 = 0.5; Y3 = -1/(2*sqrt(3)); for i = 1:Nxy, for j = 1:Nxy, [theta,rho] = cart2pol(x(i),y(j)); Pot(i,j) = potenziale(rho,theta); contour(log(pot'),30) % tracciamento delle linee equipotenziali Np = 1000;% #samples figure(1) hold on axis equal compass([0,1],[1,0]); X1 = 0; Y1 = 1/sqrt(3); X2 = -0.5; Y2 = -1/(2*sqrt(3)); X3 = 0.5; Y3 = -1/(2*sqrt(3)); viscircles([x1,y1],0.05,'color','b ) viscircles([x2,y2],0.05,'color','b') viscircles([x3,y3],0.05,'color','b') X = input('starting point [X,Y]: '); plot(x(1),x(2),'rd'); [theta,rho] = cart2pol(x(1),x(2)); op = optimset('funvalcheck','off','display','off'); K = potenziale(rho,theta); dtheta = 2*pi/Np; rho1 = rho; for i = 1:Np theta = theta + dtheta; fun (potenziale(rho,theta)-k); rho1 = fzero(fun,rho1,op); if(abs(fun(rho1))<1e-7) plot(rho1*cos(theta),rho1*sin(theta),'k.') else rho1 = rho;

5 Esercizio 4 E = 2z 2xy 2 i 2x 2 y + z 2 j + 2x 6yz k Il potenziale si calcola mediante l integrale: V = P1 P 2 തE ഥdl Il campo è conservativo, quindi possiamo scegliere arbitrariamente il percorso con cui portarci da P 1 a P 2. Scegliamo dunque il percorso come quello tracciato in rosso in figura. In questo modo, una sola componente per volta darà un contributo al prodotto scalare che costituisce la funzione integranda >> [X,Y,Z] = meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1,0:0.1:1); >> u = 2*Z-2*X.*Y.^2; >> v = -(2*X.^2.*Y+Z.^2); >> w = 2*X-6*Y.*Z; >> hold on >> quiver3(x,y,z,u,v,w); >> hold on >> h=quiver3([0;1;1],[0;0;1],[0;0;0],[1;0;0],[0;1;0],[0;0;1],0,'r ) >> axis([0,1.1,0,1.1,0,1.1]) 1 න 0 y=0 z=0 1 න 0 x=1 z=0 1 න 0 x=1 y=1 2z 2xy 2 dx = 0 2x 2 y + z 2 dy = 1 2x 6yz dz = 2 3 = 1 V = 2 [V]

6 Esercizio 5 s A Consideriamo un cilindro con asse normale alla distribuzione di carica e che attraversa il piano della distribuzione come indicato in figura. Il cilindro racchiude una carica pari al prodotto della densità di carica σ per l area della base A del cilindro: ρ = σ A Per la relazione di Gauss, il flusso totale del campo di spostamento D attraverso la superficie del cilindro è pari alla carica contenuta al suo interno. D altra parte, per ragioni di simmetria, le linee di questo campo devono essere ortogonali al piano, per cui il flusso totale si riduce a quello che attraversa le due basi circolari. Sempre per ragioni di simmetria, il flusso si distribuisce in parti uguali tra le due basi, per cui possiamo scrivere che: 2D A = σ A Semplificando l area e ricordando che: D = ε E otteniamo l espressione del campo elettrico in corrispondenza della base del cilindro, che non dipe dalla distanza dal piano: E = στ2ε Nel caso di due armature piane di un capacitore, nei punti lontano dai bordi abbiamo una situazione simile, con la differenza che il campo elettrico è dato dalla somma di due contributi, dovuti a due distribuzioni di carica di uguale densità. Abbiamo quindi che il campo tra le due armature il campo elettrico è costante, ed è pari a: E = στε. Detta d la distanza tra le armature, la differenza di potenziale si calcola moltiplicando il modulo del campo per d: E 0 = V d 0 E dl = E d dl = σd ε = Q tot d = Q tot Sε C