Capacita elettrica di un singolo conduttore isolato all equilibrio elettostatico. 2) la carica si colloca sulla superficie del conduttore

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Donata Bellini
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1 Capacita elettrica di un singolo conduttore isolato all euilibrio elettostatico ) all euilibrio elettrostatico la carica elettrica si distribuisce solo sulla superficie del conduttore, percio sara determinata da una distribuzione superficiale di carica ( x, yz, ) 2) la carica si colloca sulla superficie del conduttore dunue in una zona finita dello spazio percio V( ) = e E( ) = e la soluzione dell euazione di Poisson sara del tipo Vx ( ', y', z') (, xyz,) r d dove x,y,z sono le coordinate di un ualsiasi punto dello spazio

2 all euilibrio il potenziale sara costante in tutto il conduttore ma in uesto caso la carica e distribuita solo e soltanto sulla superficie del conduttore uindi in un punto P (x,y,z ) ualsiasi dello spazio dunue anche in un ualsiasi punto del conduttore il potenziale sara : V( x', y', z') ( xyz,, ) r ds dove e la superficie del conduttore da notare come V dipenda da 2

3 l unicita della soluzione dell euazione di Poisson (problema di Dirichlet) garantisce che vi sia una ed una sola distribuzione superficiale di carica all euilibrio elettrostatico da notare che la carica totale Q distribuita sul conduttore e la distribuzione superficiale di carica x,y,z sono legate dalla relazione: Q ( x, y, z) ds dove e la superficie del conduttore 3

4 se si aumenta la carica Q sul conduttore di un fattore moltiplicativo la densita di carica variera dello stesso fattore, ma anche il potenziale variera dello stesso fattore per cui il rapporto tra la carica ed il potenziale e costante si definisce capacita elettrica C di un singolo conduttore isolato elettricamente Q Q Q C V V V( ) V 4

5 Sistemi di conduttori all euilibrio elettrostatico un singolo conduttore isolato caricato positivamente di carica si portera al potenziale V V C _ se portiamo un secondo conduttore scarico nelle vicinanze del primo si verifichera l induzione elettrostatica la carica indotta sul secondo conduttore sara negativa all estremita vicina al primo conduttore e positiva all estremita lontana 5

6 la carica negativa indotta sul secondo conduttore e piu vicina al primo conduttore rispetto alla carica positiva indotta uindi l influenza della carica negativa sara maggiore di uella positiva e il potenziale del primo conduttore nel complesso diminuira dato che la carica totale sui conduttori rimane costante se ne deduce che la capacita del primo conduttore e aumentata dalla presenza del secondo conduttore 6

7 Capacita elettrica del condensatore a facce piane e parallele Q Q E E E E x E dv dx Q uindi S E dx x x dv integrando tra le due armature poste a distanza d V E d x 7

8 C Q V Q E d x Q Q d S S d S dunue C d 8

9 Capacita di un conduttore sferico una sfera conduttrice e caricata con carica elettrica. la carica si disporra sulla superficie della sfera e, per motivi di simmetria, la densita di carica superficiale sara uniforme una sfera conduttrice carica si comporta come un guscio sferico carico il potenziale di un guscio sferico carico di raggio e Vr () 4 dove e il raggio della sfera C V Vr () V() r V 4 9

Un condensatore sferico e costituito da un conduttore sferico pieno di raggio posto al centro di un conduttore sferico cavo di raggio interno 2 e raggio esterno 3 Determinare la capacita del

10 Un condensatore sferico e costituito da un conduttore sferico pieno di raggio posto al centro di un conduttore sferico cavo di raggio interno 2 e raggio esterno 3 Determinare la capacita del condensatore sferico. depositiamo una carica positiva,, sul conduttore interno la carica si distribuira tutta sulla superficie per induzione sulla superficie interna del conduttore esterno si formera una distribuzione superficiale di carica negativa - mentre sulla superficie esterna del conduttore esterno si formera una distribuzione superficiale di carica positiva all euilibrio elettrostatico le cariche saranno disposte solo sulle superfici costituendo tre gusci carichi concentrici

11 andamento del potenziale di un guscio sferico di raggio caricato uniformemente con carica in funzione della distanza radiale r V(r) Vr ( ) 4 Vr ( ) 4 r O r da notare come nel punto r = il potenziale sia continuo r Vr () V r 2 2 Vr () 4 r

12 2 r Vr () 4 r 4 r V 2

13 r 3 3 Vr () 4 r 4 r 4 r 4 r

14 la d.d.p tra i due conduttori e V V V 2 V ( ) V ( ) 2 C 4 2 2

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