Elettrostatica dei conduttori (parte II) Sistemi di conduttori Condensatori Energia elettrostatica

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Geraldina Pellegrini
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1 Elettrostatica dei conduttori (parte II) Sistemi di conduttori Condensatori Energia elettrostatica

2 Sistemi di conduttori Conduttore isolato carico C C q -q - C q Avviciniamo C scarico Induzione incompleta (non tutte le linee di forza da C vanno su C ) viene aumentato da q viene diminuito da q in modo maggiore (-q e` piu` vicina a C )

3 Sistemi di conduttori Conduttore isolato carico C C q -q - C Avviciniamo C scarico < q Induzione incompleta (non tutte le linee di forza da C vanno su C ) viene aumentato da q viene diminuito da q in modo maggiore (-q e` piu` vicina a C ) C ' q q C '

4 Sistemi di conduttori conduttori isolati nel vuoto Cariche e Superficie S e S per ciascun conduttore: E nda n d A S S S da n

5 Sistemi di conduttori r r r ( ) ( ) ( ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con i che si annullano all infinito, e i = su S i (sovrapposizione effetti) S S n n da da

6 Sistemi di conduttori x x x ( ) ( ) ( ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con i che si annullano all infinito, e i = su S i (sovrapposizione effetti) S n n da S n n da

7 Sistemi di conduttori x x x ( ) ( ) ( ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con i che si annullano all infinito, e i = su S i (sovrapposizione effetti) da c c n n S da c n n S c

8 Sistemi di conduttori c c cn n c c cn c c c c ij n n n nn n i j coefficienti di capacita` i j coefficienti di induzione Noti i coefficienti di capacita` e di induzione di un sistema di conduttori, se sono specificati i potenziali a cui sono tenuti si possono determinare le cariche. n C (notazione matriciale) c c c ii ij ij c ji

9 Sistemi di conduttori La matrice c ij e` invertibile a a a a i i i in n ij j Fornisce i potenziali dei conduttori note le loro cariche Coefficienti di potenziale a a ij ij a ji

10 Esempio: conduttori sferici concentrici a a a a Mettiamo una carica sul conduttore interno. uello esterno ha carica totale nulla. 4 a a Ora mettiamo su quello esterno. 3 a 4 a a 4 3

11 Esempio: conduttori sferici concentrici a 4 3 a 4 3 a a a C A det A aa ( a ) ( ) ( ) 4 3 c a det A 4 a c c c a 3 det A c 4 det A ( ) 3

12 Esempio: conduttori sferici concentrici 4 ( ) c( ) c 4 La carica dipende solo dalla d.d.p. tra i conduttori ( c c ) 4 C 3 C e` la capacita` del conduttore esterno. La sua carica e` la somma della carica introdotta dall esterno e della carica indotta dall interno.

13 Condensatori Consideriamo conduttori tra i quali ci sia induzione completa. Il sistema si chiama condensatore. I due conduttori si chiamano armature. a a a a ( a a a ) C C a a a capacita` del condensatore dipende solo dalla geometria (e dal mezzo tra le armature)

14 Esempio. Capacita` di un condensatore sferico. C 4-3 lim C 4 (conduttore sferico isolato: armatura all infinito) Esercizio: calcolare la capacita` nel limite h= - << ~ = alutarla per h= mm, = m

15 d Capacita` di un condensatore cilindrico. Abbiamo visto che: d C log d log C d log supponiamo d>>,

16 Capacita` di un condensatore piano. Due conduttori piani paralleli, di area A, distanti h. Le supponiamo grandi, per trascurare gli effetti ai bordi. he h h A A C h A meno di effetti ai bordi

estensione indefinita Se ci fosse una transizione netta tra

17 Effetti di bordo Le espressioni delle capacita` dei condensatori piani e cilindrici sono corrette solo nel limite di armature di estensione indefinita Se ci fosse una transizione netta tra campo regolare e campo nullo: - E ds (impossibile, E e` conservativo)

18 Collegamento di condensatori Il condensatore e` un dispositivo che puo` immagazzinare carica elettrica E` globalmente neutro, ma mantiene una carica ed una separate spazialmente Collegando le armature si provoca il movimento di elettroni da un armatura all altra e il condensatore si scarica Si possono collegare piu` condensatori tra loro formando dei condensatori equivalenti

19 Collegamento di condensatori - - C - A A B A B C serie C B C C C C C C A C C C C C C C

20 Collegamento di condensatori = parallelo C - C C C C C C C C

21 Collegamento di condensatori n condensatori in serie: C n C i i n condensatori in parallelo: C n C i i

22 Energia del campo elettrostatico W q dw ( q ) dq ( q ) dq C C = energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel sistema attraverso l operazione di carica. U E C C

23 Densita` di energia nel campo elettrostatico Condensatore piano a facce parallele (ideale: no effetti ai bordi) Area armature: A, distanza: h, volume: Ah A U C ( Eh) E ( Ah) E h Dividendo per il volume: ue E Densita` di energia elettrostatica. alida in generale.

24 Densita` di energia nel campo elettrostatico Se in un volume dello spazio e` presente un campo elettrostatico E, l energia elettrostatica contenuta nel volume e`: U u ( x) d E( x) d E E Lavoro per costruire la distribuzione di cariche che origina il campo isultato molto importante nei fenomeni dinamici

25 Esempio r Sfera di raggio r Energia elettrostatica nel campo?? Carica sulla superficie r Er ( ) e r r 4 r U E E d 6 r 4 ( 4 r ) dr 8 dr r 8 Osservazione: coincide con U E C (lavoro per caricare)

26 Esempio - r 3 Carica e - sulle superficie di un condensatore sferico ai raggi e Er ( ) 4 e r r r altrove U E E d 8 dr r 8 Esercizio: verificare che U E C

27 Esempio Condensatore cilindrico di raggi e e altezza h Er ( ) e er r r h r r altrove d rhdr coord. cilindriche, integrato su z (h) e () U E E d 4 dr hr 4 log h Esercizio: verificare che U E C

28 Energia di sistemi di cariche Sistema di cariche puntiformi U qq i j E qiij ij 4 rij ij Distribuzioni continue 3 UE ( x) ( x) d x ( x) ( x) da ( x) ( x) dl Sempre vero: U ( ) 3 E E x d x

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