Capacità F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I

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1 Capacità F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I

2 Conduttore isolato lontano da altri conduttori o corpi carichi Depositiamo su di esso una carica complessiva Q All equilibrio avremo: σ ( x ) ds Φ(r ) = = Φ0 4πε 0 S r x Q = σ ( x ) ds S Supponiamo di saper determinare la densità di carica, il campo elettrico ed il potenziale per Q=Q0 Coulomb Quali saranno, all equilibrio, densità, campi e potenziali nel caso di Q =αq0 Coulomb?

3 Q = σ ( x ) ds = α Q = α σ ( x ) ds ' ' S Si può dedurre che S σ (x) = α σ (x) '? La stessa cosa non vale per l acqua in una bottiglia! Varrebbe invece per il vapore d acqua!

4 Se vale σ ' (x) = α σ (x) allora vale anche Quindi: Ne consegue che ' E (r ) = α E (r ) σ ( x ) ds α σ ( x ) ds ' Φ (r ) = = = α Φ0 4πε 0 S r x 4πε 0 S r x ' α σ ( x ) ds Q' Q0 S = = ' α σ ( x ) ds Φ 0 Φ (r ) S r x ) Non dipende dal punto su cui valutiamo il potenziale 2) Non dipende da quanta carica depositiamo

5 Esso è quindi una caratteristica intrinseca del conduttore Prende il nome di Capacità del conduttore Q=CΦ Carica depositata sul conduttore Valore comune del potenziale in tutti i punti del conduttore Unità di misura: Farad in pratica, microfarad e picofarad Vale solo per conduttori all equilibrio Non si può, ad esempio, parlare di capacità per un isolante

6 σ ( x ) ds Φ(r ) = 4πε 0 S r x Capacità di un conduttore sferico Dato che la carica è sulla superficie, valutando il potenziale al centro della sfera Φ = Φ(r = 0) = Q 4πε 0 R Q = ( 4πε 0 R ) Φ Se R = C = 4πε 0 R C. 0 0 Farad = 0 pf Quale è il motivo fisico di un numero così piccolo?

7 Non potremo quindi depositare molta carica su di un conduttore Qmax = 4π R σ max = 4π R ε 0 Emax C R 0 2 Qmax =. 0 Coulomb 6 Come fare per depositare cariche di valore comparabile su oggetti piccoli? Occorre notare che per depositare carica elettrica su di un corpo, occorre prelevarla da un altro Quindi, alla fine, avremo due o più oggetti carichi, di segno opposto

8 L artificio consiste nel tenere il conduttore da cui preleviamo la carica molto vicino a quello su cui la depositiamo! Il valore del potenziale di un conduttore dipende anche dalla carica di segno opposto presente nell altro Il lavoro necessario per caricare il conduttore è piccolo in quanto dobbiamo spostare di tratti piccoli le cariche " I singoli conduttori, A e B, prendono in nome di Armature e l insieme prende il nome di Condensatore 4πε 0 σa σb ds + S ra A A 4πε 0 S rb A dsb A B ΦB = 4πε 0 σa σb S ra B dsa + 4πε 0 S rb B dsb A B ΦA = Di segno opposto al secondo e lievemente più piccolo in valore assoluto Di segno opposto al primo e lievemente più piccolo in valore assoluto

9 Abbiamo quindi: 4πε 0 σa σb ds + S ra A A 4πε 0 S rb A dsb A B QA = ΦB = 4πε 0 σa σb S ra B dsa + 4πε 0 S rb B dsb A B QB = ΦA = σ A dsa B dsb = QA SA σ SB Che relazione potremo scrivere tra cariche e potenziali? Supponiamo di conoscere le densità di carica ed i valori dei potenziali per un determinato valore della carica trasferita Per ogni altro valore della carica trasferita, le densità di carica saranno semplicemente scalate rispetto alle precedenti e quindi lo stesso avverrà degli integrali che appaiono nell espressione del potenziale

10 4πε 0 σa σb ds + S ra A A 4πε 0 S rb A dsb = pa, AQA + pb, AQB A B ΦB = 4πε 0 σa σb S ra B dsa + 4πε 0 S rb B dsb = pa, BQA + pb, BQB A B ΦA = Coefficienti di induzione: dipendono solo dalla geometria dei conduttori e sono simmetrici nello scambio degli indici Φ A = pa, AQA + pb, AQB = ( pa, A pb, A ) QA Φ B = pa, BQA + pb, BQB = ( pa, B pb, B ) QA Φ A Φ B = ( pa, A pb, A pa, B + pb, B ) QA Φ A + Φ B = ( pa, A pb, A + pa, B pb, B ) QA

11 Φ A Φ B = ( pa, A pb, A pa, B + pb, B ) QA Formalmente analoga alla relazione che lega la carica al potenziale di un conduttore (p A, A pb, A pa, B + pb, B ) << pi, j Q = C ΔΦ Grandezza omogenea alla capacità del conduttore, detta Capacità del Condensatore

12 Φ A + Φ B = ( pa, A pb, A + pa, B pb, B ) QA Φ A + Φ B = ( pa, A pb, B ) QA Se i due conduttori hanno identica forma geometrica e se dal primo si vede il secondo come dal secondo si vede il primo: ΦA + ΦB = 0 pa, A = pb, B Φ B = Φ A I potenziali dei due conduttori sono uguali ed opposti

13 Condensatore piano: le armature sono due lastre piane e parallele sovrapposte ad una distanza molto piccola rispetto alle dimensioni lineari Trascurando l effetto dei bordi σ E= n ε0 S Q = ε 0 ΔΦ d σ Q ΔΦ = E d = d = d ε0 Sε 0 Text S C = ε0 d Esempio: S=m2, d= 0.mm Molto maggiore delle dimensioni lineari C = ε = = = 88.4 µ F

14 Condensatore cilindrico 2A 2B h E 2π r h = λ ε0, λ E= 2πε 0 r λ ΔΦ = 2πε 0 λ Q Rb Rb dr = ln = ln Ra r 2πε 0 Ra 2πε 0 L Ra Rb 2πε 0 L C= Rb ln Ra Cosa accade se Rb?

15 Condensatore sferico 2A 2B Q ΔΦ = 4πε 0 Q Rb Ra Ra r 2 dr = 4πε 0 Ra Rb Rb Ra Rb C = 4πε 0 Rb Ra