Lez.14 Bipoli dinamici. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 1

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1 Lez.14 Bipoli dinamici Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 1

2 Il bipolo condensatore ideale i (t) v(t) C Il condensatore lineare è un bipolo dinamico. La sua relazione caratteristica espressa con la convenzione dell utilizzatore è: i(t) = C dv(t) dt Il parametro C è detto capacità. La sua unità di misura è il Farad [F]. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 2

3 L intensità di corrente in un condensatore è in relazione differenziale con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornire le informazioni per risalire al valore della tensione; infatti: v(t) = v(t 0 ) + 1 C i(τ)dτ Il legame tensione-corrente è univocamente definito solo se è noto il valore della tensione v(t 0 ) all istante iniziale t 0. Il bipolo condensatore è un bipolo a memoria. t 0 t Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 3

4 Comportamento energetico La potenza assorbita dal condensatore è: p(t) = v(t)i(t) = Cv(t) dv(t) dt Il segno della potenza assorbita all istante t non dipende solo dal valore della tensione in quell istante ma anche dal segno della sua derivata. Il condensatore può sia assorbire potenza positiva che assorbire potenza negativa: il condensatore non è un bipolo strettamente passivo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 4

5 L energia assorbita dal condensatore nel generico intervallo di tempo (t 1, t 2 ) vale: t 2 w(t 1, t 2 ) = p(t)dt t 1 t 2 dv(t) = Cv(t) dt t 1 = v(t 2 ) 1 2 C d(v2 (t)) v(t 1 ) w(t 1, t 2 ) = 1 2 Cv2 (t 2 ) 1 2 Cv2 (t 1 ) L energia assorbita dipende esclusivamente dal valore che la tensione sul condensatore assume nell istante iniziale t 1 e nell istante finale t 2 ; il lavoro (energia) non dipende dalla particolare evoluzione temporale della tensione nell intervallo (t 1, t 2 ). Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 5

6 Partiamo ora da una situazione in cui all istante iniziale t 1 =0 il condensatore sia scarico (q(t 1 )=0; v(t 1 )=0) e calcoliamo l energia assorbita nell intervallo (0, t): w(0, t) = 1 2 Cv2 (t) Pensiamo poi ad una qualsiasi trasformazione in un intervallo di tempo (t, t 2 ) che riporti la tensione sul condensatore dal valore v(t) al valore v(t 2 )=0 e valutiamo in tal caso l energia erogata dal condensatore: t 2 w(t, t 2 ) = v(t)i(t) t = Cv2 (t) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 6

7 Il condensatore ha ceduto verso l esterno tutta l energia che aveva in precedenza assorbito. Il condensatore è un bipolo conservativo: esso si comporta come un serbatoio di energia: immagazzina energia e poi è in grado di cederla tutta verso l esterno. La funzione w(t) = 1 2 Cv2 (t) esprime l energia immagazzinata nel condensatore all istante generico t. Il condensatore non è in grado di fornire più energia di quanta non ne abbia immagazzinata in precedenza. Il condensatore è un bipolo passivo. La tensione sul condensatore è una funzione di stato in quanto legata all energia immagazzinata. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 7

8 La tensione sul condensatore è una variabile continua se la forma d onda della corrente si mantiene limitata. Per dimostrarlo, supponiamo che la tensione non sia continua: arriveremo ad un assurdo. Se la tensione non è continua in t, si ha: lim v(t) = t t { + v(t+ ) lim v(t) = t t v(t ) v(t + ) v(t ) 0 Il limite destro e il limite sinistro di v(t) sono diversi Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 8

9 Di conseguenza, ricordando la caratteristica integrale del condensatore possiamo affermare che: v(t + ) v(t ) = 1 C t + t i(τ)dτ e t + 1 C i(τ)dτ 0 t L integrale della corrente, esteso ad un intervallo infinitesimo, è diverso da zero. Ciò è un assurdo se la corrente è limitata. Di conseguenza, deve necessariamente essere v(t + ) = v(t ) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 9

10 Il dispositivo fisico condensatore Il dispositivo fisico condensatore è un componente a due terminali costituito da due corpi conduttori affacciati (armature), di forma qualsiasi, tra i quali sono interposti uno o più mezzi dielettrici. Il condensatore si dice carico quando sul primo conduttore è presente la carica q A, mentre sul secondo conduttore è presente la carica q B =-q A. Nascerà un campo elettrico tra le armature; indicata con v la tensione tra le armature, esiste la seguente relazione di proporzionalità tra il modulo q della carica sulle armature e la tensione v : q = Cv Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 10

11 La costante di proporzionalità C è chiamata capacità del condensatore. Essa dipende dalla forma e dalla posizione relativa tra le armature, nonché dal mezzo che le separa. L unità di misura della capacità è il farad [F]: [C] = [ q] [v] = coulomb volt = Farad Il condensatore piano costituisce il caso più semplice di condensatore. In esso le armature sono piane e parallele, di uguale superficie S, e distanti d. Tra le armature è interposto un dielettrico ideale di Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 11

12 permettività. La carica (in modulo) sulle armature è q. La densità superficiale di carica è =q/s d S E i AB (t) n q A q B Se la distanza d è piccola rispetto alle dimensioni delle armature, cioè (d S), si può affermare con buona approssimazione che il campo elettrico si addensi nel solo dielettrico e che sia uniforme tra le armature. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 12

13 Il campo elettrico vale: La tensione si calcola come: E = σ ε = 1 ε q S v AB = E t dl In tali condizioni la capacità C è: A B = Ed C = q = q v AB Ed C = ε S d Come si vede, la capacità dipende solo da fattori geometrici (S, d) e dal tipo di dielettrico inserito tra le armature ( ). Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 13

14 Materiale Permettività relativa r Polietilene 2.3 Carta 3.5 Vetro 4.7 Mica 5.4 Porcellana 6 Gomma 7 Acqua distillata 80 n.b. i valori di permettività in tabella sono indicativi perché dipendono anche dalla lavorazione e\o trattamento subito dall isolante (es. carta cellulosica o aramidica, vetro temprato o non ecc.) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 14

15 Nell ipotesi in cui: (a) pur variando nel tempo, le cariche sulle armature del condensatore assumano sempre valore opposto q A (t) = q B (t); (b) la tensione v(t) si possa esprimere sempre come differenza di potenziale; (c) la capacità sia C costante, applichiamo la legge di conservazione della carica alla superficie, orientata come in figura, che racchiude il volume e contiene la sola armatura superiore: dq dt + dq dt = 0 dq Σ dt = dq A dt i AB (t) = dq A dt = d dt (Cv AB) i AB (t) = C dv AB dt Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 15

16 Condensatore cilindrico Capacità di un cavo rettilineo E costituito da due armature cilindriche coassiali di raggio r 1 e r 2 r 2 r 1 L V = r 2 r 1 E(r)dr = r 2 Q dr = r 1 2πrLε Q 2πLε ln r 2 r 1 C = 2πLε ln( r 2 r1 ) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 16

17 Il bipolo induttore ideale i (t) v(t) L L induttore lineare è un bipolo dinamico. La sua relazione caratteristica espressa con la convenzione dell utilizzatore è: v(t) = L di(t) dt Il parametro L è detto induttanza. La sua unità di misura è l Henry [H]. Il bipolo induttore è il duale del bipolo condensatore Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 17

18 Il legame integrale tra tensione e corrente in un induttore è: i(t) = i(t 0 ) + 1 L v(τ)dτ Il legame tensione-corrente è univocamente definito solo se è noto il valore della corrente i(t 0 ) all istante iniziale t 0. Il bipolo induttore è un bipolo a memoria. t 0 t Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 18

19 Comportamento energetico La potenza assorbita dall induttore è: p(t) = v(t)i(t) = L di(t) dt i(t) 3 2 corrente tensione potenza Tempo [s] 2 sin ; cos ; sin cos i t I t v t LI t p t LI t t M M M Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 19

20 L induttore può sia assorbire potenza che erogare potenza; l induttore non è un bipolo strettamente passivo. L energia assorbita dall induttore nell intervallo di tempo (t 1, t 2 ) è: w(t 1, t 2 ) = 1 2 Li2 (t 2 ) 1 2 Li2 (t 1 ) L energia assorbita può essere espressa come differenza tra l energia immagazzinata all istante t 2 e quella immagazzinata all istante t 1 : w(t 1, t 2 ) = w(t 2 ) w(t 1 ) L induttore può fungere da serbatoio di energia, accumularla in un certo intervallo di tempo e poi restituirla tutta all esterno. Il bipolo induttore è un bipolo conservativo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 20

21 L induttore non può però erogare più energia di quanta ne abbia immagazzinata in precedenza. L induttore è un bipolo passivo. L intensità di corrente elettrica nell induttore è una funzione di stato in quanto legata all energia immagazzinata: w(t) = 1 2 Li2 (t) L intensità di corrente elettrica nell induttore è una variabile continua se la forma d onda della tensione si mantiene limitata. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 21

22 Il dispositivo fisico induttore Il dispositivo fisico induttore è un componente a due terminali costituito da un filo conduttore di resistività molto bassa (al limite nulla) avvolto su un supporto, ad esempio toroidale. A B e Se nel filo conduttore circola una corrente i(t), nasce un campo magnetico e un flusso (t) concatenato con lo stesso avvolgimento. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 22

23 In regime lentamente variabile, se il supporto è costituito da materiale con caratteristica magnetica lineare, esiste la seguente relazione di proporzionalità tra il flusso e la corrente: Φ = Li. La costante di proporzionalità L è chiamata induttanza (o coefficiente di autoinduzione) dell induttore. Essa dipende dalla geometria e dal numero delle spire dell avvolgimento, nonché dal mezzo con cui è realizzato il supporto. L unità di misura dell induttanza è l henry [H]: [L] = [ Φ] [i] = weber ampere = henry Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 23

24 Nel caso di induttore toroidale con raggio r, e sezione trasversale S, realizzato con N spire percorse da corrente i e avvolto su un mezzo lineare con permeabilità magnetica, il campo magnetico nella sezione trasversale S può considerarsi uniforme e pari a: B = μ Ni 2πr Il coefficiente di autoinduzione vale: L = Φ tot i = NBS i L = μ N2 S 2πr = μ N2 is 2πr 1 i Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 24

25 Nell ipotesi di regime lentamente variabile, considerando L costante nel tempo (induttore tempo-invariante), possiamo calcolare la tensione v AB ai capi dell avvolgimento in funzione della corrente i AB. La tensione elettrica si calcola come: B v AB = E e t dl A,γ Applichiamo la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa Γ costituita dall avvolgimento γ i e dalla linea γ e aperta esterna alla superficie: Γ E dl = dφ γ dt Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 25

26 Γ E t dl B A = E i t dl + E e t dl A,γ i B,γ e = dφ γ dt Ricordando che il campo elettrico E i lungo la linea interna γ i è nullo se il filo conduttore è realizzato con materiale conduttore perfetto, si ha: v AB = + dφ γ dt v AB = + d dt (L i AB) v AB = L di AB(t) dt Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 26

27 Per ottenere un flusso più elevato a parità di corrente conviene scegliere materiali con permeabilità elevata, quali i materiali ferromagnetici in cui la caratteristica B-H è di tipo isteretico. Materiale Acqua pura (diamagnetico) 1-( ) Alluminio (paramagnetico) 1+( ) Ferro puro (ferromagnetico) Permalloy (Ni Fe 22%) Permeabilità relativa µ r Caratteristica B-H in materiali ferromagnetici Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 27

28 Linea bifilare coefficiente di autoinduzione La linea è costituita da due conduttori paralleli cilindrici filiformi di raggi r 1 e r 2, lunghi h, distanti d (r 1 <<d e r 2 <<d) e percorsi da intensità di corrente i uguali e opposte h i n d i B 1 n = μi { B 2 n = μi 2πr 2π(d r) d r 2 φ = h μi 2π (1 + 1 ) dr r d r r 1 ~h μi d2 ln ( ) 2π r 1 r 2 L = φ = h μ d2 ln ( ) i 2π r 1 r 2 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 28