Lez.3 I bipoli. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 1

Transcript

1 Lez.3 I bipoli Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 1

2 Bipoli - Proprietà Il bipolo è un componente di un circuito elettrico caratterizzato da una superficie limite S non accessibile e da una coppia di terminali A e B realizzati con fili conduttori ideali di resistività nulla. A i a A S S 1 B B i b 2 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 2

3 Nella teoria dei circuiti l interazione del bipolo con gli altri componenti del circuito avviene solo ed esclusivamente tramite i suoi terminali e non attraverso la sua superficie limite. Il bipolo gode delle seguenti proprietà: a) L intensità di corrente elettrica (i a ) con riferimento entrante in un morsetto è sempre uguale a quella (i b ) con riferimento uscente dall'altro morsetto. Per descrivere il bipolo basta un unica intensità di corrente elettrica (i(t)=i a =i b ); b) la tensione fra due morsetti è indipendente dal particolare cammino (T AB,1 = T AB,2 ) purché esso non fori il componente. Per descrivere il bipolo basta un unica tensione (v(t)). La tensione elettrica è pertanto esprimibile come d.d.p. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 3

4 A i(t) + - B v(t) Le proprietà a) e b) costituiscono la definizione assiomatica dell elemento bipolo. Esse consentono di precisare sotto quali condizioni è lecito schematizzare un componente fisico sede di fenomeni elettromagnetici come un bipolo Esistono limiti alla definizione di bipolo? Quali sono le condizioni per le quali è possibile definire il bipolo? Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 4

5 La definizione di bipolo è rigorosamente valida in regime stazionario, quando tensioni e intensità di corrente sono costanti nel tempo. Infatti sappiamo già che in regime variabile, quando tensioni e correnti variano nel tempo, l intensità di corrente elettrica non può più essere associata all intero conduttore, ma alla sezione in cui viene misurata e, pertanto la proprietà a) non è verificata. Inoltre, in regime variabile la tensione elettrica non dipende solo dai punti tra i quali è valutata, ma anche dal cammino percorso; ne consegue che la proprietà b) non è verificata. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 5

6 Per dimostrare queste due affermazioni basta applicare la legge di conservazione della carica elettrica alla superficie chiusa di figura e applicare la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa, entrambe non intersecanti la superficie limite del componente. S S A A S A 1 2 B S B B i Sa t i Sb t dq dt E dl E dl E dl AB, 1 BA, 2 d dt Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 6

7 Applicando tali leggi si ricava che la definizione di bipolo è valida anche in regime dinamico a patto che si verifichi contemporaneamente che: 1) i Sa (t) i Sb (t) dq Σ dt 2) v AB,γ1 (t) v AB,γ2 (t) dφ Γ dt cioè nel caso in cui l ampiezza della derivata di Q Σ è trascurabile rispetto alle intensità di corrente elettrica ai morsetti e nel caso in cui la derivata del flusso concatenato con la linea Γ è trascurabile rispetto alle ampiezze delle due tensioni elettriche valutate ai morsetti. Questo è il caso di funzionamento in regime lentamente variabile, nel quale risulta valido il modello circuitale. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 7

8 Condizione necessaria affinché ciò avvenga (e per la quale è possibile la definizione di bipolo elettrico) è che si possa trascurare il fenomeno della propagazione elettromagnetica, ossia trascurare il fenomeno per il quale un segnale elettromagnetico si propaga con una velocità finita e impiega, pertanto, un tempo di transito non nullo per spostarsi da un punto all altro di un circuito. Un modo per verificare tale condizione consiste nel considerare un dispositivo con dimensione tipica d. In tale dispositivo il tempo di transito può essere valutato come: τ = d c 8 con c velocità della luce ( c 3 10 m / s ). Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 8

9 Se le tensioni e le correnti sono caratterizzate da variazioni sinusoidali di periodo T (frequenza f=1/t), dobbiamo confrontare T con. Possiamo affermare che è possibile trascurare il fenomeno della propagazione elettromagnetica quando T>>. Infatti, nel caso in cui fosse T>>, considerando un segnale elettrico che viaggia dal punto iniziale A di un dispositivo e arriva dopo un tempo al punto finale B distante d, troveremmo che, nonostante la velocità di propagazione finita, i due segnali sono praticamente identici in quanto le variazioni del segnale in A sono così lente da ritenere che esso sia rimasto invariato dopo il tempo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 9

10 Introducendo la lunghezza d onda c del segnale elettromagnetico f la condizione necessaria può anche essere espressa come: d la dimensione tipica d del circuito deve essere sensibilmente più piccola della più piccola lunghezza d onda λ dei segnali elettromagnetici. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 10

11 La condizione non è sufficiente. Si deve aggiungere un altra tra le seguenti condizioni (altre situazioni sono valutabili caso per caso): 1. Nel sistema l energia magnetica è trascurabile rispetto alla energia del campo elettrico (QSE) 2. Nel sistema l energia del campo magnetico è prevalente rispetto all energia del campo elettrico (QSM) Campi di frequenza e lunghezze d onda per alcune applicazioni Applicazioni frequenza Lunghezza d onda Reti di potenza 5060 Hz km Telefonia fissa Hz km Radio-Tele diffusione Hz 3000,3 m Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 11

12 Un impianto elettrico casalingo funziona alla frequenza di 50 Hz, cui corrisponde una lunghezza d onda di 6000 km. Poiché le dimensioni dei componenti dell impianto sono dell ordine del metro, la condizione necessaria per il regime lentamente variabile è verificata. Un antenna a stilo delle dimensioni di un metro è alimentata da una corrente sinusoidale alla frequenza di 1 GHz: la lunghezza d onda è di circa 30 cm, per cui l antenna non può essere considerata un bipolo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 12

13 Convenzioni su un bipolo Per convenzione su un bipolo A-B si intende un abbinamento tra i riferimenti di tensione ed intensità della corrente. E possibile abbinare in quattro modi i riferimenti: convenzione del generatore i(t) A B + - v(t) convenzione dell'utilizzatore i(t) A B + - v(t) A i(t) + - B A i(t) + - B v(t) v(t) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 13

14 Caratteristica di un bipolo La caratteristica di un bipolo è il legame tensione-intensità di corrente, fissata una delle convenzioni (abbinamenti) sopra riportati. Il legame dipende esclusivamente dalle proprietà geometrico-fisiche del bipolo, e da niente altro Ad esempio, il legame non dipende da quali bipoli o componenti sono legati al bipolo in esame. Il legame tra tensione e corrente è espresso tramite un equazione caratteristica o relazione tipologica. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 14

15 Se il legame si esprime con un equazione del tipo: f v, i 0 il bipolo è detto adinamico perché la relazione tra tensione e corrente non è influenzata dalla dinamica temporale. Il legame è di tipo algebrico Se il legame è del tipo: f v t, i t, d / dt, 0 dt il bipolo è detto dinamico perché nel legame appaiono le derivate. Ciò comporta che la relazione tensione-corrente è influenzata dalla dinamica temporale de bipolo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 15

16 Caratteristica esterna E la curva del piano cartesiano (v,i) o (i,v) espressa dal legame matematico ƒ(v,i)=0 (f[v(t),i (t),d/dt]=0 ) Un bipolo adinamico ha una sola caratteristica esterna, che non cambia al variare del regime di funzionamento. Un bipolo dinamico ha infinite caratteristiche esterne dipendenti dalla variazione delle dinamiche temporali di tensione e intensità di corrente elettrica, pertanto non ha senso rappresentarle nel piano (i,v). Il bipolo è controllabile in tensione [corrente] se la sua caratteristica esterna può essere scritta nella forma i=g(v) [v=f(i)] Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 16

17 Se il bipolo è controllabile in tensione (corrente), ogni valore della tensione (intensità di corrente) determina il valore della intensità di corrente (tensione). Ciò comporta che la caratteristica si può trovare sperimentalmente imponendo l intensità di corrente ai morsetti (per un bipolo controllabile in corrente) e misurando la tensione (e/o viceversa). I Bipolo non controllabile in corrente V Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 17

18 La caratteristica esterna cambia a seconda del verso di riferimento scelto per le tensioni e le correnti v v i i Un bipolo è detto tempo-invariante se la sua caratteristica esterna non varia nel tempo. Un bipolo è detto tempo-variante se la sua caratteristica esterna varia nel tempo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 18

19 Un bipolo è detto normale se la sua caratteristica esterna è del tipo av bi c 0 ossia, quando è rappresentabile tramite una retta nel piano (i,v) Un bipolo è detto inerte quando la sua caratteristica esterna passa per l origine degli assi (i,v): i 0; v 0 Un bipolo normale e inerte è un bipolo lineare. La sua caratteristica è: v ki Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 19

20 Per un bipolo lineare valgono le proprietà di additività e omogeneità: f(i 1 ) = v 1 ; { f(i 2 ) = v 2 f(i 1 + i 2 ) = v 1 + v 2 additività f(i { 1 ) = v 1 ; f(ki 1 ) = kv 1 ; k R omogeneità Per un bipolo lineare è valido il principio di sovrapposizione degli effetti: l effetto dato dall azione contemporanea di più cause è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola causa. Un bipolo che ha la caratteristica i = v 2 è non lineare Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 20

21 Può accadere che la caratteristica di un bipolo dipenda dalla storia pregressa del bipolo, ossia dipenda dalla evoluzione temporale che ha portato all attuale condizione di funzionamento. In questo caso il bipolo di dice isteretico (con isteresi). V I Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 21

22 Potenza e Energia I componenti sono sede di trasformazioni energetiche Per tener conto degli scambi energetici si considera una nuova grandezza, detta POTENZA ELETTRICA Essa rappresenta il lavoro (energia) scambiato nell unità di tempo Per un bipolo: p t v t it dl dq dq dt dl dt Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 22

23 Nel sistema S.I. l unità di misura della potenza è il Watt [W]. Lo strumento utilizzato per misurare la potenza elettrica si chiama wattmetro. Se la potenza è variabile nel tempo è generalmente indicata con il simbolo p(t) e si parla di potenza istantanea. Si utilizzano lettere maiuscole quando la potenza è costante nel tempo. L espressione della potenza non chiarisce quale sia il flusso energetico. Per stabilire se la potenza valutata è una potenza entrante o una potenza uscente, è necessario considerare i riferimenti per tensione e corrente Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 23

24 Convenzione dell utilizzatore A i(t) + - B v(t) Il prodotto v(t)i(t) rappresenta in questo caso il lavoro per unità di tempo compiuto dalle forze del campo sulle cariche. Il flusso di energia è entrante nel bipolo e la potenza rappresenta la potenza assorbita dal bipolo p t v t i t a AB AB Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 24

25 Convenzione del generatore A i(t) + - B v(t) Il prodotto v(t)i(t) rappresenta in questo caso la potenza erogata (generata) dal bipolo p t v t i t g E immediato verificare che per ogni bipolo: AB BA p g t p a t Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 25

26 Il lavoro elettrico scambiato dal bipolo nell intervallo t risulta: W t L t t p t dt t v t it dt Nel sistema S.I. l unità di misura del lavoro elettrico è il Joule [J] Il lavoro elettrico scambiato nei sistemi elettrici è generalmente denominato energia elettrica. Un unità di misura spesso impiegata nella distribuzione della energia elettrica è il kilowattora 1 kwh=1kw*3600s=3600 kj Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 26

27 I diversi tipi di bipolo possono realizzare differenti trasformazioni energetiche: Essi possono, ad esempio: assorbire energia elettrica e tramutarla irreversibilmente in altre forme energetiche (es. calore); immagazzinare energia elettrica e renderla successivamente disponibile; convertire energia (meccanica, chimica, gravitazionale) in lavoro elettrico. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 27

28 Bipoli passivi Fissato un generico istante t 0 in cui l energia associata al bipolo è nulla, se accade che, per ogni istante t>t 0 e per qualunque trasformazione, l energia assorbita dal bipolo nell intervallo (t,t 0 ) è sempre 0, allora il bipolo si dice passivo t ΔW (t0,t) = p a (t)dt 0 t t 0 t 0 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 28

29 Bipoli attivi Un bipolo si dice attivo quando non è passivo Vuol dire che, partendo dalla condizione di bipolo scarico (energia immagazzinata nulla a t=t 0 ) è sufficiente trovare almeno un istante di funzionamento t che renda negativa l energia elettrica assorbita nell intervallo (t 0,t*), in cui, cioè, il bipolo è capace di fornire energia al resto del circuito anche partendo da un istante in cui è inizialmente scarico. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 29