Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

Transcript

1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Metodo delle cariche immagine Capacità, condensatori La lezione del 4 novembre 2016 è alle ore 8:30 Anno Accademico 2016/2017

2 Cariche immagine Calcoliamo adesso la forza che il piano esercita sulla carica q Consideriamo un anello di raggio r La sua area è La sua carica La carica dell'anello esercita una forza sulla carica pari a Introducendo il valore di σ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 207

3 Cariche immagine Esaminiamo il risultato appena trovato z La forza che il piano esercita sulla carica q y è la stessa di quella che la carica immagine esercita sulla carica q Due cariche uguali in modulo poste x a distanza 2h l'una dall'altra Il problema appena studiato ci consente di rivedere criticamente la definizione operativa di campo elettrico La forza per unità di carica che si esercita su una carica esploratrice Pertanto se avviciniamo una carica ad un piano conduttore scarico la forza esercitata sulla carica è La definizione corretta è SBAGLIATO!! Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 208

4 Definizione operativa di E Come faccio sperimentalmente a fare il limite? Detto diversamente, come faccio a sapere se la carica è piccola a sufficienza? Sperimentalmente faccio più misure, con cariche sempre più piccole e osservo se il campo che misuro dipende dal valore della carica esploratrice Nell'esempio studiato Si utilizza una carica q e si misura E 1 E Si utilizza una carica q/2 e si misura E 2 Si utilizza una carica q/4 e si misura E 3 Si estrapola all'origine Se il campo non raggiunge un valore stabile significa che la carica esploratrice è la causa del campo che misuriamo q Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 209

5 Cariche immagine Un ultimo problema per chiarire ancora una volta un punto importante Quanto lavoro è necessario per portare una carica q dall'infinito a distanza h da un piano conduttore? Per rispondere uno studente (o un professore ) ragiona in questo modo: Abbiamo visto che la forza è quella che si esercita fra la carica e la sua immagine Analogamente il lavoro fatto è uguale all'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema carica + carica immagine Un altro studente (o professore ) preferisce un calcolo meno elegante, più di "forza bruta" Calcola il lavoro fatto contro la forza elettrostatica Ad una altezza z avremo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 210

6 Cariche immagine Il lavoro totale si trova integrando Il valore trovato è la metà di quello trovato con il primo calcolo Chi ha ragione e perché? Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 211

7 Capacità di un conduttore Consideriamo un conduttore isolato Ad esempio una sfera Supponiamo che sul conduttore sia depositata una certa quantità di carica q La carica si distribuisce sulla superficie del conduttore con una densità superficiale σ Abbiamo utilizzato una sfera solo per convenienza Non è detto che la densità sia uniforme Ovviamente avremo (S è la superficie del conduttore) Se il punto r si muove sulla superficie del conduttore il potenziale assumerà sempre lo stesso valore V = φ(r) La superficie del conduttore è equipotenziale Supponiamo adesso di variare la quantità di carica sul conduttore q m q Anche la densità di carica sarà moltiplicata per m: σ m σ Anche il potenziale sul conduttore sarà moltiplicato per m: V m V Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 212

8 Capacità di un conduttore Ne consegue che il rapporto fra la carica sul conduttore e il potenziale della superficie è indipendente dal valore della carica Questo rapporto dipende dalla geometria del conduttore e prende il nome di capacità del conduttore Dipende anche dal mezzo che circonda il conduttore Per adesso supponiamo sia il vuoto L'unità di misura della capacità (Coulomb/Volt) è il Farad Vedremo che un Farad è una capacità enorme e quindi normalmente si usano dei sottomultipli millifarad 10 3 F mf microfarad 10 6 F μf nanofarad 10 9 F nf picofarad F pf femtofarad F ff Calcoliamo la capacità di una sfera di raggio R Mettiamo una carica q sulla superficie della sfera e calcoliamo il potenziale sulla sua superficie Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 213

9 Capacità di un conduttore Sappiamo che il potenziale sul conduttore è uguale a quello di una carica q posta al centro della sfera Pertanto il potenziale sulla superficie sarà E la capacità Come preannunciato dipende solo dalla geometria (R) Notiamo che il prodotto ε 0 R ha le dimensioni del Farad È abitudine (ed è anche comodo) utilizzare per le unità di ε 0 il F/m (Farad per metro) Qualche esempio numerico R = 0.1 m C = F = 11 pf R = 6700 Km C = F = 0.74 mf (raggio della terra) R = Km C = 1F (il sole dista Km, la luna Km) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 214

10 Condensatore Il concetto di capacità è utile e importante anche per sistemi di più conduttori Uno dei sistemi a più conduttori più diffusi e utilizzati è quello costituito da due conduttori: il condensatore Studieremo in seguito i sistemi a più di due conduttori Consideriamo un sistema composto da due conduttori piani di area A posti a distanza ravvicinata I due conduttori prendono il nome di elettrodi o armature Supponiamo di depositare una carica +q sull'elettrodo superiore e una carica q sull'elettrodo inferiore Se la distanza d fra gli elettrodi è molto piccola le cariche si distribuiscono uniformemente sulle superfici interne degli elettrodi In queste condizioni possiamo approssimare il campo fra gli elettrodi come il campo fra due distribuzioni superficiali di carica uniforme e infinite Una soluzione esatta del problema mostrerebbe una configurazione del campo elettrico come indicata in figura Effetti di bordo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 215

11 Condensatore Trascuriamo gli effetti di bordo: il campo elettrico fra due piani di carica è uniforme e perpendicolare agli elettrodi Il suo modulo è Tutte le linee di campo che partono La densità di carica è da un piano finiscono sull'altro A questo punto è immediato calcolare la differenza di potenziale fra gli elettrodi V + il potenziale dell'elettrodo con la carica positiva V il potenziale dell'elettrodo con la carica negativa Introducendo i valori di E e di σ Analogamente a quanto fatto per il conduttore singolo definiamo capacità del condensatore il rapporto fra la carica e il potenziale Notiamo che ancora una volta dipende solo dalla geometria Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 216

12 Condensatore Ci aspettiamo che il calcolo fatto sia tanto più accurato quanto più vicini sono i due piani Nel caso in cui l'approssimazione non sia buona allora occorre calcolare esattamente la differenza di potenziale il funzione della carica Troveremmo qualcosa di "leggermente" differente dalla formula trovata Sul libro di Purcell è riportato il risultato di un calcolo della capacità di un condensatore con armature circolari La capacità calcolata esattamente viene confrontata con la formula approssimata La tabella mostra il rapporto f fra la capacità esatta e quella approssimata in funzione di R/s Ribadiamo che due conduttori formano comunque un condensatore Mantenere sotto controllo la geometria permette di costruire dispositivi utilizzati in circuiti elettronici Se la capacità è indesiderata si parla di effetto parassita Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 217

13 Energia immagazzinata nel condensatore I condensatori sono dispositivi utili perché possono immagazzinare (e conservare) energia Consideriamo un condensatore di capacità C Consideriamo per semplicità l'elettrodo inferiore a potenziale nullo e quello superiore a potenziale V La carica sulle armature è (per definizione) Supponiamo adesso di volere aumentare la carica sull'armatura superiore da Q a Q + dq trasportandola dall'elettrodo inferiore che passa da Q a Q dq Naturalmente è necessaria una forza non elettrostatica Questa forza compie lavoro contro il campo elettrico per spostare una carica positiva dall'elettrodo inferiore a quello superiore Il lavoro fatto per trasportare dq è dato semplicemente da Il lavoro totale per "caricare" un condensatore da 0 a Q è pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 218

14 Energia immagazzinata nel condensatore Il lavoro W è naturalmente uguale all'energia immagazzinata U = W Possiamo inoltre esprimere il risultato ottenuto in funzione della differenza di potenziale fra le armature de condensatore Abbiamo infatti L'energia trovata è naturalmente l'energia elettrostatica delle cariche sulle armature del condensatore Tuttavia può essere interpretata come l'energia immagazzinata nel campo elettrostatico presente fra le armature del condensatore In un condensatore piano, assumendo che possano essere trascurati gli effetti di bordo, il campo elettrico è uniforme Il suo modulo è La densità di energia Moltiplicando per il volume Ad del condensatore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 219

15 Esempi di condensatori Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 220

16 Forza fra le armature Sulle armature di un condensatore carico è presente una carica ±Q Le armature pertanto si attraggono Naturalmente è presente una forza non elettrica che mantiene fissa la distanza L fra le armature Calcoliamo la forza con cui si attraggono Iniziamo facendo il calcolo considerando il condensatore carico ma isolato da un eventuale generatore La carica sulle armature è costante Supponiamo di innalzare di un tratto dz l'armatura superiore Per farlo applichiamo una forza meccanica F m che bilancia esattamente la forza elettrica F e Il lavoro fatto dalla forza meccanica è Se la distanza fra le armature aumenta l'energia immagazzinata aumenta Infatti la capacità diminuisce Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 221

17 Forza fra le armature Naturalmente l'aumento di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza meccanica Uguagliando diretta verso il basso le armature si attraggono Calcoliamo adesso la forza nel caso in cui la tensione fra le armature è costante Se procediamo superficialmente troviamo un risultato errato L'energia del condensatore è Uguagliando Ha il segno opposto!! Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 222

18 Forza fra le armature Naturalmente non è possibile che scollegando (o collegando) il condensatore a un generatore la forza cambi segno L'errore sta nel non aver considerato tutto il lavoro fatto per allontanare l'armatura di dz Infatti se vogliamo mantenere costante la tensione dobbiamo far variare la carica sulle armature Se la capacità cambia di dc (positivo o negativo) la carica sulle armature deve cambiare di conseguenza: dq = VdC Per trasportare una carica dq sulle armature il generatore G compie un lavoro Il bilancio energetico corretto è pertanto Ricordiamo che In accordo con il primo calcolo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 223

19 Forza sulle armature Consideriamo un altro problema con condensatore a facce parallele Supponiamo che le armature siano fissate in modo che la loro distanza non possa variare Inoltre l'armatura superiore può muoversi orizzontalmente mentre quella inferiore è fissa Supponiamo infine che l'armatura superiore sia spostata verso destra Vogliamo adesso mostrare che se sul condensatore c'è una carica Q sull'armatura superiore si esercita una forza da destra verso sinistra Sia x la lunghezza della regione di sovrapposizione La carica Q e la carica Q si dispone solo nella parte di sovrapposizione delle due armature Infatti la carica negativa a sinistra sarebbe attratta verso destra dalle cariche positive in alto La carica positiva a destra, analogamente, sarebbe attratta verso sinistra Di fatto si tratta di un condensatore di capacità variabile Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 224

20 Condensatori variabili I condensatori variabili erano utilizzati nel sistema di sintonia delle vecchie radio Servivano per generare un segnale sinusoidale di frequenza variabile Oggi si utilizzano circuiti digitali per la sintesi di onde sinusoidali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 225

21 Forza sulle armature Scriviamo l'energia del condensatore in funzione della carica Consideriamo costante la carica Facciamo variare la lunghezza di dx L'energia varia a sua volta Se dx è positivo la regione di sovrapposizione cresce La capacità aumenta La derivata di 1/C è negativa L'energia diminuisce Se l'energia del sistema diminuisce significa che sta facendo lavoro contro una forza che bilancia F Abbiamo pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 226

22 Forza sulle armature Cosa succede se invece di mantenere costante la carica manteniamo costante la differenza di potenziale V? La manteniamo costante con una batteria In questo caso scriviamo l'energia come Se variamo la sovrapposizione di dx Vediamo che questa volta se dx è positivo l'energia aumenta L'energia è fornita dalla batteria La carica deve aumentare Infatti se C aumenta e V rimane costante Q = CV La batteria trasporta carica dall'armatura inferiore a quella superiore Nel fare questo compie un lavoro dw = V dq La carica necessaria per un aumento di capacità dc è dq = V dc Pertanto il lavoro fatto dalla batteria è Notiamo che è il doppio di quanto è aumentata l'energia del condensatore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 227

23 Forza sulle armature L'energia in eccesso viene spesa in lavoro contro la forza esterna Come nel caso precedente uguagliamo il lavoro contro la forza esterna con la energia in eccesso fornita dalla batteria Un'ultima osservazione Se il campo elettrico è perpendicolare alle armature chi fornisce la forza orizzontale? In realtà non è vero che il campo sia sempre perpendicolare Per comprendere l'origina della forza sono essenziali gli effetti ai bordi È comunque interessante notare che nel calcolo fatto trascuriamo gli effetti ai bordi Tuttavia gli effetti ai bordi non influenzano la derivata di C Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 228

24 Coefficienti di capacità Consideriamo un conduttore Supponiamo abbia una carica q distribuita sulla superficie Avviciniamo un altro conduttore scarico La carica del primo conduttore induce cariche elettriche sul secondo Alcune delle linee di campo che originano dal primo conduttore terminano sul secondo Intuitivamente, il fatto che alcune linee del primo conduttore finiscano sul secondo è il fenomeno alla base del concetto di capacità Il condensatore è il caso speciale in cui tutte le linee (o quasi) del primo conduttore finiscono sul secondo Induzione completa Si può avvicinare anche un terzo conduttore Le linee di campo adesso terminano anche sul terzo Vogliamo studiare la relazione che esiste fra le cariche sui conduttori e i loro potenziali Una generalizzazione del condensatore che è formato solo da due conduttori Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 229

25 Coefficienti di capacità Consideriamo adesso un sistema di n conduttori Poniamo i conduttori all'interno di un conduttore cavo posto a potenziale φ = 0 Utilizziamo il potenziale di questo conduttore come potenziale di riferimento Possiamo anche eliminare il conduttore esterno e prendere come riferimento il potenziale all'infinito Il teorema di unicità ci assicura che fissati i potenziali φ 1, φ n il campo elettrico all'interno della regione è univocamente determinato Noto il campo elettrico possiamo determinare la carica su ogni conduttore Pertanto, fissati i potenziali le cariche sui conduttori sono univocamente determinate Vogliamo trovare una relazione che ci permetta di determinare la carica su ogni conduttore noti i potenziali sui conduttori stessi A tale fine consideriamo n problemi diversi in cui, a turno, il conduttore k è posto a potenziale φ k mentre tutti gli altri sono posti a potenziale nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 230

26 Coefficienti di capacità Mettiamo adesso a potenziale φ = 0 tutti i conduttori meno il primo, che rimane fissiamo a potenziale φ 1 I conduttori a potenziale φ = 0 sono collegati con un filo (conduttore) al conduttore cavo Per effetto del potenziale φ 1 sui conduttori appaiono le cariche q 1, q n Sappiamo che le equazioni sono lineari Se raddoppiamo il potenziale φ 1 anche le cariche q 1, q n saranno raddoppiate Pertanto avremo Possiamo ripetere ponendo a potenziale φ 2 il secondo conduttore Ovviamente le cariche q' sono diverse dalle cariche q E così via Potenziale sul conduttore 1 Carica sul conduttore k Ancora una volta utilizziamo la linearità delle equazioni dell'elettrostatica Se tutti i potenziali sono diversi da zero la carica su ogni conduttore sarà la somma di tutte le cariche trovate Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 231

27 Coefficienti di capacità Mettendo insieme le equazioni scritte Si può dimostrare che i coefficienti c jk sono simmetrici: c jk = c kj I coefficienti che abbiamo definito prendono il nome di coefficienti di capacità Le relazioni trovate possono essere invertite I nuovi coefficienti a jk prendono il nome di coefficienti di potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 232

28 Coefficienti di capacità Per meglio comprendere il significato e l'utilizzo dei coefficienti di capacità consideriamo l'esempio seguente Due elettrodi piani di area A a distanza s posti all'interno di una scatola metallica La scatola è posta a potenziale φ = 0 I piani distano r e t dalle pareti della scatola Calcoliamo i coefficienti di capacità supponendo che le distanze siano tali da poter assumere che i piani siano infiniti Poniamo l'elettrodo 1 a potenziale nullo (φ 1 =0) e l'elettrodo 2 a potenziale φ 2 Nelle regioni r e s i campi elettrici saranno uniformi Nella ragione t il campo è nullo Sulla superficie superiore del conduttore 2 ci sarà una densità superficiale σ r Sulla superficie inferiore del conduttore 2 la densità sarà σ s Sulla superficie superiore del conduttore 1 la densità di carica è σ s Sulla superficie inferiore del conduttore 1 la densità di carica è nulla Avremo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 233