1 DISTRIBUZIONE CONTINUA DI CARICHE

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1 1 DISTRIBUIONE CONTINUA DI CARICHE In molti casi reali il numero di cariche puntiformi contenute in un certo volume può essere grandissimo: un corpo carico si presenta con buona approssimazione come una distribuzione continua di carica (in perfetta analogia con la distribuzione continua di materia, già incontrata nel corso di meccanica). Se tali cariche si considerano distribuite con continuità nello spazio, o su una superficie o lungo una linea, possiamo utilizzare il linguaggio del continuo per esprimere sia i campi che i potenziali. Considerato un corpo macroscopico qualunque, si deve determinare una distribuzione infinitesima di carica, al suo interno. Questa distribuzione di carica infinitesima diventa sorgente di un campo (o potenziale) coulombiano. Il campo (oilpotenziale)prodottodatuttoilcorposaràlasommadituttiicampi(o potenziali) prodotti da tutti gli elementi infinitesimi di cui è costituito il corpo macroscopico(tale somma essendo costituita di elementi infinitesimi diventa un integrale). 1.1 Caso a: densità di carica di volume Si può introdurre la densità di carica ρ (r 0 ) come quella funzione dei punti dello spazio che moltiplicata per il volume infinitesimo dv = d 3 r 0, rappresenta la carica totale contenuta in esso: dq = ρ (r 0 ) d 3 r 0 (1) La carica contenuta nell intero volume finito V sarà Q = d 3 r 0 ρ (r 0 ) (2) Per il principio di sovrapposizione, il campo (infinitesimo) V de (r) = 1 dq r r 0 3 (r r0 )= 1 ρ (r 0 ) d 3 r 0 r r 0 3 (r r0 ) (3) rappresenta il campo prodotto in r dalla carica dq = ρ (r 0 ) d 3 r 0 contenuta nel volumetto d 3 r 0. Per conoscere il campo prodotto in r da una distribuzione continua di carica contenuta in un volume finito V, Q = d 3 r 0 ρ (r 0 ) possiamo scrivere V E (r) = 1 V ρ (r 0 ) d 3 r 0 r r 0 3 (r r0 ) (4) 1

2 1.2 Caso b: densità di carica di superficie Mostreremo, nel prossimo capitolo, che in un conduttore all equilibrio elettrostatico la carica in eccesso si distribuisce sulla sua superficie. Se la carica è distribuita con continuità sulla superficie di un corpo macroscopico, possiamo introdurre la densità di carica superficiale ρ a (r 0 a) (il vettore r 0 a oraspaziasuunasuperficie fissa) in maniera tale che dq a = ρ a (r 0 a) d 2 a (5) rappresentalacaricacontenutasulla superficie infinitesima d 2 a. Il campo, prodotto in r, dalla tale distribuzione infinitesima di carica si scriverà de (r) = 1 dq a r r 0 3 (r r0 )= 1 ρ a (r 0 a) d 2 a r r 0 3 (r r 0 ) (6) La carica totale depositata su una superficie finita sarà Q a = d 2 aρ a (r 0 a) a e il campo risultante avrà la seguente espressione: E (r) = 1 ρ a (r 0 a) d 2 a a r r 0 a 3 (r r0 a) (7) 1.3 Caso c: densità di carica lineare Se di un corpo carico si vuole conoscere il campo in regioni molto lontane da dove esso è situato, talvolta il corpo può approssimarsi con una sola dimensione. Quando ciò accade e la distribuzione di carica è continua, allora si parla di distribuzione lineare di carica ρ l (r 0 l ). La carica presente su un tratto lineare infinitesimo sarà data da Il campo prodotto da tale distribuzione si scriverà dq l = ρ l (r 0 l) dl (8) de (r) = 1 dq l r r 0 3 (r r0 )= 1 ρ l (r 0 l ) dl r r 0 3 (r r0 ) (9) Infine, l espressione del campo prodotto da una distribuzione lineare finita di carica sarà, E (r) = 1 ρ l (r 0 l ) dl l r r (r 0 r0 l) (10) l 3 Nella sezione successiva mostreremo applicazioni delle tre distribuzioni di carica. 2

3 2 Determinazione di alcuni campi Gli esempi che presenteremo hanno una caratteristica comune: il campo viene calcolato, per l asta lineare carica, per l anello carico e per il disco carico in punto posto lungo un asse di simmetria per i corpi. Nei casi che esamineremo, tale asse coincide con l asse x, che risulta ortogonale al sistema di carica ed è per esso asse di simmetria. Esempio 1: Un asta lineare di lunghezza 2l ha una densità di carica lineare positiva ρ l e una carica totale Q. Per una distribuzione uniforme, sarà Q = 2lρ l. L asta sia posizionata lungo l asse y, da ( l, l) come indicata nella figura sottostante. Si determini il valore del campo lungo l asse x. Calcoliamo il campo de, generato dalla carica infinitesima dq = ρ l dy nel punto P. Per ragioni di simmetria, la componente del campo ortogonale all asse x verrà eliminata dal tratto dy, simmetrico di dy rispetto ad x. Per cui sarà sufficiente calcolare la sola componente x del campo generato da dq = ρ l dy. Tale componente sarà: de x = de cos β dove, il modulo del campo è (E1) mentre il coseno sarà de = 1 ρ l dy (x 2 + y 2 ) cos β = x p x2 + y 2 (E2) (E3) Allora, la componente x del campo, dovuta a dq, avràlaforma de x = 1 xρ l dy (E4) (x 2 + y 2 ) 3/2 Il campo risultante, prodotto da tutta l asta, sarà 3

4 E x = de x = ρ l lx 1 dy l (x 2 + y 2 ) 3/2 L integrale è mostrato in appendice e, dopo aver posto y x =tanα dy x =sec2 αdα si perviene al seguente risultato E x = ρ lx y l x 2p = ρ lx 2l x 2 + y 2 x 2 x 2 + l = ρ l l 2 2π 0 x (E5) x 2 + l 2 l Notiamo che se l asta lineare diventa di lunghezza infinita, il precedente risultato si può approssimare con E x ρ = l 1 l>>x (E6) 2π 0 x Il campo elettrostatico di un filo rettilineo indefinito cala con la distanza x dal filo. Questo risultato sarà ritrovato anche con il teorema di Gauss. La (E5), introducendo la carica, Q =2lρ l,diventa E x = Q 1 x (E7) x 2 + l 2 Nel limite opposto al precedente, se ci si pone a distanze molto grandi rispetto alle dimensioni dell asta, cioè se x À l, si può trascurare l rispetto a x, al denominatore, e si ottiene il campo coulombiano: E x Q 1 = x 2 x À l (E8) Esempio 2: Unanello di raggio R, ha una densità di carica superficiale positiva ρ a e una carica totale Q. La sua distribuzione è uniforme ed è posta nel piano yz. Si determini il campo elettrico lungo l asse x. 4

5 Calcoliamo il campo di una striscia infinitesima,dicaricadq,lacuicaratteristica principale è di contenere punti equidistanti dal punto dove si deve calcolare il campo. Il modulo del campo sarà: de = 1 dq r 2 = 1 dq R 2 + x 2 Per ragioni di simmetria, le componenti del campo, diverse da quelle lungo l asse x, hanno risultante nulla. Allora basta determinare la componente lungo l asse x: x de x = de cos α = de R2 + x 2 quindi de x = 1 dq R 2 + x 2 x R2 + x = dq 2 x (R 2 + x 2 ) 3/2 Poiché tutti gli elementi infinitesimi danno lo stesso contributo, il campo totale, lungo l asse x, sarà: E x = 1 xq (R 2 + x 2 ) 3/2 Notiamo che il valore del campo in x =0ènullo: ogni parte infinitesima di anello ha una corrispondente parte simmetrica che annulla il campo. Inoltre, se x À R, avremo E x = 1 Q x 2 in tal caso, il campo sarà pari a quello di una carica puntiforme Q, postanel centro dell anello. Esempio 3: Undisco di raggio R ha una densità di carica superficiale ρ a ed una carica totale Q. Si determini il campo elettrico lungo l asse x, se la densità èuniformeedildiscoèpostonelpianoyz. 5

6 Il campo dell anello di raggio r espessoredr è stato trovato nel precedente esercizio; la differenza è che la carica sull anello precedente era una carica finita ed ora è infinitesima ed uguale a dq = ρ a 2πrdr. Ilcampoinfinitesimo prodotto da questa distribuzione di carica sarà: Il campo per x>0, sarà de x = 1 xdq (E1) (r 2 + x 2 ) 3/2 E x = xρ a ovvero = xρ a 4 0 Per R À x si trova R Per x À R,avremo 0 1 dr (2πr) (r 2 + x 2 ) = xρ R 2 +x 2 a π 3/2 = xρ a 2 x R2 + x x 2 2η 1/2 R 2 +x 2 E x = ρ µ a x R2 + x 2 E x = ρ a ³1 x 2 0 R x 2 dηη 3/2 (E2) (E3) x R2 + x = 1 p 2 1+R2 /x ' 1 1 R x 2 di conseguenza E x ' ρ a 1 R x 2 = Q 1 x 2 (E4) come si poteva prevedere, il campo a grande distanza diventa un campo coulombiano. Per R =, ildiscositrasformainunpiano indefinito eritroviamoun risultato del secondo capitolo: E x = ρ a 2 0 (E5) 3 Determinazione di alcuni potenziali Ora useremo, per determinare alcuni potenziali, lo stesso formalismo adottato per calcolare i campi. Questo dovrebbe confermare l idea che i punti dello spazio possano essere caratterizzati sia dalla conoscenza dei valori del campo che dai valori del potenziale. Entrambe le prospettive sono possibili ed equivalenti, perché noto il campo si può dedurre il potenziale e noto il potenziale si può dedurre il campo. 6

7 3.1 Distribuzione continua di cariche Se abbiamo una distribuzione di carica continua dq = ρ (r 0 ) d 3 r 0 possiamo scrivere che il suo potenziale coulombiano in r come dv (r) = 1 dq r r 0 = 1 ρ (r 0 ) d 3 r 0 r r 0 Il potenziale generato in r da tutta la carica contenuta in V,è V (r) = 1 ρ (r 0 ) d 3 r 0 V r r 0 Se usiamo le coordinate cartesiane, possiamo scrivere: V (r) = 1 V (35) (36) ρ (x 0,y 0,z 0 ) dx 0 dy 0 dz 0 q(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 (37) Si possono presentare casi in cui la regione ove risiede la carica possa approssimarsi con una regione lineare (p.e. il caso di un filo contenente una carica elettrica) oppure con una regione superficiale. In tal caso, gli integrali di volume si riducono ad integrali lineari e di superficie. Nelcasodiunadistribuzione lineare continua di carica dq = ρ l (r 0 l ) dr0 l il potenziale coulombiano, generato da essa, sarà dv (r) = 1 ρ l (r 0 l ) dr0 l r r 0 l (38) mentre il campo totale di tutta la distribuzione si scriverà V (r) = 1 ρ l (r 0 l ) dr0 l l r r 0 l (39) Se la distribuzione lineare è lungo l asse x, potremo scrivere V (r) = 1 ρ l (x 0 ) dx 0 (40) q(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 Nel caso di una distribuzione superficiale di carica, in cui la carica infinitesima si scriverà dq = ρ a (r 0 a) d 2 a, il potenziale in r si scriverà dv (r) = 1 ρ a (r 0 a) d 2 a r r 0 a (41) ed il potenziale totale diventerà V (r) = 1 a ρ a (r 0 a) d 2 a r r 0 a (42) Nel caso specifico di una distribuzione superficiale piana continua, posta nel piano xy, si avrà: 7

8 V (r) = 1 ρ a (x 0,y 0 ) dx 0 dy 0 (43) a q(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 Il vero problema di tutte le espressioni appena scritte è la possibilità reale di effettuare le integrazioni in esse contenute. Solo se i corpi macroscopici sono solidi regolari si può effettuare una "ragionevole" integrazione altrimenti, in generale, diventano solo espressioni formali. Per quello che ci riguarda, esse saranno calcolate solo in casi molto particolari. Quando saranno presenti simmetrie particolari si potrà utilizzare il teorema di Gauss, che discuteremo nel prossimo capitolo. 3.2 Determinazione di alcuni potenziali Esempio 1: Determiniamo il potenziale di un anello lungo la direzione radiale. Il potenziale generato da una porzione infinitesima di anello è dv = 1 dq r 2 = 1 ρ a d 2 a R2 + x 2 Il potenziale prodotto da tutto l anello sarà V = 1 ρ l dl R2 + x 2 L integrazione è fatta su una curva che è nel piano ortogonale ad x, quindi durante l integrazione non solo R, ma anche x rimane costante, per cui V = 1 1 R2 + x 2 ρ l dl = 1 Q R2 + x 2 Agrandedistanza,xÀR, siavràilpotenzialecoulombiano V = 1 Q x Esempio 2: Determinare il potenziale di un disco, lungo l asse di simmetria 8

9 Dai risultati del precedente esercizio possiamo ricavare l espresssione del potenziale di un anello infinitesimo del disco dv = 1 dq r2 + x = 1 2 Il potenziale di tutto il disco sarà V = ρ R a2π rdr 0 r2 + x 2 ρ a d 2 a r2 + x = 1 ρ a 2πrdr 2 r2 + x 2 Posto avremo t = r 2 + x 2 dt =2rdr V = ρ R 2 +x 2 a dt 2 0 x 2 t 1/2 = ρ a 2 t R 2 +x x 2 = ρ a 2 0 hp R2 + x 2 x 2 i 4 Potenziali a grande distanza da un distribuzione continua Abbiamo visto che nel caso di una distribuzioni puntiforme (ma localizzata) di cariche, il potenziale a grande distanza daquesta era rappresentabile come la somma di un termine di tipo coulombiano e di uno di tipo dipolare (il termine successivo è quello quadripolare: V (r) ' 1 Q tot + 1 d Q,tot r r r 3 (44) Se si ripetono le stesse considerazioni per una distribuzione continua, 9

10 si riottiene la (44), con la sola differenza che la carica totale sarà Q tot = ρ (r 0 ) d 3 r 0 (45) V dove l integrale è esteso allo spazio occupato dal corpo ed il momento di dipolo del sistema èdefinito come I d Q,tot = d 3 r 0 r 0 ρ (r 0 ) (46) 10