E d s = q 0 Edscosθ = q 0 E s ds

Transcript

1 Parte I Potenziale Potenziale In questo capitolo consideriamo gli aspetti di lavoro ed energia connessi con i campi elettrici. Il lavoro infinitesimo per muovere una carica q 0 di uno spostamento infinitesimo d s è dato da dw = F d s = q 0 E d s = q 0 Edscosθ = q 0 E s ds con θ l angolo tra E e d s e con E s la componente di E in direzione di d s. Per uno spostamento finito tra A e B quello che si deve fare è dividere il cammino ad esempio su un cammino curvo C 1 in tanti tratti infinitesimi e sommare i contributi del lavoro. Questo significa in altri termini calcolare l integrale: W 1 = dw 1 = F d s = q 0 E d s C 1 C 1 C 1 Inquestocasoilvettored sètangenteallacurvac 1 inognipuntoel integrale viene detto curvilineo. Possiamo definire il rapporto W 1 q 0 come tensione elettrica tra i punti A e B e relativa al percorso C 1 ed in generale se l agente che sposta le cariche ha natura qualunque il lavoro dipenderà dal percorso scelto ovvero andando da A a B su un altro percorso C 2 si ha C 1 F d s C 2 F d s Se il percorso è chiuso ad esempio percorrendo la curva C 1 da A a B e poi tornando in A percorrendo C 2 si ottiene che W = F d s = C 1 F d s+ C 2 F d s = C 1 F d s C 2 F d s = W 1 W 2 da cui l integrale su un percorso chiuso (detto circuitazione è in generale diverso da zero e viene posto W = F d s = q 0 E d s = q 0 E la quantità E = E d s viene definita forza elettromotrice (f.e.m.) del campo elettrico e malgrado il nome non è una forza La forza elettrostatica è invece conservativa Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 1

2 quindi il lavoro necessario a spostare una carica è indipendente dal percorso e il lavoro su un percorso chiuso è sempre nullo. Possiamo quindi introdurre l energia potenziale elettrica U = U f U i = W el Di regola l energia potenziale è riferita ad un livello cui attribuiamo valore di en. potenziale nullo, e spesso si sceglie un punto ad come riferimento di potenziale. Ma come in tutte le situazioni che fanno uso del concetto di energia potenziale, sono solo le differenze di potenziale quelle che si usano. Potenziale elettrico Naturalmente l energia potenziale dipende sia dalla carica che genera il campo che da quella (di prova) che mettiamo in un qualunque punto dello spazio. Se, come per il concetto di campo, definiamo una energia potenziale per unità di carica troviamo una quantità che dipende solo dalla carica che genera il campo. Definiamo allora il potenziale elettrico o potenziale il rapportotrav = U q 0 cheèunaquantitàscalare. Pertantoladifferenzadipotenziale (d.d.p.) tra due punti dello spazio è data da V = U f U i q = V f V i. Dalladefinizionediscendeancheche V = V f V i = W/q = f i E d s. In altre parole abbiamo che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per portare q 0 da i a f è W = q 0 V Inoltre la scelta tipica per il potenziale di riferimento (nullo ad ) equivale a dire che prendendo la carica da infinito (V i = 0) si ha V f = L q ovvero che il potenziale in un punto qualunque corrisponde al lavoro svolto dal campo elettrico sulla carica di prova (e diviso per tale valore) per spostarla da infinito al punto considerato. L unità di misura del potenziale nel SI è il Volt (V) per cui 1 volt = 1 joule/1 coulomb. Tramite la nuova unità di misura possiamo ridefinire anche l unità di misura del campo elettrico. Infatti si ha: [E] = 1 N 1 C = 1 N 1 J = 1 V N N m = V m. Quindi il campo elettrico può misurarsi anche in V/m. Altra unità di misura usata per l ener- 1 V gia (soprattutto quando si parla di semiconduttori o di energie di legame) è l elettronvolt (ev) che rappresenta il lavoro necessario a portare un elettrone da infinito al potenziale elettrico di 1 V. Dalla definizione allora 1eV = V = J Lavoro svolto da una forza esterna Lavoro svolto da una forza esterna Se spostiamo tramite una forza esterna una carica q in campo elettrico E, da un punto i ad un punto j si hacheinquestospostamento anche ilcampo Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 2

3 compie lavoro e si avrà E k = W ext + W campo per il teorema del lavoroenergia cinetica- Se lo spostamento è fatto partendo con la carica ferma in i e ferma anche in j questa relazione si riduce a W ext +W campo = 0 cioè W ext = W campo. Ma il campo elettrico è conservativo per cui W campo = U = (U f U i ) per cui W ext = U f U i = qv f qv i = +q V Pertanto qualunque sia il tipo di forza esterna possiamo sempre dire che il lavoro necessario a spostare una carica ferma da una posizione all altra è W ext = +q V 2.2- Calcolo del potenziale elettrostatico 2.2- Calcolo del potenziale elettrostatico u E ds dr Dimostriamo che il campo elettrostatico di qualunque distribuzione di cariche è conservativo. Se la carica è puntiforme il lavoro della forza F per un generico spostamento è dw = F d s = q 0 E d s = qq 0 û d s r 2 = qq 0 dr r 2 con dr che è la proiezione dello spostamento infinitesimo nella direzione û del campo. pertanto la funzione integranda risulta dipendere soltanto dalla variabile r ed integrando otteniamo B A E d s = q rb r A dr r 2 = q ( 1 1 ) r B r A il lavoro di conseguenza (ottenuto moltiplicando il potenziale per q 0 ) non dipende dal percorso seguito e potremo dire inoltre che q q V B V A = r B r A Dal momento che l energia potenziale e quindi il potenziale sono definiti a meno di una costante possiamo scrivere: V(r) = q r +A U(r) = qq 0 r +B E d s = qq 0 dr r 2 Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 3

4 e con la scelta detta prima (E( ) 0, F el ( ) 0, U( ) 0, V( ) 0) si ottiene r V(r) = E d s = q (1) r espressione del potenziale elettrico generato da una carica puntiforme U(r) = q 0 V(r) = q 0 r E d s = qq 0 r I risultati appena trovati permettono l estensione alla situazione di un campo generato da un sistema discreto di cariche utilizzando il principio di sovrapposizione. Infatti il lavoro per uno spostamento da A a B è W = B A B F d s = q 0 E d s e se consideriamo la somma vettoriale dei campi di ciascuna carica si ottiene: i B A B A E d s = E i d s = i B ( i A B A A E i ) d s = q i ri 2 û i d s avendo utilizzato per ognuno dei termini l espressione del potenziale della carica puntiforme dell eq.(1) e di conseguenza essendo ogni campo delle singole cariche conservativo si ha: q i q i ) r (A,i) V B V A = ( i W = q 0 (V B V A ) = ( i r (B,i) i q 0 q i r (B,i) i Per cui per il generico punto nello spazio P(x,y,z) V(x,y,z) = P E d s = i q 0 q i r (A,i) ) = q i r i U e che in altre parole dice che il potenziale elettrostatico di un sistema di cariche si ottiene sommando i potenziali di ciascuna delle cariche. L estensione a distribuzioni continue di cariche è ovvia: V(P) = dv = 1 V dq r Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 4

5 avendo inteso l integrale sulla forma dell oggetto carico (volume,superficie, linea) e dq la carica dell elemento infinitesimo, r la distanza tra P e l elemento infinitesimo. Infine come ultimo risultato per le distribuzioni di cariche considerando percorsi chiusi si ha E = E d s = 0 in altre parole la forza elettromotrice è nulla per campi elettrostatici Unità di misura del potenziale Dalla definizione del potenziale le unità di misura delle differenza di potenziale sono quelle del lavoro diviso la carica ovvero J/C che viene definito volt: 1V = J C e introdotta questa nuova unità di misura possiamo utilizzarla anche per il campo elettrico che può essere misurato (anzi è preferibile) anche nelle unità V/m come conseguenza della definizione (V = E d s) 2.3 Energia potenziale elettrostatica 2.3 Energia potenziale elettrostatica Per costruire un sistema di cariche collocate in vari punti dello spazio usiamo la definizione e concludiamo che l energia necessaria (e.potenziale) a creare un sistema di cariche è pari al lavoro necessario da parte di un agente esterno per portare il sistema nella configurazione data, ovvero quello necessario a portare ciascuna carica dall infinito alla posizione finale. Abbiamo visto infatti che il lavoro per muovere una carica q è W ext = +q V in pratica supponiamo di voler spostare una carica q > 0 dall infinito, dove il potenziale è nullo, verso una regione con V > 0 ovvero in presenza di cariche positive, in questo caso V > 0 il lavoro risulterà positivo perchè dobbiamo vincere la repulsione tra le due cariche; viceversa se le cariche sono discordi risulterà un lavoro negativo.la procedura seguita ci da un criterio per capire qual è l energia necessaria a creare un sistema di cariche puntiformi: consideriamo un processo di costituzione del sistema prendendo una carica alla volta e aggiungendolo al resto, otteniamo che l energia complessiva del sistema Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 5

6 sarà: U e (sistema) = 1 q i q j 2 r ij i j somma estesa a tutte le coppie di punti (il fattore 1/2 tiene conto del fatto che nella sommatoria del doppio conteggio dei termini simmetrici tipo ij e ji), mentre per una carica esterna q 0 distinta dalle precedenti, risulterà che la sua energia potenziale è la somma delle energie potenziali dovuta alle cariche del sistema: n q i q 0 U e (q 0 ) = r i e l energia complessiva del sistema sarà U e = U e (sistema)+u e (q 0 ) i esempio 2.2 esempio 2.2 esempio 2.2 Tre cariche sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato l=12 cm. Se le cariche sono q 1, q 2 e q 3 qual è l energia potenziale elettrostatica di questo sistema? Qual è il lavoro necessario a mettere una carica q 0 al centro del triangolo? Il lavoro per piazzare la prima carica è nullo perchè non vi sono campi elettrici inizialmente. Il lavoro per la seconda è L 2 = U 12 = q 2q 1 l. La terza carica si trova con entrambi i campi 1-2 e L 3 = U 13 + U 23 quindi U e (sistema) = q 2q 1 l + q 3q 1 l + q 3q 2 l L energia potenziale della carica q 0 invece sarà U e (q 0 ) = q 1q 0 r + q 2q 0 r + q 3q 0 r con r = l/ 3 l energia del sistema non cambia nello spostamento quindi il lavoro è W = U e (q 0 ) = U e (q 0 ) Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 6

7 Parte II Moto di una carica in campo elettrostatico Moto di una carica in campo elettrostatico Supponiamo di avere una carica q 0 in un campo elettrostatico E. Consideriamo il moto alla luce del teorema dell energia cinetica: E k = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A = W e d altra parte sappiamo che il lavoro è W = U e = q 0 V = (q 0 V B q 0 V A ) per cui uguagliando si ha 1 2 mv2 A + q 0V A che rappresenta la conservazione dell energia la somma di en. cinetica e potenziale si conserva 2.5 Superfici equipotenziali 2.5 Superfici equipotenziali Definiamo superficie equipotenziale il luogo dei punti aventi il medesimo potenziale ovvero una superficie delimitata dalla condizione V(x,y,z)=cost. In base alla definizione non è necessario compiere alcun lavoro per muoversi su una superficie equipotenziale. Le superfici equipotenziali per una carica puntiforme sono tante sfere concentriche alla carica stessa, come in figura, e osserviamo che le linee di campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali. Infatti se non fosse così, una componente del campo elettrico, che è tangente alla linea di forza, si troverebbe lungo la superficie equipotenziale. Ma se fosse così muovendo una carica lungo la superficie risulterebbe che il lavoro per spostare una carica sarebbe diverso da zero, cosa che contraddice la proprietà vista prima delle superfici equipotenziali. Questa proprietà consente anche di ricavare la direzione del campo elettrico nota la superficie equipotenziale. Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 7

8 2.4-Campo come gradiente del potenziale 2.4-Campo come gradiente del potenziale Vediamo come ricavare il campo elettrico se conosciamo l espressione del potenziale utilizzando la relazione locale che si può scrivere invece che la versione integrale che lega il potenziale al campo elettrico. Supponiamo di muovere la carica di prova q 0 : il lavoro per uno spostamento ds = dxû x +dyû y +dzû z che mi porti dalla sup. equipotenziale V a quella V+dV è dw = q 0 dv (dalla def. di potenziale). Possiamo però anche dire dalla definizione di lavoro che dw = (q 0 E) ds per cui otteniamo q 0 dv = q 0 (E x d x +E y dy +E z dz) e inoltre possiamo scrivere il differenziale totale della funzione V: per cui confrontando si ha: dv = V V V dx+ dy + x y z dz E x = V x, E y = V y, E z = V z che permette di trovare tutte le componenti di E noto il potenziale e che si può sinteticamente indicare come: E = gradv (2) Il campo elettrostatico è in ogni punto uguale al gradiente del potenziale elettrico in quel punto e cambiato di segno. L equazione (2) è la relazione locale che permette con un calcolo di derivazione di ottenere l espressione del campo elettrico. Si può rappresentare l operazione appena fatta anche introducendo un operatore vettoriale del così definito: = xûx + yûy + zûz Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 8

9 un oggetto che si comporta formalmente come un vettore ma acquista significato solo se applicato ad una funzione scalare o vettoriale. Applicandolo formalmente al potenziale si ottiene infatti: V = V xûx + V y ûy + V z ûz = gradv Rias- Nel seguito vedremo l effetto dell applicazione dell operatore ai vettori. sumendo quanto trovato abbiamo: quindi dv = E d s = V d s B B V B V A = E d s = V d s A A Da cui quello che viene detto Teorema del gradiente V B V A = B A V d s È possibile esprimere il gradiente anche in coordinate polari; basta condierare spostamenti infinitesimi: d s = drû r +rdθû θ Da cui il campo elettrostatico in coordinate polari risulterà : E(r,θ) = V r ûr 1 V r θ ûθ Esempio 2.6 Campo e potenziale anello carico Esempio 2.6 Campo e potenziale anello carico Consideriamo un anello carico, avente una carica q uniformemente distribuita, di raggio R. Calcoliamo potenziale e campo lungo l asse dell anello. consideriamo un punto P sull asse x dell anello, ed un elemento dl dell anello che avrà carica dq = λdl. Il potenziale complessivo si ottiene integrando spostando l elemento infinitesimo in modo da ricoprire l anello: V = 1 dl r Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 9

10 con r che è la distanza tra P e l elemento infinitesimo che è uguale per ogni punto dell anello per cui si ottiene V = λ dl = λ2πr r r = q R 2 +x 2 Possiamo ora calcolare il campo elettrico usando ilteorema del gradiente: E x = V x, E y = V y = 0, E z = V z = 0 per cui si ottiene derivando E x = V x = qx (espressione uguale a quella ricavata direttamente (R 2 +x 2 ) 3 2 dalla definizione del campo elettrico) Esempio 2.7 Campo e potenziale disco carico Esempio 2.7 Campo e potenziale disco carico Consideriamo un disco carico, avente una carica q uniformemente distribuita, di raggio R. Calcoliamo potenziale e campo lungo l asse del disco. consideriamo un punto P sull asse x dell anello. Il potenziale complessivo si ottiene integrando spostando l elemento infinitesimo in modo da ricoprire il disco e partendo dal risultato dell anello. Consideriamo la densità di carica σ = q/(πr 2 ), ed un anello infinitesimo di raggio r e carica dq = σ 2πrdr: dv = dq r 2 +x 2 = σ2πrdr r 2 +x 2 con r che è il raggio dell anello infinitesimo per cui si ottiene, integrando con estremi r=0 e r=r: V(x) = σ 2ǫ 0 R Infine per il campo elettrito avremo: 0 rdr r 2 +x 2 = σ 2ǫ 0 ( R 2 +x 2 x) E x = V x = σ x (1 2ǫ 0 R 2 +x 2) Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 10

11 1 PROBLEMA 25.3-SVOLTO 1 Problema 25.3-svolto Problema 25.3-svolto Calcolare il potenziale nel punto al centro di un quadrato di lato d=1.3 m e supponendo che le cariche sono q 1 = +12 nc (in alto a sinistra), q 2 = 24 nc (in alto a destra), q 3 = +31 nc (in basso a sinistra) e q 4 = +17 nc (in basso a destra) In qualunque punto dello spazio il potenziale è la somma algebrica dei potenziali dovuti alle varie cariche quindi: V = V i = q 1+q 2 +q 3 +q 4 r con r = d/ 2 = m pertanto V 350 V 2.7 Dipolo elettrico 2.7 Dipolo elettrico Calcoliamo il potenziale dovuto al dipolo in un genericopuntopdelpianodeldipolocomeinfigura. Abbiamocheilpotenziale è V = V + +V = 1 ( q r + + q r ) = q r r + r + r Il dipolo è una struttura molto frequente ed è ad esempio il campo elettrico generato da un gran numero di molecole. Normalmente si è interessati al campo a distanze relativamente grandi ossia determinate dalla condizione r >> d. In questo caso possiamo approssimare r r + dcosθ ed r r + r 2. Con queste approssimazioni il potenziale diventa: V = qdcosθ r 2 = pcosθ r 2 Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 11

12 1 PROBLEMA 25.3-SVOLTO Per il campo elettrico possiamo usare l espressione del gradiente in coordinate polari E r = V r = 2pcosθ r 3 E θ = V r θ = psinθ r 3 e di conseguenza il campo elettrico è E = E r û r +E θ û θ = p r 3 (2cosθû r + sinθû θ ) 2.8 Dipolo in campo elettrico esterno uniforme 2.8 Dipolo in campo elettrico esterno uniforme Supponiamo di avere un dipolo in un campo elettrico esterno. Dalla definizione di dipolo e di campo elettrico discende che un dipolo in un campo elettrico uniforme esterno risente di 2 forze uguali e opposte, ma come si vede dalla figura esse producono risultante nulla ed un momento di forze agenti (una coppia). Il momento risultante è τ = Fd/2sinθ +Fd/2sinθ = Fdsinθ = (qe)dsinθ = pesinθ Formalmente questa si può indicare in modo vettoriale, calcolando ad esempio il momento rispetto al CM: τ = r 1 F 1 + r 2 F 2 = ( r 2 r 1 ) F 2 = q d E = p E che rappresenta il momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un campo (elettrico) esterno ad esso. Il dipolo tende quindi ad allinearsi al campo elettrico.il lavoro del momento meccanico è W = θ θ 0 τdθ = pe θ θ 0 sinθdθ = pe(cosθ cosθ 0 ) Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 12

13 1 PROBLEMA 25.3-SVOLTO questa quantità dipende solo dagli estremi per cui si può porre in termini di energia potenziale W = U(θ) avendo indcato U(θ) = pecosθ che può pensarsi come il risultato della operazione vettoriale: U(θ) = p E Dipolo in campo elettrico non uniforme Dipolo in campo elettrico non uniforme Se il campo elettrico non è uniforme allora la risultante delle forze sul CM non è più nulla e il dipolo oltre a ruotare per il momento agente sarà accelerato dalla risultante forze agente nel CM. Consideriamo ad esempio il caso in cui il campo elettrico cresca con la x ed anche il campo elettrico sia diretto lungo x, ed anche il dipolo sia diretto secondo la x. In questo caso semplice si ha quindi: F tot = q(e 2 E 1 ) con E 2,E 1 i campi calcolati negli estremi del dipolo. Possiamo approssimare l espressione come E 2 = E 1 + E xd per cui F tot = q E x d = p E x Da cui concludiamo che la forza risultante è concorde alla direzione di E se il dipolo blue è concorde al campo e la derivata di E è positiva Asta carica Consideriamo una bacchetta finita di lunghezza L e con carica distribuita uniformemente. Consideriamo il punto P in figura posto in corrispondenza di uno degli estremi: si considera il generico elemento infinitesimo dx esso avrà carica dq = λdx e λ = Q/L per cui dv = λdx r = λdx 4π x 2 +d 2 Il potenziale risultante si ottiene muovendo dx sino a ricoprire l intera asta carica: L λdx V = dv = x 2 +d 2 0 Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 13

14 2 ES. 25-8P L integrale si risolve (la sostituzione da fare è x 2 +d 2 = t+x) ed ha per soluzione V = dv = λ ln L+ L 2 +d 2 d Verificate che se il punto P è sullo stesso asse si trova un altra espressione ma con un integrale più semplice. Disco carico Consideriamo un generico punto sull asse z di un disco carico di raggio R. Individuiamo l anello come elemento infinitesimo.tutti i punti dell anello sono alla stessa distanza r dal punto P per cui il suo potenziale è dv = dq r la carica sull anello è dq = σ(2πr )dr con σ la densità sup. di carica sull anello e R il raggio dell anello. Quindi il potenziale totale si ottiene integrando: V = 2 Es. 25-8P dv = σ 2ǫ 0 R 0 (z 2 +R 2 ) 1 2 R dr = σ 2ǫ 0 ( z 2 +R 2 z) Es. 25-8P Calcolo del potenziale elettrico di una sfera isolante uniformemente carica di raggio R. V f V i = f i E ds con V i = 0 per r=0 (dalla traccia). V f = r 0 E ds e con 0 < r < R ρ = Q 4 e sapendo che dentro la πr3 sfera isolante si ha E(r) = ρr 3ǫ 0 0 < r < R V(r) = V f = r 0 E(r )dr = r ρr 0 3ǫ 0 dr = = ρr 2 6ǫ 0 r 0 = ρr2 6ǫ 0 V(r) = Qr2 8πǫ 0 il potenziale diminuisce con la distanza se Q > 0 e quindi è negativo se scegliamo nullo il R 3 riferimento al centro della sfera NB L espressione cambia se scegliamo il rif. nullo all infinito ma le differenze di potenziale tra 2 punti qualunque non cambiano 3 Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 14

15 3 ES Es Es come prec. ma V( ) = 0 in questo caso dobbiamo scegliere come punto di partenza dell integrale ed r di arrivo (o viceversa) e tenendo conto che le espressioni del campo elettrico sono diverse dentro e fuori la sfera ovvero E(r) = ρr 3ǫ 0 = qr 0 < r < R e E(r) = q R 3 r R considerando r 2 V f = 0 a f = allora 0 V i = r Edr = R r R r E(r)dr qr R 3dr R R E(r)dr = q r 2 dr q 3[r 2 q R 2 ]R r +[ r ] R = qr2 8πǫ 0 R 3 + qr2 8πǫ 0 R 3 + q (0 1 R ) =... = q V i = 8πǫ 0 R 3(3R2 r 2 ) Potenziale elettrico di un conduttore isolato Potenziale elettrico di un conduttore isolato Una carica su un conduttore isolato si dispone sulla superficie del conduttore stesso in modo che tutti i punti del conduttore, sulla superficie e all interno, sono allo stesso potenziale. Questo discende dalla definizione del potenziale V = f i E ds. Poichè all interno del conduttore E=0 allora il potenziale è lo stesso su tutti i punti del conduttore. Questo vale anche se il conduttore è semplicemente immerso in un campo elettrico esterno come in figura. Il conduttore continuerà ad essere una superficie equipotenziale. Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 15

16 4 PROBLEMA problema problema Due sfere metalliche entrambe di raggio R=3 cm, sono distanti tra loro d=2m. Se la prima ha carica Q 1 = C e la seconda ha carica Q 2 = C, quali sono i potenziali V1,V2 sulle due sfere e V A nel punto intermedio? V A = q i r i (valida sia per i conduttori che per cariche puntiformi) ed è pertanto: V A = d/ d/2 = = 180 V Per le altre due posizioni invece dobbiamo tenere conto che i conduttori sono superfici equipotenziali ed inoltre dobbiamo applicare il princ. di sovrapp.: V 1 = Q 1 R 1 + Q 2 d P otenziale conduttore P otenziale dovuto a 1 rispetto a 2 sul centro di 1 V 1 = = V =+2865 V l altrov 2 = = 895 Cap2-Parte II-Potenziale elettrico 16